Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

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1 Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 0 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I. Para calcular o número de códigos diferentes, de acordo com as restrições impostas, podemos começar por escolher a posição do, e assim eistem 7 posições possíveis. Por cada uma das 7 escolhas anteriores, escolhemos outras duas posições de entre as 6 disponíveis para posicionar os, logo eistem 6 C escolhas diferentes. Como as restantes posições são todas ocupadas por a, a colocação dos a corresponde a uma única hipótese de posicionamento. Assim temos que o número total de hipóteses possíveis é Resposta: Opção A 7 6 C 0. Como o valor médio da variável aleatória X é, temos que: 0 b + a + a 0 + a + a a 7 a 7 a Também sabemos que: b + a + a b + a b a Substituindo o valor de a, temos: b 7 b b b b 8 b 8 b Resposta: Opção C. Como o penúltimo elemento da linha do triângulo de Pascal é, sabemos que essa linha tem elementos, todas da forma C n. Logo só eistem 6 elementos desta linha que são inferiores a 0 : C 0 C ; C C 0 e ainda C C Porque C C 08 8 e todos os restantes são superiores a estes. Logo, sabemos que eistem 6 06 elementos superiores a 0, num total de, ou seja, o valor da probabilidade é 06 6 Resposta: Opção B Página de 7

2 y. Como n é uma sucessão com termos em ],[ e lim n, então lim n f n E assim, de acordo com o gráfico, temos que f limf n f + Graficamente, na figura ao lado, estão representados alguns termos de n como objetos, e alguns termos da sucessão das imagens f n, que tendem para +, quando n tende para Resposta: Opção A 0 6 n. Sabemos que o declive da reta tangente m por ser calculado por: a tangente da inclinação: m tg π o valor da derivada no ponto de abcissa a Determinando a epressão da derivada, vem: f Logo, m f a a + 6 Desta forma temos que: Resposta: Opção D ln a + 6 a 6 a a Como lim f podemos afirmar que a reta horizontal definida pela equação y é uma assíntota do gráfico de f Como lim + f + podemos afirmar que a reta vertical definida pela equação é uma assíntota do gráfico de f Como y m + b é uma assíntota não vertical do gráfico de f se lim f m b, então como + f, temos que a reta definida por y + é uma assíntota não vertical do gráfico de f lim + Assim, a única opção em que são indicadas duas das três assíntotas identificadas é a opção B. Resposta: Opção B Página de 7

3 7. Como z + ki temos: z z + i + ki 6 + ki + i + ki 6 k + ik + 6 k + k + i Para que z z seja um imaginário puro Re z z 0 Logo 6 k 0 6 k Resposta: Opção D 8. Designado por z e w os números compleos que têm por imagens geométricas os pontos F e A, respetivamente. Assim temos que z w, porque os pontos A e F estão a igual distância da origem. Sabemos que o ângulo F OA tem amplitude 9 π 8π, porque os vértices do polígono dividem o 9 ângulo giro em 9 partes iguais. Logo arg w arg z + 0π 9 Como o ponto A está dobre a parte negativa do eio imaginário temos que arg w π, pelo que, substituindo na igualdade anterior, vem: π arg z + 8π 9 π 8π 9 arg z F Imz 9 π 0 arg z Rez 7π 8 6π π arg z arg z 8 8 Resposta: Opção B A GRUPO II... Sabemos que i 0, i i, i e i i, e que é válida a igualdade i n i k, onde k é o resto da divisão inteira de n por. Assim, como n 6 n 8 + n + temos que i n 6 i Devemos escrever cis cis π 6 na f.a. para podermos somar as parcelas do numerador: i π cos π + i sen π π π cos i sen Assim temos que: i n 6 + cis π + i + 6 π π i i π π cis cis cis cis cis π π cis cis π π cis 7π π 0 cis 0 Página de 7

4 .. Como z cis α cos α + i sen α e z cis α + π cos α + π + i sen α + π sen α + i cos α, vem que: z + z cos α + i sen α + sen α + i cos α cos α sen α + i sen α + cos α Assim, Re z + z cos α sen α e como α ] π, π [, logo cos α < sen α cos α sen α < 0, logo temos que Re z + z < 0 Im z + z sen α + cos α e como α é um ângulo do o quadrante, sen α > 0 cos α > 0 sen α + cos α > 0, logo temos que Im z + z > 0 Ou seja, a representação geométrica de z + z no plano compleo, pertence ao. o quadrante.... Como a eperiência Analisar um pacote de açucar se repete dez vezes, de forma independente, a distribuição de probabilidades da variável X: Número de pacotes em condições de serem comercializados, segue o modelo binomial P X k n C k p k q n k. Considerando como sucesso o acontecimento Pacote estar em condições de ser comercializado, a respetiva probabilidade, é: p P,7 < Y < 7, P 6, 0, < Y < 6, + 0, P µ σ < Y < µ + σ 0,9 Logo, q p P,7 < Y < 7, 0,9 0,0 Assim temos n 0, vem p 0,9 e q 0,0, pelo que: P X 8 0 C 8 0,9 8 0,0 0,06.. A resposta I 00 C 0 98 C 8 pode ser interpretada como: O número total de grupos de 0 funcionários que se podem escolher são 00 C 0. Naturalmente em alguns destes estão presentes as duas irmãs. Se ao número total destes grupos subtrairmos o número de grupos em que as duas irmãs estão presentes, ou seja, os grupos de 0 elementos que incluem as duas irmãs e mais 8 de entre os restantes 98 funcionários 98 C 8, restam apenas os grupos onde está apenas uma das irmãs ou então nenhuma delas, o que significa que pelo menos uma delas não integrará o grupo de funcionários escolhidos. A resposta II 98 C C 0 pode ser interpretada como: Os grupos de 0 funcionários, que respeitam a condição defina, podem ser de dois tipos: Apenas uma das irmãs pertence ao grupo. Eistem 98 C 9 grupos deste tipo, pois resultam de incluir das irmãs e mais 9 funcionários, escolhidos de entre os restantes 98. Nenhuma das irmãs pertence ao grupo. Eistem 98 C 0 grupos deste tipo, pois resultam da escolha de 0 funcionários do grupo de 98 funcionários que não incluí as irmãs. Assim, 98 C C 0 representa o número de grupos que incluí apenas uma das irmãs, adicionado ao número de grupos que não incluí nenhuma das irmãs. Página de 7

5 . Temos que, P A B B + P A B P A B B P B P A B P A B + P A B P B B + P A B P B B B P B P A B + P A B P B + P A B P B P A B + P A B P B P B P B Definição: P X Y P X Y P Y Leis de De Morgan: X Y X Y B B e X X Hipótese: P B 0 Teorema: P X Y P X P X Y Logo, se P B 0 então P A B B + P A B q.e.d.... Temos que f0 e k+ Calculando lim 0 +f, vem lim 0 e lim 0 +f e Indeterminação e + e +f e Como se pretende que lim 0 +f f0, vem 0 + e e + lim 0 + Lim. Notável e k+ e k+ + e k+ k + ln k + ln Página de 7

6 .. Como a função f é contínua em R\{0}, porque resulta de operações sucessivas entre funções contínuas, só podem eistir assíntotas verticais quando 0 ou quando 0 +. Calculando os limites temos: e lim f fazendo y, se 0 +, então y 0 + e y lim y 0 + y Lim. Notável lim 0 f 0 sen e e e lim sen sen + 0 sen + sen + sen sen Lim. Notável + lim Assim podemos concluir que 0 é a única assíntota vertical do gráfico de f quando 0... Para estudar o sentido o sentido das concavidades e a eistência de pontos de infleão, começamos por determinar a epressão da segunda derivada: Como R +, g f e e g g e e e e e e e Determinando os zeros da segunda derivada, vem: e e e g 0 e 0 e 0 0 PV, > 0 e 0 0 Eq Imp Assim, estudando a variação de sinal de g e relacionando com o sentido das concavidades do gráfico de g, vem: 0 + g n.d. + 0 g n.d. Pt. I. Logo, podemos concluir que o gráfico de g: tem um único ponto de infleão de abcissa tem a concavidade voltada para cima no intervalo ] [ 0, tem a concavidade voltada para baio no intervalo ], + [ Página 6 de 7

7 . A bissetriz dos quadrantes pares, é a reta de equação y, logo as coordenadas dos pontos A e B podem ser determinadas através da interseção do gráfico da função f com a reta y. Assim, traçando, na calculadora gráfica, os gráficos da função f e da reta, numa janela compatível como o domínio da função f, 7 < 0 - reproduzidos na figura ao lado - e recorrendo à função da calculadora para determinar valores aproimados das coordenadas dos pontos de interseção de dois gráficos, obtemos valores, aproimado às centésimas, para as coordenadas dos pontos A 6,8; 6,8 e B 0,6; 0,6 Calculando a distância entre dois pontos pela fórmula d B A + y B y A vem que: A y f y 6,8 d ,69 + 6,69,76 +,76 89, 9,6 6,8 B 0,6 0, Definindo o ponto P, como o ponto médio do lado [AB], a área da região sombreada pode ser calculada como a diferença entre a área do quadrado e a soma das áreas de 8 triângulos retângulos o triângulo [AEP ] e os restantes 7 semelhantes a este: A [AEBF CGDH] A [ABCD] 8 A [AEP ] Como P é o ponto médio de [AB], temos que AP, podemos determinar EP, recorrendo à definição de tangente de um ângulo: H G E F tg EP AP tg EP EP tg Assim, calculando a área da região sombreada, vem: A [AEBF CGDH] A [ABCD] 8 A [AEP ] AB 8 AP EP A 8 tg P 6 8 tg 6 6 tg 6 tg ] Logo, para cada valor de 0, π [, a área da região sombreada é dada por a 6 tg 6.. Como a função a resulta ] de operações sucessivas de funções contínuas em 0, π [, é uma função contínua, e, [ π ] por isso, também é contínua em,π. π π Como,8 < <,7, ou seja, a < < a, então, podemos] concluir, pelo Teorema de Bolzano, π [ que eiste α,π, tal que aα, ou seja, que eiste um ângulo α com amplitude compreendida entre π rad e π rad, que define uma região sombreada com área. C.A. π a π 6 tg,7 π π a 6 tg,8 Página 7 de 7