Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos. TPC nº 13 (entregar em )

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos TPC nº (entregar em ). O Dinis dispõe de dez cartas todas diferentes: quatro do naipe de espadas, três do naipe de paus, duas do naipe de copas e uma do naipe de ouros... O Dinis vai dispor essas dez cartas sobre uma mesa, lado a lado, da esquerda para a direita, de modo a formar com elas uma sequência. O Dinis pretende que na sequência não fiquem duas cartas de paus seguidas. Quantas sequências diferentes pode, nestas condições, o Dinis fazer?.. Admita que o Dinis baralha essas dez cartas e, em seguida, tira uma carta ao acaso. Depois de observar a carta que sai, esta é reposta no baralho. A eperiência é repetida cinco vezes. Qual é a probabilidade de, nas cinco etrações, se registar a saída de uma carta de copas pelo menos duas vezes? Apresente o resultado na forma de dízima com duas casas decimais.. Considere as funções reais de variável real f e g definidas por: f = 9 e g =.. Determine o domínio e o contradomínio de cada uma das funções... Determine, analiticamente:... As coordenadas dos pontos dos gráficos das funções que pertencem à reta de equação y = 0,5 ;... As abcissas dos pontos de interseção dos gráficos das duas funções.. Para cada uma das funções diga, justificando, se é ou não invertível.. Para cada valor positivo de k, a epressão: f + + = k k + ln + se > 0 e se 0 define uma função de domínio IR... O gráfico de f tem uma assíntota oblíqua. Determine uma equação reduzida dessa reta. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 0/0

2 .. Mostre que eiste pelo menos um valor de k pertencente ao intervalo ], [ para o qual a função f é contínua.. Seja h a função de domínio IR definida por:.. Mostre que f ( 0) = 0. = f cos.. Mostre que f ( ) = + cos( ), IR e conclua que f, derivada de f, é estritamente crescente... Estude f quanto à monotonia. 5. Considere os compleos z 7 i = i i 5.. Represente na forma algébrica: 5... z e z π = cis z z z 5.. Represente na forma trigonométrica: z 6. Em C, o conjunto dos números compleos, considere: i z = + i i π e w = cis 6.. No plano compleo, indique a que quadrantes pertencem os afios de z e de w. 6.. Sem recorrer à calculadora, mostre que 6.. Calcule na forma algébrica: 6... z + w z w. z = 5π cis Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 0/0

3 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos TPC nº Proposta de resolução. O Dinis dispõe de dez cartas todas diferentes: quatro do naipe de espadas, três do naipe de paus, duas do naipe de copas e uma do naipe de ouros... O Dinis vai dispor essas dez cartas sobre uma mesa, lado a lado, da esquerda para a direita, de modo a formar com elas uma sequência. O Dinis pretende que na sequência não fiquem duas cartas de paus seguidas. O número de sequências diferentes que o Dinis pode fazer, nestas condições, é dado por: 0! ( ) 7!! = 690 0! representa o número de maneiras de o Dinis dispor aleatoriamente as 0 cartas de que dispõe. 8! 7! é número de maneiras de dispor as cartas de paus juntas e as restantes 7 cartas nas posições sobrantes. 7! 7! é o número de maneiras de dispor duas cartas de paus seguidas, numa das etremidades da sequência havendo etremidades, colocando em seguida a terceira carta em 7 posições diferentes e finalmente colocar as 7 cartas sobrantes. 7 6! 7! - é o número de maneiras de colocar duas cartas de paus seguidas Numa das 7 posições que não sejam as etremidades, colocando seguidamente a terceira carta de paus numa das 6 posições diferentes possíveis e finalmente colocar as 7 cartas sobrantes... Admita que o Dinis baralha essas dez cartas e, em seguida, tira uma carta ao acaso. Depois de observar a carta que sai, esta é reposta no baralho. A eperiência é repetida cinco vezes. A probabilidade de, nas cinco etrações, se registar a saída de uma carta de copas pelo menos duas vezes é o resultado de aplicar a fórmula da distribuição binomial com o número de eperiências n = 5 e a probabilidade de sucesso Pretendemos calcular, utilizando a calculadora gráfica: P( X ) = P( X ) = binomcdf 5,, 0, 6 5 P = =. 0 5 Ou utilizando a fórmula binomial dos problemas de provas repetidas: C0 + C 0, Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 0/0

4 Apresentando o resultado na forma de dízima com duas casas decimais.. Consideremos as funções reais de variável real f e g definidas por: f = 9 e g =.. Determinemos o domínio e o contradomínio de cada uma das funções. As duas funções têm domínio IR Para determinar o contradomínio podemos recorrer às correspondências inversas e determinar o domínio delas: 9 y = 9 = log ( y) = 9 log y = ± 9 log y D = y IR : 9 log y 0 y > 0 =, + 5 porque 9 log y 0 log y 9 log y 9 y 9 e 9 y y > 0 y 5 O contradomínio de f é, + 5 y = = log y = log y D = { y IR : y > 0} = IR + O contradomínio de g é IR +.. Determinemos, analiticamente:... As coordenadas dos pontos dos gráficos das funções que pertencem à reta de equação y = 0,5 ; 9 = = = = = 9 8, e, de equação y = 0,5 são as coordenadas dos pontos de interseção de f com a reta = = = = =, são as coordenadas do ponto de interseção de g com a reta de equação y = 0,5... As abcissas dos pontos de interseção dos gráficos das duas funções Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 0/0

5 9 9 9 = ( ) = ( ) = 9 = + 9 = 0 ± = = = = = + são as abcissas dos pontos de interseção dos gráficos das duas funções... Para cada uma das funções diga, justificando, se é ou não invertível. A função f não é invertível porque não é injetiva. Há pelo menos dois pontos com a mesma imagem pois o gráfico interseta a reta de equação y = 0,5 em dois pontos. A função g é injetiva porque invertível. = = =, logo é,, IR. Para cada valor positivo de k, a epressão: f define uma função de domínio IR. + + = k k + ln + se > 0 e se 0.. O gráfico de f tem uma assíntota oblíqua. Determinemos uma equação reduzida dessa reta. e lim = lim ( e ( + ) ) + lim = + lim = e lim + lim = = + e e ( ) + lim e = lim e + + = lim + = ( ) + lim lim = = + e + e A equação reduzida da assíntota oblíqua é y = +.. Mostre que eiste pelo menos um valor de k pertencente ao intervalo ], [ para o qual a função f é contínua. A função f é contínua em ],0[ e em ] 0,+ [ por serem soma e ou produto de funções contínuas no intervalo. Estudemos então a continuidade em = 0 : 0 ( ) lim e + + = k k lim k + ln + = k + ln + 0 e Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 0/0

6 0 f 0 = e = k k A função f é contínua no ponto de abcissa zero se e só se k + ln = k + ln = 0 h ln Consideremos a função h definida por = + no intervalo [ ] contínua em IR + pelo que é contínua no intervalo [, ] h = + ln = ln 0, 69 h = + ln=,. Esta função é Como h h < 0, o Corolário do Teorema de Bolzano garante que eiste um valor k ], [ : h( k) = 0. Fica então provado que há um valor de k pertencente ao intervalo ], [ para o qual k k + ln = 0 e a função f é contínua em = 0.. Seja h a função de domínio IR definida por:.. Mostremos que f ( 0) = 0. = f cos f = cos = sen = + sen ( ) f ( 0) = 0 + sen( 0) = 0.. Mostremos que f ( ) = + cos( ), IR e vamos concluir que f, derivada de f, é estritamente crescente. f = + sen = + cos = + cos Porque + cos( ) > 0 cos( ) > é uma condição universal em IR podemos concluir que f, derivada de f, é crescente por ter derivada, f, sempre positiva. e.. Estudemos f quanto à monotonia. Atendendo a que a função derivada de f é crescente e tem um zero que é zero podemos preencher o quadro seguinte: 0 + ( ) f Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 0/0

7 f ց m = f ( 0) = 0 cos( 0) = A função f tem um mínimo ] 0,+ [. m em 0 ր = e é decrescente em ],0[ e crescente em 5. Consideremos os compleos z 7 i = i i 5.. Representemos na forma algébrica: 5... e z π = cis. i i + i i i z = = = = i + i = + i i i i + i i i i π π 5... z = cos + isen = + i = + i z z = + i + i = + i + i = + + i z 5.. Represente na forma trigonométrica: z π z = + i = cis porque z = + = e sendo θ o argumento de z teremos cos θ = = e sen θ = = concluímos ser π θ = z cis π π cis π = z = 6. Em C, o conjunto dos números compleos, consideremos: i z = + i i π e w = cis 6.. No plano compleo, indiquemos a que quadrantes pertencem os afios de z e de w. i( i) i + + i + i i i i + i z = + i = + i = i = = i O afio de z pertence ao º quadrante e o de w pertence ao º quadrante. 6.. Sem recorrer à calculadora, mostre que z = + = = z = 5π cis Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 0/0

8 Sendo α o argumento de z teremos cos α = = = e senα = = = pelo que 6.. Calcule na forma algébrica: 6... z + w. π 5π α = π + = π π π w = cis = cos + isen = i + z + w = i + i = i 6... z w. + z w = i i = + i i = + i Professora: Rosa Canelas 8 Ano Letivo 0/0

9 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos TPC nº Critérios de classificação Eplicar 0! Eplicar 8! 7! Eplicar 7! 7! Eplicar 7 6! 7! 0! ( ) 7!! = Calcular a probabilidade de sucesso Identificar os parâmetros da distribuição binomial Apresentar a epressão que resolve Apresentar o resultado na forma pedida Indicar os domínios Calcular o contradomínio de f 6 Calcular o contradomínio de g Escrever f ( ) = 0,5 Resolver f ( ) = 0,5 Apresentar as coordenadas dos pontos de interseção Escrever g( ) = 0,5 Resolver g( ) = 0,5 Apresentar as coordenadas do ponto de interseção... 0 Escrever f ( ) g( ) Resolver f ( ) g( ) = = 6 Apresentar as coordenadas dos pontos de interseção.. 0 Justificar a não invertibilidade de f 5 Professora: Rosa Canelas 9 Ano Letivo 0/0

10 Justificar a invertibilidade de g Calcular o declive da assíntota 5 Calcular a ordenada na origem da assíntota Escrever a equação da assíntota.. 5 Calcular Calcular lim e + + = 0 k k lim k + ln + = k + ln Calcular f 0 = e = Identificar a função h ou equivalente Justificar que h é contínua Justificar h h < 0 Concluir a eistência de solução pelo T de Bolzano Calcular f ( ) 7 Calcular f ( 0).. 0 Calcular f ( ) 5 Provar que f ( ) > 0, R Construir a tabela de monotonia com base nas alíneas anteriores 7 Calcular o mínimo Apresentar os intervalos de monotonia Calcular i 7 Calcular o quociente Calcular a soma Apresentar o resultado na forma pedida escrever z na forma algébrica Calcular o produto 5 Professora: Rosa Canelas 0 Ano Letivo 0/0

11 Apresentar o resultado na forma pedida Escrever z na forma trigonométrica Calcular o quociente Apresentar o resultado na forma pedida Calcular z na forma algébrica Indicar o quadrante de z Indicar o quadrante de w Calcular z Calcular um argumento 5 Concluir Escrever w na forma algébrica Calcular a soma 5 Dar o resultado na forma pedida Calcular o produto 8 Dar o resultado na forma pedida Total 00 Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 0/0