Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

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1 prova 65, 2ª fase, 205 proposta de resolução Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática 2.º Ano de Escolaridade Prova 65/2.ª Fase 8 páginas 205 Grupo I. P X P X 2 P X a 2a 0,4 a 0,6 a 0,2 0,2 20,4 0,4 2, P A B logb b loga a b loga a loga b 2loga a log b a (D) (A) / 8

2 prova 65, 2ª fase, 205 proposta de resolução k 4. e lim 2 2 e 0 k 2 ln ln ln lim lim 2 2 lim k e e k 0 (A) 5. f ' 6sin cos 2 2 f '' 6 cos cos sin sin 6 cos sin 6cos 2 (D) 6. 5 arg z 2 ; 5 z cis (D) 7. A,0, substituindo na equação da circunferência, obtemos: Como a abcissa de A é positiva, temos A,0 0, é o centro da circunferência e seja m o declive da reta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto A: m Seja m o declive da reta tangente à circunferência no ponto A: m' Utilizando o ponto A, obtemos a ordenada na origem da reta tangente. 2 / 8

3 prova 65, 2ª fase, 205 proposta de resolução 0 b b Assim, a reta tangente é dada pela equação. y (D) 8. é crescente e n 0 n Grupo II. i 2 arg i 4 4 i 2cis 4 2cis 4 2 z cis cis 2cis z cis Assim, 2 2k 4 4 z cis, k 0,, 2, 4 2 z cis cis z 2 cis cis z cis cis z4 cis cis 4 / 8

4 prova 65, 2ª fase, 205 proposta de resolução As soluções da equação são: 5 4 cis, cis, cis, cis d 0 sin Para determinar os instantes em que P passou pelo ponto A, resolvemos a equação: 5 dt 4 5 sint sint 6 2 sint sin 6 6 t 2k t 2k t 2k t 2k 6 2 t 2k t 2k k t 20 0 t 20 k 2 8 t 2 2 t 2 Os instantes, diferente do inicial, em que o ponto P coincide com o ponto A foram aos 2 segundos, 2 segundos e 8 segundos d sin, / 8

5 prova 65, 2ª fase, 205 proposta de resolução d 4 sin 4, 2 6 A função dt é uma função contínua em 0,, pois trata-se da soma de uma função constante com o produto de uma função constante e uma função trigonométrica, então também é contínua no intervalo,4. Como d, e d 4,, então, pelo Teorema de Bolzano podemos afirmar que dt, tem pelo menos uma solução no intervalo,4.... y y lim e lim e lim ye lim y y y y y e e lim y y lim ln ln lim ln lim ln ln ln 0 A função tem duas assíntotas horizontais, y, quando e y 0, quando.2. f 2 e 2 e 2 0 Cálculos auiliares: e 2 0 e 2 ln 2 Construindo uma tabela de sinais, temos: 0 ln e e O conjunto solução da inequação é:,0 ln 2,. 5 / 8

6 prova 65, 2ª fase, 205 proposta de resolução.., f ' Em f ' é dada por: ' ' O declive da reta tangente é dado por A reta é tangente no ponto de abcissa 4 f 4 ln 4 ln 4 ln 4 A ordenada na origem da reta tangente é dada por: ln 4 4 b b ln 4 4 Assim, a equação da reta tangente é dada por: m f ' , então contém o ponto, f 4 y ln O gráfico A não é o gráfico de f, pois é dito que a função tem derivada em todos os pontos do seu domínio, mas no gráfico eiste um ponto de descontinuidade que faz com que não eiste derivada nesse ponto. f '' 0 garante que f tem concavidade voltada para O gráfico B não é o gráfico de f, pois cima no intervalo,0, o que não se verifica na análise do gráfico. O gráfico C não é o gráfico de f, pois f ' 0, o que nos permite garantir que o declive da reta tangente é positivo no ponto de abcissa 0 (zero). No entanto, pela análise do gráfico, verificamos que esse declive é negativo. 5. P A B P B P A P B P A B P B P A P B P A P A B P B P A B Por outro lado, temos: P A B P A P A B P A P A B P A Desta forma, podemos concluir que P A B PB P A P A B 6 / 8

7 prova 65, 2ª fase, 205 proposta de resolução O vértice V tem abcissa e ordenada. Assim, substituindo na equação do plano PQV, obtemos a coordenada da cota do ponto V. 6 z2 0 z 6 As coordenadas do ponto V são,, O plano que é perpendicular à reta OR, o seu vetor normal pode ser o vetor OR O R (2,2,2) A equação do plano é 2 2y 2z d d 0 d 4 Assim, a equação do plano é dada por. Como P 2,0,0 2 2y 2z 2 0 y z Como a cota do ponto A é igual ao cubo da abcissa, temos: A,2, Sabemos ainda que: 0,0,0 ; 0,0,2 ; 2,2,0 O T Q Como OA TQ, então OATQ 0,2, 2,2, , o valor de d é dado por: Utilizando as potencialidades da máquina de calcular com a janela de visualização sugerida, o gráfico da função y / 8

8 prova 65, 2ª fase, 205 proposta de resolução O zero da função representada é a abcissa do ponto A, que tem o valor de, Casos possíveis: disponíveis Caso favoráveis: 4 C 5 2 C25! C2 C25! 7200 P 0, A probabilidade pedida é 0,0002., qualquer uma das nove faces pode ter uma das sete cores Bom trabalho!! 8 / 8