Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data:

2 Grupo Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na sua folha de respostas, o número de cada item e a letra que identifica a opção escolhida.. Considere o conjunto A = {,,,4,5,8,9}. Com elementos do conjunto A, quantos números de três algarismos é possível formar de modo que o produto dos algarismos seja um número par? (A) 4 (B) 79 (C) 86 (D) 0. Seja f uma função derivável em R. Sabe-se que a bissetriz dos quadrantes pares é tangente ao gráfico de f na origem do referencial. f h Indique o valor de lim. h 0 h + h (A) 0 (B) (C). Qual é o valor de lim ( ln( + 4) ln) +? (A) 0 (B) (C) e (D) 4 (D) 4. Seja f uma função de domínio Se a reta de equação lim 0 = (A) f R. y = é assíntota ao gráfico de f, então: (B) lim f = (C) lim f = + (D) lim f 5. Seja g a função, de domínio R, definida por: = cos ( ) sin( 4 ) sin ( ) sin( 4 ) g a a a a Qual das epressões seguintes também define a função g? (A) sin 8 ( a) = (B) cos( a) sin( 4a ) (C) cos( 4a ) (D) sin( 4a ) Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página

3 Grupo Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato.. Resolva, em N, a equação: C = C C n+ n+ n+ n 4. Na figura está representado, num referencial ortonormado Oyz, um cubo [ABCDEFGH], cuja base [ABCD] está contida no plano Oy e a cota de qualquer vértice é não negativa. E z F H J G Admita que: o vértice A pertence ao semieio positivo O ; o vértice D pertence ao semieio positivo Oy ; OA = OD ; o ponto B tem coordenadas (,, 0 ); o ponto I pertence à aresta [BC] e é diferente de B e de C ; o ponto J pertence à aresta [HG] e é diferente de H e de G... Considere os pontos B, C, G, H, I e J. A O Escolhendo três destes pontos ao acaso, qual é a probabilidade de definirem um plano? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. B D I C y.. Mostre que F e G têm coordenadas (,, ) e (,, ), respetivamente... Seja M o ponto médio da aresta [FG]. Determine uma condição cartesiana que defina a reta BM. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página

4 . Seja f a função de domínio R, definida por: f + = ln( ) ln se > e se.. Estude a função f quanto à eistência de assíntotas horizontais ao seu gráfico... Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa. 4. Considere a função g, real de variável real, definida em ], + [ por: g ( ) + ln + = Prove que c ] [ 0, : g c = c. 4.. Considere, num referencial ortonormado Oy, a representação gráfica da função g no intervalo [ 0, 5 ]. Sabe-se que eiste um ponto A do gráfico de g que pertence à circunferência de centro na origem e raio igual a. Determine a abcissa do ponto A recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta deve: equacionar o problema; reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificados; indicar o valor pedido com aproimação às centésimas. 5. Considere a função h, de domínio,, definida por: = ln( sin + ) h 5.. Estude a função h quanto à monotonia e determine o seu contradomínio. 5.. Estude a função h quanto ao sentido de concavidade do seu gráfico e quanto à eistência de pontos de infleão. Fim Cotações Grupo Grupo Total = Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 4

5 Proposta de resolução. A A = Resposta: (B) Grupo Números de três algarismos ímpares (o produto é ímpar) Todos os números de três algarismos que é possível formar. A reta de equação y = é tangente ao gráfico de f em (0, 0). f (0) = 0 e f 0 = f ( h) 0 lim + h h( h + ) f h lim = = h 0 h h 0 f h f 0 = lim lim = h 0 h 0 h 0h + = f ( 0) = = Resposta: (C). lim ( ln( + 4) ln) = lim ln lim ln + = Fazendo y = temos = e, se +, então y 0, dado que y Efetuando a mudança de variável: + y 0 y 0 ( + y) 4 4 ln lim ln + = lim ln( + y) = 4lim = 4 = 4 y y Resposta: (D) ( 0) 4 lim = Se a reta de equação lim lim f Resposta: (C) y = é assíntota ao gráfico de f quando, então: = = = + Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 5

6 5. g cos ( a) sin( 4a) sin ( a) sin( 4a) = = Resposta: (A) ( a) ( a) ( a) ( a) ( a) = sin 4 cos sin = sin 4 cos 4 = ( a) sin 8 sin( 4a) cos( 4a) = sin( 8a) = Grupo. C = C C n+ n+ n+ n 4 n+ n+ n+ n n n+ C + C4 = C n C + C = C p p+ p+ n+ n+ n n C4 = C n p = C C ( 4 n 4 n n) ( n N n 4 n n) = = ( n 4 n ) ( n N n n ) = = n = 4 n = n p.. Número de casos possíveis: 6 C = 0 Número de casos favoráveis: C C + C C = (três pontos não colineares definem um plano) 8 O número de casos favoráveis também é dado por 0 = 8 dado que, entre os casos possíveis apenas eistem dois em que os três pontos escolhidos são colineares (B, I, C e G, J, H). Assim, a probabilidade pedida é igual a 8 = Ak (, 0, 0), k > 0 (A pertence a O) D(0, k, 0), k > 0 B (,, 0) (D pertence a Oy e tem ordenada igual à abcissa de A dado que OA= OD) AB( k,, 0) AD( k, k, 0) Como [ABCD] é um quadrado, temos AB AD, pelo que AB AD = 0. AB AD = 0 ( k,, 0) ( k, k, 0) = 0 k k + k = 0 k + k + k = 0 k k = 0 k k = 0 k = 0 k = Como k > 0, temos k =, pelo que A (, 0, 0), D (0,, 0), AB(,, 0) e AD(,, 0). Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 6

7 Seja a a medida da aresta do cubo. a = AB = = Como a base [ABCD] está contida no plano Oy, os vértices F e G têm cota. C= A+ AB+ BC = A+ AB+ AD= (, 0, 0) + (,, 0) + (,, 0) = (,, 0) Como (,, 0) B temos que (,, ) ) Como (,, 0) C temos que (,, ) ) F. (B é a projeção ortogonal de F no plano Oy e F tem cota G. (C é a projeção ortogonal de G no plano Oy e G tem cota.. F (,, ), (,, ) G e B (,, 0) Assim, o ponto M é o ponto de coordenadas,, =,,. BM = M B =,, (,, 0 ) =,, BM =,, =,, é um vetor diretor da reta BM. y z = = = y = z = y = z 4 Portanto, uma condição cartesiana da reta BM é = y = z. 4.. Estudemos a eistência de assíntota horizontal quando. f lim = lim + e = + lim e ( 0) Fazendo y =, temos y = e, se, então y +. y y y lim f = + lime = + lim e = + lim = y + y y + e = lim = = = 0 = y y y + e e + lim y y + y Como f de f. lim =, podemos concluir que a reta de equação y = é assíntota horizontal ao gráfico Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 7

8 Estudemos, agora, a eistência de uma assíntota horizontal quando +. ( ) lim f = lim ln( ) ln lim ln + + = = + = lim ln = ln= 0, dado que + Como f lim = + lim = 0, então a reta de equação y = 0 é assíntota horizontal ao gráfico de f. +.. Seja y = m + b uma equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa. Para > : f = = = ( ln ln ) ( ln ) ( ln ) ( ) = = m = f ( ) = = = Ponto de tangência: P(, ln), dado que Substituindo na equação y = m + b, temos: f = ln ln = ln ln= 0 ln = ln ln = + b ln = + b b = ln Portanto, a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa é y = ln. 4.. Pretende-se provar que c ] 0, [: g( c) = c, ou seja, que c ] [ 0, : g c c = 0. Seja h a função definida por h = g. Então, pretende-se provar que c ] [ h( c) 0, : = 0. A função g é contínua em ], + [ pois é definida pelo quociente de duas funções contínuas: uma é a soma de uma função constante ( y = ) com a função composta de uma função logarítmica com uma função afim ( y = ln( + ) ) e a outra é uma função afim ( y ) = +. Como [ 0, ] ], + [, podemos concluir que a função g é contínua em [ 0, ]. Por outro lado, a função afim definida por y =, por ser contínua em R, é contínua em [ 0, ]. Portanto, a função h é contínua em [ 0, ] já que é a diferença de duas funções contínuas neste intervalo. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 8

9 Temos, também, que: + ln 0+ h( 0) = g( 0) 0 = 0 = + ln= + 0 = > ln + + ln h = g = = = + + ln4 ln = = < 0 dado que ln <, pois < e. Portanto, como a função h é contínua em [ 0, ] e h h 0 < 0, podemos concluir, pelo corolário do Teorema de Bolzano, que c ] 0, [: h( c) = 0, ou seja, que c ] [ 0, : g c = c. 4.. Seja a a abcissa do ponto A. A( a, g( a )) Se A pertence à circunferência de centro na origem e raio igual a, então OA =. Como OA a g( a) = +, pretendemos resolver graficamente a equação: a g a + = No referencial estão representados os gráficos das funções Y g = +, ou seja: Y ( ) + ln + = + + e Y = bem como a abcissa do ponto de interseção dos dois gráficos, obtida com a calculadora gráfica: y Y O,87 5 A abcissa do ponto A é aproimadamente igual a, Determinemos uma epressão da derivada de h. ( sin + ) cos h = ln( sin + ) = = sin + sin + Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 9

10 Determinemos, caso eistam, os zeros de h. cos h = 0, = 0, sin + ( cos = 0 sin + 0 ), cos = 0, = = h h 0 ր ln Mín. Má. Como, Por outro lado:, h 0 >, podemos concluir que a função h é estritamente crescente. = ln sin + = ln + = ln= 0 h = + = ln + = ln h ln sin Portanto, [ 0, ln] D =. h 6.. Determinemos uma epressão da segunda derivada da função h. cos h = = sin + ( cos) ( sin + ) cos( sin + ) ( sin + ) = = ( ) cos( cos) ( sin + ) sin sin + = = ( sin + ) sin sin cos = = ( sin + ) sin + cos sin = = = sin ( sin + ) Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 0

11 Determinemos, caso eistam, os zeros deh. sin ( sin + ) h = 0, = 0, ( ( ) ) sin 0 sin 0, = + sin =, = 6 6 h h 0 8 ln { ln P.I.. h = ln sin ln ln 6 + = + = 6 O gráfico da função h tem a concavidade voltada para cima em, 6 e tem a concavidade voltada para baio em, 6. O ponto de coordenadas, ln 6 é um ponto de infleão do gráfico de h. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página