ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Trigonometria e Números Compleos TPC nº. Seja f = + ln (entregar até 7/0/009).. Determine f ( ), usando a definição de derivada de uma função num ponto... Mostre que:... + f( f e ) + =, IR ;... y = + ln( e) é uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa... A solução da inequação f < 6 é um intervalo do tipo ] [ a,b, a,b IR.Utilize a calculadora para determinar a e b. Apresente os valores de a e b arredondados às milésimas.. Considere a função real g, definida por g() = e a função f representada graficamente na figura. Sabe-se que a recta t é tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa, e intersecta o eio das abcissas no ponto (,0 )... Mostre que não eiste nenhum ponto do gráfico de g onde este admita uma tangente horizontal... Determine o valor de... ( f g)... ( g f). Determine a epressão de f.. e f() = +.. f() = + log, da derivada de f, sabendo que: Professora: Rosa Canelas

2 . No referencial da figura estão representadas graficamente as funções f e g assim definidas: = cos e g f π = sen.. Tratando-se de funções periódicas, indique o período de cada uma delas... Calcule a área do triângulo [ABC]... Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que a equação ( f + g) = π é possível em, π.. Resolva f = g.5. Resolva em [ 0,π [ a condição g > f.6. Determine, em [ 0,π ], as abcissas dos pontos do gráfico de f onde a recta tangente é perpendicular à do gráfico de g no ponto de abcissa 5 π. Professora: Rosa Canelas

3 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Trigonometria e Números Compleos TPC nº Proposta de resolução. Seja f = + ln (entregar até 7/0/009).. Determinemos f ( ), usando a definição de derivada de uma função num ponto. + ln () ln ln y + f = lim = lim + = + lim = = 0 y 0 y, Na ª passagem utilizámos a definição de derivada num ponto Na ª passagem transformámos a fracção numa soma de duas fracções Na ª passagem fizemos a mudança de variável y = = y + donde resulta que quando teremos y 0 Na ª passagem utilizámos um limite notável... Mostremos que: + f + f = e, IR ;... Cálculo da derivada f = + =. Mostrar que a epressão dada é equivalente à obtida para a derivada ln + f + + ln f = e = e = e = Conclusão: f = e, IR + f +... y = + ln( e) é uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. Provemos então que o declive da tangente é m = e que a ordenada na origem da recta é b = ln( e) Cálculo de m: m= f = = = Cálculo da ordenada do ponto de abcissa f ln ln = + = + Cálculo de b Professora: Rosa Canelas

4 A equação será da forma y = + b e contém o ponto de coordenadas, + ln pelo que + ln = + b b = + ln b = lne+ ln b = ln( e) y = + ln e é uma equação da recta tangente ao gráfico de f no Conclusão: ponto de abcissa... A solução da inequação f < 6 é um intervalo do tipo ] [ a,b, a,b IR. Utilizemos a calculadora para determinar a e b. Apresentemos os valores de a e b arredondados às milésimas. Utilização da calculadora para determinar as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico com a recta de equação y = 6 Da observação dos gráficos podemos concluir ser a 0,00 e b 8,09. Considere a função real g, definida por g() = e a função f representada graficamente na figura. Sabe-se que a recta t é tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa, e intersecta o eio das abcissas no ponto (,0 )... Para mostrar que não eiste nenhum ponto do gráfico de g onde este admita tangente horizontal temos que demonstrar que não eiste nenhum ponto onde a derivada seja zero. Cálculo da derivada: ( ) ( ) + g () = = = = = Mostrar que a derivada não pode ser zero: Sabemos que g () < 0, \ { 0} logo não eiste nenhum ponto do domínio de g onde g () = 0... Determinemos o valor de... ( f g) = f g + g f f = tg0º = Professora: Rosa Canelas

5 9 g() = = g 9 = = 9 Como a recta t tem declive tg0º = e contém o ponto de coordenadas (,0 ) pelo que 0 = + b = b. Logo t:y= +. f() = + =. Cálculo pedido f g = f g + g f = + = g f = f g f = g = =... ( ). Determinemos a epressão de f, da derivada de f..... e e e e e f() = = = e + e = = + + f() = log + = + = + = + ln ln ln ln ( ln) ( ln) ( ln) ln ln ln = + = + = + = ln. No referencial da figura estão representadas graficamente as funções f e g assim definidas: = cos e g f π = sen.. Tratando-se de funções periódicas, indiquemos o período de cada uma delas: A função f tem período π A função g tem período π. Professora: Rosa Canelas

6 .. Calculemos a área do triângulo [ABC], começando por calcular as coordenadas dos pontos A, B e C Cálculo das abcissas de A e de B: k cos = 0 = π + k π,k = π + π,k k k = 0 k = k = π kπ π = + = π π π = + = π 5π = +π= Daqui conseguimos tirar as coordenadas de A,0 e de B,0 Cálculo das coordenadas de C: π π cos = sen sen sen = π π π π π π = + kπ = π + + kπ = + kπ = + k π,k π kπ π = = k π,k k = 0 k = k = π = π = π π π = + = π π = +π= π π 9π = + = π 5π = + π= cos = cos = 0 e cos π cos π cos π cos π = = π = = Os pontos de intersecção das duas curvas, representados no gráfico são: A,0 e C, Concluímos então a medida da base do triângulo e da altura o A base é π π π AB = = o A altura é a ordenada do ponto C. Cálculo da área do triângulo [ ABC ] π π A = = 8 + = é.. Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostremos que a equação ( f g) π possível em, π Professora: Rosa Canelas

7 π f + g = cos + sen o que significa que f + g é uma função contínua em IR por ser a soma de duas funções contínuas em IR e portanto π também é contínua em, π Ora π f + g cos sen 0,9 = π + = + π f + g π = cos π + senπ = +,7 ( f + g) < < ( f + g)( π) Pelo teorema de Bolzano, f, porque: π f + g é contínua em, π e + gnão pode passar de + a + sem passar por ( f + g) < < ( f + g)( π) Podemos, então, concluir que a equação ( f g) + = tem pelo menos uma solução em π, π... Resolvamos π π π f = g cos sen cos sen cos cos = = = = π + kπ = π + k π,k = π + kπ = π + k π,k.5. Resolvamos em [ 0,π [ a condição g > f Da observação dos gráficos no intervalo [ 0,π [ concluímos haver pontos de intersecção (da equação π π 5π que resolvemos em..) com abcissas,, e 9 π pelo que 5 9 π π π π g > f,, Professora: Rosa Canelas

8 .6. Determinemos, em [ 0,π ], as abcissas dos pontos do gráfico de f onde a recta tangente é perpendicular à do gráfico de g no ponto de abcissa 5 π. Cálculo do declive da tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 5 π 5π m= g Ora g cos π = logo 5π π m= cos = cosπ = Cálculo do declive das tangentes perpendiculares à tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 5 π Esta terá declive m = porque m =. m Cálculo dos pontos do gráfico de f onde as tangentes têm declive π 7π f = sen = sen = = + kπ = + k,k π 6 6 π 7π k k,k 0,π são: = + π = + π, as soluções do intervalo [ ] π π =π =, Conclusão: π π = π =, 7π = e 7π 9π = +π= As abcissas dos pontos do gráfico de f, pertencentes ao intervalo [ 0,π ], onde a recta tangente ao gráfico é perpendicular à do gráfico de g no ponto de abcissa 5 π 7π π 9π π são,, e. Professora: Rosa Canelas

9 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Trigonometria e Números Compleos... + ln f = lim () + ln ln lim = lim + ln ln y + lim + lim = + y 0 y CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DO TPC nº 7 Pontos 8 Pontos Pontos Pontos por mudança de variável y = Pontos Conclusão de que f () = 0 Pontos..... Calcular a derivada Pontos 6 Pontos f = + = Pontos Mostrar que a epressão dada é equivalente à obtida para a derivada. Pontos... 8 Pontos Provar que o declive da tangente é m= f = Pontos Calcular f = + ln Pontos Calcular a ordenada na origem b = + ln = lne + ln = ln( e) Pontos... Apresentar o gráfico com os pontos assinalados e os valores de a e b arredondados às milésimas.. 5 Pontos 7 Pontos 5 Pontos Calcular a derivada g () = Pontos Professora: Rosa Canelas

10 Concluir que a derivada é negativa em todo o domínio pelo que não se anula. Pontos..... f = tg0º = 9 g() = = g 9 = = 9 Pontos 8 Pontos Pontos Pontos Pontos Cálculo da equação da tangente para concluir que f() = + = Pontos.. Cálculo pedido f g = f g + g f = + =... Cálculo pedido.. Cálculo da derivada Pontos g f = f g f = g = = Pontos 7 Pontos 8 Pontos Derivada do quociente Pontos Derivada da eponencial Pontos Derivada da potência Simplificação.. Cálculo da derivada.... Derivada da soma. Derivada do logaritmo Pontos Pontos 9 Pontos Ponto Pontos Derivada do quociente Pontos Simplificação O período de f é π O período de g é π Pontos 9 Pontos Pontos Pontos Pontos Pontos Calcular as coordenadas de A e de B através da equação cos = 0 Pontos Calcular as coordenadas de C através da equação cos π = sen Pontos Concluir a medida da base e da altura do triângulo Pontos Calcular a área do triângulo Pontos Professora: Rosa Canelas

11 .. 5 Pontos π Provar que f+g é contínua em, π Ponto Calcular f + g 0,9 e ( f + g)( π),7 Pontos Aplicar o Teorema de Bolzano para concluir Pontos.. Resolver a equação f.5. = g 5 Pontos 5 Pontos Apresentar os gráficos no intervalo [ 0,π [ Ponto Identificar os pontos de intersecção encontrados em. Ponto.6. Resolver a inequação Calcular o declive da recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 5 π Pontos 8 Pontos Pontos Calcular o declive das rectas perpendiculares à tangente Pontos Calcular as abcissas dos pontos do gráfico de f onde a tangente tem declive Pontos Calcular as abcissas dos pontos que estão no intervalo[ 0,π ] Ponto TOTAL 00 Pontos Professora: Rosa Canelas