EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA A ª FASE VERSÃO 1/2 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

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1 Preparar o Eame 06 Matemática A EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA A 05.ª FASE VERSÃO / PROPOSTA DE RESOLUÇÃO Site: Facebook: GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA. Tem-se que 0,6 a a 0, a 0, a 0,. Logo, o valor médio da variável aleatória X é 0, 0, 0,,. Resposta: Versão B / Versão C. P A B é a probabilidade de a bola retirada ser de cor preta, sabendo que a bola retirada está numerada com um número par. Logo, o número de casos possíveis é (pode ter sido retirada a bola com o número,, 6 ou 8). Destas, são de cor preta as bolas numeradas com os números e. Portanto, o número de casos favoráveis é. Assim, pela lei de Laplace, P A B. Resposta: Versão B / Versão C. Tem-se que loga a logb a log b log b. Como a a log a b, vem log a b log b. a log a b log a log b 5. Então, a a a Resposta: Versão D / Versão A. A função f é contínua em, em particular é contínua em 0. Portanto, lim f lim f f Tem-se: 0 lim f lim e e e 0 0 k k k Eame 05.ª Fase, versão Proposta de Resolução

2 Preparar o Eame 06 Matemática A ln lim f lim lim ln lim 0 0 f 0 e k e k Logo, k k k 0 e e e e k 0. Resposta: Versão A / Versão B 5. Tem-se que: f sen sen sen sen cos sen sen f sen cos cos 6cos Resposta: Versão C / Versão D 6. O triângulo OAB é equilátero e a abcissa do ponto A é. Logo, a amplitude do ângulo AOB é OB OA. e Assim, z OB e como a imagem geométrica de z pertence ao.º quadrante, um seu argumento pode ser. Logo, 5 z cis cis cis. Resposta: Versão D / Versão C 7. As coordenadas dos pontos de intersecção da circunferência com o eio O são da forma,0. Fazendo y 0 na equação da circunferência, vem: Como a abcissa de A é positiva, vem A,0. 0 Portanto, a circunferência contém o ponto A,0 e o seu centro é o ponto C, de coordenadas 0,. Representando a circunferência e a recta r num referencial o.n. Oy: Eame 05.ª Fase, versão Proposta de Resolução

3 Preparar o Eame 06 Matemática A y C P, y A r A recta r é tangente à circunferência no ponto A, portanto é perpendicular ao segmento de recta AC. Assim, sendo P, y um ponto da recta r, a sua equação é dada por: r : AP AC 0, y 0 0, 0 0, y, 0 y 0 y Outra resolução: A recta r é perpendicular à recta AC mr Como A r vem, 0 b b. Então, r : y mr. Como AC,, vem m AC mac e portanto. Logo, a equação reduzida da recta r é do tipo y b. As coordenadas do ponto A são,0. Resposta: Versão B / Versão D 8. Das opções apresentadas, a única sucessão que é monótona e limitada é a de termo geral u n : n un u n un n n n n é monótona crescente. n n n 0, n n n n n 0, n. Logo, a sucessão de termo geral Tem-se que para todo o n, 0 0 n n. Logo, a sucessão de termo geral u n é limitada. n Resposta: Versão C / Versão B Eame 05.ª Fase, versão Proposta de Resolução

4 Preparar o Eame 06 Matemática A GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA. Tem-se, z i i) cis cis 8 cis cis cis. cis Assim, k z z z cis z cis z cis, k 0,,, k z cis, k 0,,, cis k z 6, k 0,,, Logo: se k 0 z cis 6 se k z cis cis cis 6 6 se 5 k z cis cis 6 6 se 8 k z cis cis cis 6 6 O conjunto solução da equação é 5 cis,cis,cis,cis 6 6 i) Para escrever i tg na forma trigonométrica, vem: e.º quadrante, pelo que. Assim i cis. i. Sendo um argumento de i, tem-se Eame 05.ª Fase, versão Proposta de Resolução

5 Preparar o Eame 06 Matemática A... No instante inicial, t 0, o ponto P coincide com o ponto A. Tem-se: 5 d 0 sen 0 sen 6 6 Pretende-se determinar os instantes em que nos primeiros três segundos do movimento, o ponto P passou pelo ponto A. Esses instantes são as soluções da condição d t d 0 t 0, Assim, para t 0,, vem:. 5 d t d 0 sen t sen t sen t t k t k, k sen 6 6 t k 5 t k, k 6 6 t k t k, k t k t k, k. Logo, nos primeiros três segundos do movimento, os instantes, diferentes do inicial, em que o ponto P passou pelo ponto A foram 8 t ( k 0, segunda equação), t ( k, primeira equação) e t ( k, segunda equação)... A função d é contínua em 0, pois é a soma, o produto e a composição entre funções contínuas no seu domínio: y e y são funções constantes e portanto contínuas no seu domínio; y sen t é uma função trigonométrica, contínua no seu domínio; em, 0,. yt é uma função afim, contínua no seu domínio. Logo, d é contínua 6 7 d sen sen sen 0, Eame 05.ª Fase, versão Proposta de Resolução 5

6 Preparar o Eame 06 Matemática A 5 d sen sen,5 6 6 Como d é contínua em, e como d, d, pelo teorema de Bolzano eiste pelo menos um t 0, tal que dt,, ou seja, eiste pelo menos um instante entre os três e quatro segundos após o instante inicial em que o ponto P esteve à distância de, metros do ponto O.... Quando : y y lim f lim e lim e lim ye lim 0 y e i) y ii) y Logo, a recta de equação y é assimptota horizontal do gráfico de f, quando. i) Mudança de variável: se então. Seja y y, y. ii) Se lim e p p então lim 0, p (limite notável). e Quando : lim f lim ln ln lim ln lim ln lim ln ln ln 0 ln 0 Logo, a recta de equação y 0 é assimptota horizontal do gráfico de f, quando... Para,, tem-se f e. Assim: f Determinando os zeros de e e e 0, vem: e 0 0 e 0 0 e 0 ln Eame 05.ª Fase, versão Proposta de Resolução 6

7 Preparar o Eame 06 Matemática A Fazendo um quadro de sinal, vem: 0 ln 0 e 0 e 0 0 Logo, o conjunto solução da equação f e 0 é,0 ln,... Seja t a recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. Então, m f, f é o ponto de tangência. Para t,, f ln ln e portanto, t e o ponto de coordenadas f ln ln ln ln ln f e portanto, f Logo, equação reduzida da recta t é do tipo y b substituindo-o na sua equação reduzida vem: ln b b ln. Logo, t: y ln. Como o ponto de coordenadas, ln pertence à recta t,. O gráfico da opção A não pode ser o da função f. A função f tem derivada finita em todos os pontos do seu domínio e portanto é contínua no seu domínio, o que não se verifica com a função cujo gráfico está representado nesta opção. Como f 0 para qualquer,0, o gráfico da função f tem a concavidade voltada para baio em,0. Logo, o gráfico da opção B não pode ser o da função f, pois este não tem a concavidade voltada para baio no intervalo,0. Por fim, como f 0 0, a recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa zero tem declive positivo. Logo, o gráfico da opção C não pode ser o da função f, visto que a recta tangente ao gráfico da função representada por este gráfico, no ponto de abcissa zero, tem declive negativo. Eame 05.ª Fase, versão Proposta de Resolução 7

8 Preparar o Eame 06 Matemática A Portanto, em nenhuma das opções pode estar representado o gráfico de f. Outra justificação para ecluir o gráfico da opção C: Como f 0 0, eiste uma vizinhança do ponto zero onde f é estritamente crescente. Logo, o gráfico da opção C não pode ser o da função f, pois não eiste uma vizinhança do ponto zero onde a função representada por este gráfico seja estritamente crescente. 5. Tem-se, P A B P B P A P B P A B P B P AP AB P A PB P A P A B PB i) P B A P B A P B A P A P B A P A P A P A P A BP A PB A i) Como o ponto R tem coordenadas,, e como a pirâmide é quadrangular regular, a abcissa e a ordenada do ponto V são iguais e iguais. Logo, as suas coordenadas são da forma V,, z. O ponto V pertence ao plano PQV : 6 z 0. Assim, substituindo as coordenadas de V na equação do plano PQV vem, 6 z 0 z 6 z 6. V,,6 6.. Seja o plano perpendicular a OR que contém o ponto P, cujas coordenadas são P,0,0. Um vector director da recta OR é OR R O,, 0,0,0,, OR, um vector normal de é n OR,, Assim, : y z d. Logo, como é perpendicular à recta.. Como contém o ponto,0,0 P vem, 0 0 d d. Logo, : y z y z. Eame 05.ª Fase, versão Proposta de Resolução 8

9 Preparar o Eame 06 Matemática A 6.. Tem-se que: uma equação do plano QRS é y. seja a abcissa do ponto A. Como A pertence ao plano QRS e como a sua cota é o triplo da sua abcissa, as suas coordenadas são da forma,, A. OA A O,, 0,0,0,, e TQ Q T,,0 0,0,,, Como os vectores OA e TQ são perpendiculares, tem-se OATQ 0. Portanto, pretende-se determinar tal que: OATQ 0,,,, Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se na janela,,7 y : y 7 O a Logo, OATQ 0 0 a, com a,5. Eame 05.ª Fase, versão Proposta de Resolução 9

10 Preparar o Eame 06 Matemática A O número de casos possíveis é 7, pois cada uma das nove faces pode ser colorida com qualquer uma das sete cores, podendo faces distintas serem coloridas com a mesma cor. O número de casos favoráveis é C 5 C. Das quatro faces triangulares escolhem-se duas para colorir de 5! branco, o número de maneiras de o fazer é C. Para cada uma destas maneiras, eistem 5 C de maneiras distintas de colorir duas das cinco faces quadrangulares. Finalmente, as restantes cinco faces são coloridas com cinco cores distintas. O número de maneiras de o fazer é 5!. Logo, pela lei de Laplace, a probabilidade pedida é C C ! 0, Eame 05.ª Fase, versão Proposta de Resolução 0