Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. TPC nº 4 (entregar no dia )

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II TPC nº 4 (entregar no dia ) 1. Na figura está representado um relógio de uma estação de camino-de-ferro. O mostrador é um cículo e está apoiado numa barra. Sabe-se que, t segundos após as zero oras, A distância (em metros) da extremidade do ponteiro das oras à barra é dada por: 1 π ( t) = 1+ cos t 1600 A distância (em metros) da extremidade do ponteiro dos minutos à barra é dada 7 π m t = 1+ cos t por: (Nota: Tanto em como em m o argumento da função co-seno está expresso em radianos.) 1.1. Determine ( 0 ) e m( 0 ) e interprete estes valores. 1.. Mostre que o ponteiro dos minutos tem mais 0 cm do que o ponteiro das oras Verifique que 3600 é o período da função m e 4300 é o período da função. Interprete estes valores no contexto da situação apresentada Seja A a extremidade do ponteiro das oras e seja B a extremidade do ponteiro dos minutos. Tal como a figura sugere, alguns minutos depois das zero oras, a recta AB é paralela à barra na qual o relógio está apoiado. Pouco antes da 1 ora da manã, á outro instante em que isso acontece. Determine-o, apresentando o resultado em oras, minutos e segundos (segundos arredondados às unidades). Professora: Rosa Canelas 1

2 . Um jovem foi tomar bano numa praia sem vigilância. Sentiu-se mal e começou a pedir ajuda. Foi visto, como ilustra a figura, simultaneamente pelos nadadores salvadores de duas praias próximas que entraram no mar no mesmo instante. Em virtude das correntes, o nadador salvador da esquerda nada 50 metros num minuto e o da direita nada 60 metros num minuto. Qual deles cega primeiro ao banista? 3. Considere a função 3.1. Mostre que f ( x) f x = sen x + cos x 1, para x definido em radianos. = cos x. 3.. Calcule os zeros de f no intervalo 3π 0, Calcule π f 0, f 6 e 11π f 3. A D B C 4. Considere o cubo representado na figura e mostre, utilizando produto escalar, que a diagonal facial [AC] e a diagonal espacial [HB] são perpendiculares. H G E F 5. Na figura está representado um rectângulo [ABCD]. Mostre que o produto escalar AB AC é igual a AB A B D C Professora: Rosa Canelas

3 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II TPC nº 4 Proposta de resolução 1. Na figura está representado um relógio de uma estação de camino-de-ferro. O mostrador é um cículo e está apoiado numa barra. Sabe-se que, t segundos após as zero oras, A distância (em metros) da extremidade do ponteiro das oras à barra é dada por: 1 π ( t) = 1+ cos t 1600 A distância (em metros) da extremidade do ponteiro dos minutos à barra é dada 7 π m t = 1+ cos t por: (Nota: Tanto em como em m o argumento da função co-seno está expresso em radianos.) 1.1. Determinemos ( 0) = 1+ cos 0 = 1,5m e 1 7 m 0 = 1+ cos 0 = 1,7m e interpretemos 10 estes valores: ( 0) = 1,5m representa a distância máxima da ponta do ponteiro das oras à barra onde está apoiado o relógio que é atingida quando o ponteiro atinge o 1 e m( 0) = 1,7m representa a distância máxima da ponta do ponteiro dos minutos à barra onde está apoiado o relógio que é atingida quando o ponteiro atinge o Mostremos que o ponteiro dos minutos tem mais 0 cm do que o ponteiro das oras. Às zero oras os dois ponteiros coincidem e a diferença entre as distâncias das pontas dos ponteiros (dos minutos e das oras) à barra, dá-nos a diferença de comprimentos assim 1,7 1,5 = 0,m = 0 cm 1.3. Verifiquemos que 3600 é o período da função m e 4300 é o período da função. Interprete estes valores no contexto da situação apresentada. De facto 7 π 7 π m t cos t cos t m t ( + ) = + ( + ) = + + π = e ao fim de 3600 segundos decorreu uma ora e o ponteiro dos minutos termina uma volta completa, voltando a repetir os valores da distância entre a sua ponta e a barra. No caso da função Professora: Rosa Canelas 3

4 1 π 1 π será ( t ) = 1+ cos ( t ) = 1+ cos t + π = ( t) fim de 4300 segundos decorreram 1 oras e o ponteiro das oras termina uma volta completa, voltando a repetir os valores da distância entre a sua ponta e a barra Seja A a extremidade do ponteiro das oras e seja B a extremidade do ponteiro dos minutos. Tal como a figura sugere, alguns minutos depois das zero oras, a recta AB é paralela à barra na qual o relógio está apoiado. Pouco antes da 1 ora da manã, á outro instante em que isso acontece. Determinemolo, apresentando o resultado em oras, minutos e segundos (segundos arredondados às unidades). Pretendemos encontrar uma nova solução para a equação m( t) = n( t) no intervalo [ ] ora. e ao 0,3600 que corresponde a uma O outro instante a que se refere o problema acontece às 0 51 m e 40 segundos. Um jovem foi tomar bano numa praia sem vigilância. Sentiu-se mal e começou a pedir ajuda. Foi visto, como ilustra a figura, simultaneamente pelos nadadores salvadores de duas praias próximas que entraram no mar no mesmo instante. Em virtude das correntes, o nadador salvador da esquerda nada 50 metros num minuto e o da direita nada 60 metros num minuto. Qual deles cega primeiro ao banista? Professora: Rosa Canelas 4

5 Podemos resolver este problema por, pelo menos, dois processos semelantes: 1º - dividindo o triângulo pela altura relativa ao lado cuja medida conecemos: tg( 30º ) = x = x = 3 x 3 3 tg( 40º ) = = 600tg( 40º ) tg( 40º ) 1+ 3tg( 40º ) = 600tg 40º 600tg( 40º ) = 1+ 3tg 40º sen 40º = a = pelo que a 319, 5m a sen 40º sen( 30º ) = b = b = pelo que b 410, 4m b 1 a Como a distância a é percorrida a 50 m por minuto o nadador da esquerda demora t 1 = ou 50 seja t 1 6m 3s a 40º b 600-x x 30º Como a distância b é percorrida a 60 m por minuto o nadador da direita demora t seja t 6m 50s b = ou 60 Assim o nadador da esquerda cega 7 segundos antes do nadador da direita. º - dividindo o triângulo pela altura relativa ao lado adjacente ao ângulo de 30º. 1 sen30º = = 600 = sen 70º tg 70º = a = 300 pelo que a 319,5m a sen 70º = 300 n = 300 n tg 70º b + n cos 30º = b = 600 n b = tg 70º pelo que b 410,4m a Como a distância a é percorrida a 50 m por minuto o nadador da esquerda demora t 1 = ou 50 seja t 1 6m 3s 70º n a 110º b 40º 30º 600 m Como a distância b é percorrida a 60 m por minuto o nadador da direita demora t seja t 6m 50s b = ou 60 Assim o nadador da esquerda cega 7 segundos antes do nadador da direita. Professora: Rosa Canelas 5

6 3. Consideremos a função 3.1. Mostremos que f ( x) f x = sen x + cos x 1, para x definido em radianos. = cos x. Ora f ( x) sen x ( cos x 1) = + f x = sen x + cos x cos x + 1 aplicando a fórmula fundamental da Trigonometria fica f ( x) = 1 cos x + 1 f ( x) = cos x 3.. Calculemos os zeros de f no intervalo 3π 0,. π Ora cos x = 0 cos x = 0 x = + k π,k Z logo, no intervalo π 3π x = x = Calculemos: f ( 0) = cos 0 = 1=, 3π 0, as soluções são π π 3 f = cos = = 3 e π 11π π π 1 f = cos = cos 4π = cos = = Consideremos o cubo representado na figura e mostremos, utilizando produto escalar, que a diagonal facial [AC] e a diagonal espacial [HB] são perpendiculares. D z C Comecemos por considerar o referencial A B desenado na figura ao lado. Considerando "a" a medida da aresta do cubo, as coordenadas dos extremos das diagonais são: A ( a,0,a ) ; C( 0,a,a ) ; B( a,a,a ) e H 0,0,0. AC = a,a,0 As coordenadas dos vectores são: e BH = ( a,a,a ) AC BH = a a + a a + 0 a = a + a = 0 O produto escalar x E H=O F G y Porque o produto escalar é zero, podemos concluir que as diagonais são perpendiculares. 5. Na figura está representado um rectângulo [ABCD]. Mostremos que o produto escalar AB AC é igual a AB. AB AC = AB AB + BC = AB AB + AB BC = AB + 0 = AB Ora A D B C Professora: Rosa Canelas 6

7 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II TPC nº 4 Critérios de classificação Calcular Interpretar o resultado 3 m 0 Calcular Interpretar o resultado Verificar o período em m Interpretar o resultado Verificar o período em Interpretar o resultado Identificar a equação a resolver Apresentar o gráfico com a solução assinalada 3 Dar a resposta na unidade pedida. 0 Apresentar uma figura com o método que vai utilizar Calcular 3 Calcular x ou n 3 Calcular a 3 Calcular b 3 Calcular o tempo para o nadador a Calcular o tempo para o nadador b Responder Desenvolver o quadrado da diferença 3 Aplicar a fórmula fundamental da Trigonometria 3 Concluir a igualdade Escrever a equação cos x = 0 Resolver a equação em IR 4 3π Indicar os zeros em 0, Calcular f ( 0 ) π Calcular f 6 11π Calcular f 3 4 Professora: Rosa Canelas 7

8 4. 15 Considerar o referencial Considerar a como o valor da aresta do cubo Escrever as coordenadas dos pontos A, B, C e H 4 Escrever as coordenadas dos vectores Calcular o produto escalar dos vectores 3 Concluir Total 100 Professora: Rosa Canelas 8