ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA A Teste de avaliação Grupo I

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA A Teste de avaliação Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada pergunta não respondida, anulada ou com resposta errada vale 0 (zero) pontos. 1. Considere a função f, de domínio IR, representada graficamente na figura ao lado. O conjunto dos zeros de f pode ser: (A) { 3,1, } (B) { 3} [, + [ (C) { } (D) { 3} O 5. De uma função h, de domínio IR, sabe-se que: h0 ( ) = 0 h é estritamente crescente no intervalo [0,] h é uma função par. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (C) h é estritamente decrescente no intervalo [-1,0] (D) h tem um máimo relativo para =0. (A) h( 1) < 0 (B) h( ) + h( ) = 0 3. A parábola de equação = ( 1) + 3tem vértice no ponto de coordenadas: (A) ( 1, 3 ) (B) ( 1, 3 ) (C) ( 1, ) (D) (,3).. Considere o ponto do plano A (, 1). As coordenadas do ponto simétrico de A em relação à recta de equação = são: PROFESSORA: Rosa Canelas 1

2 (A) (,5 ) (B) (,5 ) (C) (, 5) (D) (0, 1) 5. Considere, num referencial o.n. O: - a circunferência C definida pela equação ( ) - o ponto P de coordenadas ( 3,1 ) + = Qual das afirmações seguintes é verdadeira: (A) P é o centro de C (B) P é eterior a C (C) P pertence a C (D) P é interior a C Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproimação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor eacto. 1. Sejam f, g e h as funções de domínio IR representadas graficamente na figura Faça um quadro de sinal e um quadro de variação da função f. 1.. Indique o contradomínio das funções f, g e h Identifique os zeros da função r definida em IR por r( ) = f( 1). 1.. Defina analiticamente as funções f, g e h Resolva a inequação h( ) > Indique as coordenadas do vértice da parábola que representa graficamente a função s definida em IR por s( ) = h( ) Indique que valores pode atribuir a k para que as funções m k, de domínio IR, definidas por k ( ) ( ) m = g + k não tenham zeros.. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre eles é de 1 metros. PROFESSORA: Rosa Canelas

3 f = Considere a função f, definida por ( ) ( ) Admita que f ( ) é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado a metros à direita do 1º poste..1. Calcule a altura dos postes... Determine a distância ao º poste do ponto do fio que está à distância mínima do solo..3. Calcule o valor de, sabendo que o ponto do fio correspondente está a 7,5 m do solo. 3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oz, um octaedro regular; sabe-se que O é um dos vértices, ST é paralela a OZ, P O, R O e a aresta do octaedro tem comprimento Use as letras da figura para indicar: duas rectas concorrentes não perpendiculares. T duas rectas não complanares. 3.. Escreva uma equação vectorial da recta SQ e determine as coordenadas do ponto em que ela intersecta o plano Oz Determine as coordenadas de um vector colinear com PR T e com norma. 3.. Seja A um ponto pertencente à aresta [RS]. Considere a secção produzida pelo plano que contém A e é paralelo ao plano O. Seja d a distância de A a R. Caracterize a função f que faz corresponder a cada valor de d a área da referida secção, indicando o domínio e a epressão analítica. FIM PROFESSORA: Rosa Canelas 3

4 COTAÇÕES Grupo I... 5 Cada resposta certa... 9 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTAL PROFESSORA: Rosa Canelas

5 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA A Teste de avaliação proposta de correcção Grupo I 1. (B) Consideremos a função f, de domínio IR, representada graficamente na figura ao lado. O conjunto dos zeros de f é { 3} [, + [ O 5. (C) De uma função h, de domínio IR, sabe-se que: h0 ( ) = 0 h é estritamente crescente no intervalo [0,] h é uma função par. A afirmação verdadeira é h é estritamente decrescente no intervalo [-1,0] como se pode constatar no gráfico ao lado que representa uma possível função com as características enunciadas O - 3. (B) A parábola de equação = ( 1) + 3tem vértice no ponto de coordenadas ( 1, 3 ) 6 A'. (B) Consideremos o ponto do plano A (, 1). As coordenadas do ponto simétrico de A em relação à recta de equação = são (,5 ) O 5 5. (C) Consideremos, num referencial o.n. O: A - a circunferência C definida pela equação - ( ) + = - o ponto P de coordenadas ( 3,1 ) A afirmação que é verdadeira é P pertence a C Porque o centro da circunferência é o ponto de coordenadas ( 0, ) e o raio é e a distância de P ao centro da circunferência é ( 0 3) + ( 1) = 3+ 1= PROFESSORA: Rosa Canelas 5

6 Grupo II 1. Sejam f, g e h as funções de domínio IR representadas graficamente na figura Façamos um quadro de sinal e um quadro de variação da função f. - + f( ) f( ) 1 ' ' ' 1.. Indiquemos o contradomínio das funções f, g e h: D = [ 1, + [ ; D = [ 0, + [ e D = ],0] 1.3. Identifique os zeros da função r definida em IR por r( ) = f( 1). O gráfico da função r resulta do gráfico de f por uma translação horizontal associada ao vector de coordenadas ( 1, 0 ). f g h Assim os seus zeros são = 3 = Definamos analiticamente as funções f, g e h. f( ) = porque obtemos este gráfico por uma translação vertical associada ao vector de coordenadas ( 0, 1) aplicada ao -5 O gráfico do módulo de = + 3. Para encontrarmos a epressão que define g vamos determinar a ordenada na origem da recta que gera o módulo e que verificamos ter declive e passar no ponto de coordenadas (,0). = + b = = 0 0= + b b=. Então será g( ) = O gráfico de h é uma parábola com vértice no ponto de coordenadas ( 1, 0 ) e passa no ponto de coordenadas ( 0, 1), Será então = a( 1) = 0 = 1 1= a( 0 1) a= 1 e h( ) = ( 1) As três funções têm domínio IR. - PROFESSORA: Rosa Canelas 6

7 1.5. Da observação do gráfico podemos concluir que: h( ) > 1 ] 0,[ 1.6. As coordenadas do vértice da parábola que representa graficamente a função s definida em IR por s( ) = h( ) + são ( 1, ) 1.7. Os valores que podemos atribuir a k para que as funções m k, de domínio IR, definidas por mk ( ) = g( ) + k não tenham zeros são todos os valores do intervalo ],0[ definida por g( ) pois a função = vai ter um gráfico simétrico do de g em relação ao eio O e terá um zero em =. Se lhe adicionássemos um valor positivo ela passaria a ter dois zeros pois o seu máimo passaria de zero para o valor positivo de k.. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre eles é de 1 metros. f = Consideremos a função f, definida por ( ) ( ) Admitamos que f ( ) é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado a metros à direita do 1º poste..1. A altura dos postes vai ser dada por: f( 0) = 1 ( 0 ) + 3 = 5 e f( 1) = 1 ( 1 ) + 3 = 11 O primeiro poste mede 5 m e o segundo poste mede 11 metros... Para determinarmos a distância ao º poste do ponto do fio que está à distância mínima do solo vamos relembrar que o mínimo desta função é a ordenada do vértice da parábola que representa a função e que neste caso tem coordenadas (,3 ). Isto significa que esse ponto dista metros do 1º poste e portanto metros do poste maior por ser = Para calcularmos o valor de, sabendo que o ponto do fio correspondente está a 7,5 m do solo temos de resolver a equação: 1 1 ( ) + 3 = 7,5 ( ) =,5 ( ) = 36 = 6 = 6 = 10 = Como só pode tomar valores entre 0 e 1 podemos dizer que o valor de pedido é Na figura está representada, em referencial o.n. Oz, um octaedro regular; sabe-se que O é um dos vértices, ST é paralela a OZ, P O, R O e a aresta do octaedro tem comprimento Usando as letras da figura vamos indicar: PROFESSORA: Rosa Canelas 7

8 duas rectas concorrentes não perpendiculares SQ e SR por eemplo duas rectas não complanares SR e PO 3.. Uma equação vectorial da recta SQ: Indiquemos sucessivamente: as coordenadas dos pontos S e Q. 1 1 S,, quadrado de lado 1 e Q1,1,0 ( ) (notar que [ST] é uma diagonal de um T as coordenadas de 1 1 SQ = Q S =,, equação vectorial da recta : ( ) ( ) 1 1,,z = 1,1,0 + k,,, k determinar as coordenadas do ponto em que ela intersecta o plano Oz. 1 1,,z = 1,1,0 + k,,, k = 0 ( ) ( ) 1 = 1 + k = ,0, z = 1,1,0 + k,, 0 = 1+ k k = z = z = k ( ) ( ) O ponto de intersecção da recta com o plano Oz tem coordenadas ( 0,0, ) 3.3. Para determinarmos as coordenadas de um vector colinear com PR e com norma. vamos calcular sucessivamente: As coordenadas de P e de R : P( 1,0,0 ) e R( 0,1,0 ) As coordenadas de PR = R P = ( 1,1, 0 ) A norma de PR : ( ) PR = = O vector pedido será então coordenadas (,,0)..PR porque a norma dele vai ser então = e terá 3.. Seja A um ponto pertencente à aresta [RS]. Consideremos a secção produzida pelo plano que contém A e é paralelo ao plano O. Seja d a distância de A a R. Caracterizemos a função f que PROFESSORA: Rosa Canelas

9 faz corresponder a cada valor de d a área da referida secção, indicando o domínio e a epressão analítica. Vamos fazer sucessivamente: Identificar a secção: trata-se de um quadrado cuja área será igual ao quadrado do seu lado. Observemos agora a face [SQR] e o ponto A que pertence à aresta [SR] e que dista d de R. Os triângulos [SQR] e [SBA] são semelhantes porque BA é paralela a QR e por isso são ambos equiláteros já que [SQR] é uma face do octaedro regular. S 1-d 1-d B 1-d A d Ficamos assim a saber em função de d a medida do lado do quadrado e que é 1 d. Q R Então a nossa função será definida por f( d) = ( 1 d) com d a tomar valores no intervalo [ 0,1 ] uma vez que A só percorre a aresta do octaedro que mede 1. PROFESSORA: Rosa Canelas 9