Grupo I. e ( 10,α ) sejam as coordenadas, num referencial o.n. (C) 6 (D) 8

Transcrição

1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada 4º Teste de avaliação Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. π 1. Sabendo que sen + x = 13 (A) senx = (B) 13 π e x 0, podemos afirmar que: cos x = (C) 13 cos x = (D) 13 senx = 13. Que valor deve tomar α para que ( 3, ) e ( 10,α ) sejam as coordenadas, num referencial o.n. Oxy, de dois vectores perpendiculares. (A) 8 (B) 6 (C) 6 (D) 8 3. Num referencial o.n. Oxyz, considere o plano α definido pela equação 3x y + z = 7 Em qual das opções seguintes as equações representam uma recta r perpendicular a α e que passa na origem (A) 3x = y = z (B) y z x = = (C) 3 x y = = z (D) x = 0 z = y 3 4. Na figura estão parcialmente representados os gráficos de duas funções polinomiais, r e s. Qual dos seguintes conjuntos pode ser o domínio da função r s? (A) R \ { 1,1 } (B) R \ { 0} (C) R (D) R \ { 1,0,1 } Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 010/011

2 . O domínio da função derivada da função g definida em R por g( x) = 4 x é (A) R (B) 4 R \ (C) 4 R \ (D) R \ 4 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Na figura [ABCD] é um quadrado de lado 4. [AECF] é um losango. D C π O lado do losango depende do ângulo 0,. F 1.1. Mostre que o perímetro do losango, em função de, é dado por 8 P( ) = cos π 0, 1.. Determine de modo que o perímetro do losango seja: A 4 cm E B cm (cd) cm e interprete o resultado no contexto do problema Calcule AF.AC.. Na figura, estão representados, num referencial o.n. Oxyz, um prisma quadrangular e uma pirâmide cuja base [OFGE] coincide com a do prisma e está assente no plano xoy. O vértice H da pirâmide coincide com o centro da base superior do prisma. O ponto G tem coordenadas ( 4,4,0 ).1. Sabendo que, na unidade considerada, o volume do prisma é igual a 96, mostre que H tem coordenadas (,,6 )... Escreva uma equação vectorial da recta GH..3. Escreva uma equação cartesiana do plano OEH..4. Escreva uma condição que defina a intersecção dos planos OEH e GFH. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 010/011

3 3. A figura mostra a representação gráfica de uma função h e de uma recta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa a Indique o valor de h ( a). 3.. Escreva a equação reduzida da recta t Qual é o sinal da taxa média de variação da função h no intervalo [a,6] 3.4. Se a taxa média de variação de uma função num intervalo [a,b] for negativa podemos concluir que a função é decrescente nesse intervalo? Justifique. 4. Considere as funções f, g e i, reais de variável real definidas por: f ( x) = 3 g( x) x x = e i( x) x + = 6 x 4.1. Caracterize f i e apresente a sua expressão analítica simplificada. 4.. Estude, utilizando derivadas, a função g quanto à monotonia e existência de extremos. FIM x 3 x 4, FORMULÁRIO Derivadas k = 0 ( ax b) + = a ( ax bx c) + + = ax + b ( ax bx cx d) = 3ax + bx + c 3 b b a + = x c ( x c) Professora: Rosa Canelas 3 Ano Lectivo 010/011

4 Cotações Questão Cotação Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 010/011

5 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada 4º Teste de avaliação Grupo I 1. (B) Sabendo que π sen + x = 13 π e x 0, podemos afirmar que, como π sen + x = cos x, será cos x =. 13. (C) O valor de α para que ( 3, ) e ( 10,α ) sejam as coordenadas, num referencial o.n. Oxy, de dois vectores perpendiculares é a solução de 3 10 α = 0 α = 30 α = 6 3. (C) Num referencial o.n. Oxyz, considere o plano α definido pela equação 3x y + z = 7 As equações que representam uma recta r perpendicular a α e que passa na origem e por isso tem a direcção do vector normal ao plano de coordenadas ( 3,,1) são: x 0 y 0 z 0 x y = = = = z (A) Na figura estão parcialmente representados os gráficos de duas funções polinomiais, r e s. O domínio da função r s é D = { x R : s( x) 0 } = R \ { 1,1 }. (B) O domínio da função derivada da função g definida em R por g( x) = 4 x é 4 R \, pois é em 4 x = que os dois ramos do gráfico da função g se encontram e nesse ponto não há derivada por serem diferentes os declives das semitangentes nesse ponto. 1. Na figura [ABCD] é um quadrado de lado 4. [AECF] é um losango. Grupo II Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 010/011

6 π O lado do losango depende do ângulo 0, Mostremos que o perímetro do losango, em função de, é dado por P( ) 8 = cos π 0,. D F C Como metade da diagonal do quadrado mede (a diagonal do quadrado de lado a tem diagonal a ) podemos concluir que cos = AF = AF. cos A 4 cm E B Como um losango tem os quatro lados iguais o perímetro é P( ) 8 = cos π 0,. 1.. Determinemos de modo que o perímetro do losango seja: cm (cd) = cos = = cos = cos cos ,03rad cm e interprete o resultado no contexto do problema = cos = = cos = π = π cos 16 4 pelo que Como 16 cm é a medida do perímetro do quadrado, a solução é coincide com o quadrado Calculemos: AF.AC = AF AC cos = 4 cos = 16. cos π = e o losango. Na figura, estão representados, num referencial o.n. Oxyz, um prisma quadrangular e uma pirâmide cuja base [OFGE] coincide com a do prisma e está assente no plano xoy. O vértice H da pirâmide coincide com o centro da base superior do prisma. O ponto G tem coordenadas ( 4,4,0 ).1. Sabendo que, na unidade considerada, o volume do prisma é igual a 96, mostremos que H tem coordenadas (,,6 ). O ponto H é o centro da base do prisma de aresta da base igual a 4 e por isso tem abcissa e ordenada iguais a. Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectivo 010/011

7 A cota de H vai ser a altura do prisma: o De V = Ab a resulta que 96 = 16 a a = 6 Finalmente H(,,6 ).. Uma equação vectorial da recta GH passa em H(,,6 ) e tem a direcção do vector GH = H G =,,6 4,4,0 =,,6 ( ) ( ) ( ) Uma equação vectorial da recta GH será ( x, y, z) = (,,6 ) + k (,,6 ),k R.3. Para escrevermos uma equação cartesiana do plano OEH vamos sucessivamente: Considerar dois vectores concorrentes do plano OH = (,,6 ) e OE = ( 4,0,0 ). Calcular um vector n( x, y,z) tal que n OH e n OE : ( ) ( ) ( ) ( ) x, y, z.,,6 = 0 x + y + 6z = 0 y = 3z x,y,z. 4,0,0 = 0 4x = 0 x = 0 Fazendo z 1 n = 0, 3,1 = obtemos o vector ( ) A equação cartesiana do plano é da forma 3y + z = D e como passa na origem terá de ser 3y + z = 0.4. A intersecção dos planos OEH e GFH é uma recta que passa em H e é paralela ao plano xoy e em particular ao eixo Ox. Assim a recta de intersecção dos planos OEH e GFH fica definida pela condição y = z = 6 3. A figura mostra a representação gráfica de uma função h e de uma recta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa a Indiquemos o valor de h ( a) que é o declive da recta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa a h ( a) = 3 h ( a) = A equação reduzida da recta t é origem. y 1 x = por a recta ter declive igual a h ( a) e passar na 3.3. O sinal da taxa média de variação da função h no intervalo [a,6] é negativo por ser ( ) < h( a) h 6 Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectivo 010/011

8 3.4. Se a taxa média de variação de uma função num intervalo [a,b] for negativa não podemos concluir que a função é decrescente nesse intervalo. Por exemplo na alínea anterior dissemos que a taxa média de variação da função h no intervalo [a,6] é negativa e no entanto nesse intervalo h primeiro aumenta e só depois decresce pelo que não é decrescente no intervalo [a,6]. 4. Consideremos as funções f, g e i, reais de variável real definidas por: f ( x) = 3 g( x) x x = e i( x) x + = 6 x 4.1. Caracterizemos f i apresentando a sua expressão analítica simplificada. ( f i)( x) f ( x) i( x) ( x 3)( x + ) ( )( ) ( )( ) x 3 x + 1 = = = = x 4 6 x x x + x 3 x + 4 D { x R : x D x D } { x R : x x x 3 } R \ {,,3 } f i f i = = = x 3 x 4, 4.. Estudemos, utilizando derivadas, a função g quanto à monotonia e existência de extremos: Calculemos a derivada de g: g ( x) = 6x 1 Calculemos os zeros de g : Estudemos o sinal da derivada: x x 1= 0 6x = 1 x = x = ± 6 6 g ( x) g( x ) ր M ց m ր A função g é crescente em, 1 6 e em 1, 6 +, é decrescente em 1 1, 6 6 e tem um máximo em 1 x = e um mínimo 6 1 x =. 6 Professora: Rosa Canelas 8 Ano Lectivo 010/011

9 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada Grupo I Neste Grupo, cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos B C C A B Grupo II Identificar a medida da diagonal do quadrado 3 Exprimir AF em função de Exprimir o Perímetro em função de Igualar o perímetro a 13 Resolver a equação 6 Dar a resposta na forma pedida Calcular o ângulo Justificar Aplicar a definição de produto escalar Calcular o valor do produto escalar Justificar o valor da abcissa e da ordenada Justificar, calculando, a cota.. 10 Calcular as coordenadas do vector director Professora: Rosa Canelas 9 Ano Lectivo 010/011

10 Escrever a equação vectorial da recta Encontrar dois vectores concorrentes do plano 3 Calcular as coordenadas de um vector normal ao plano 4 Escrever uma equação cartesiana do plano Identificar a recta Escrever uma condição que defina a recta Identificar o valor lógico da afirmação Justificar Escrever uma expressão do produto de f por i Simplificar o resultado Domínio do produto de f por i Calcular a derivada Calcular os zeros da derivada 3 Estudar o sinal da derivada (tabela) 4 Indicar os intervalos de monotonia e os extremos 3 Total 00 Professora: Rosa Canelas 10 Ano Lectivo 010/011