TPC n.º 2 do plano de trabalho nº 9. Resolver os exercícios 1, 2 3 e 4 da tarefa VARIAÇÕES MÉDIAS da página 44, os exercícios 1, 2 e 3 da página 74.

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I. Funções racionais e com radicais. Taxa de Variação e Derivada TPC n.º do plano de trabalho nº 9 Resolver os exercícios, e da tarefa VARIAÇÕES MÉDIAS da página, os exercícios, e da página 7. Exercícios, e da tarefa VARIAÇÕES MÉDIAS da página. O gráfico seguinte representa a função h. A taxa média de variação é em: a. [-,] dada por: b. [,7] dada por: c. [-,7] dada por: d. [-,] dada por: e. [,] dada por: f. [6,7] dada por: g. [0,5] dada por: h h h7 h h7 h h h h h 5 6 = h7 h h5 h Neste caso temos necessidade de calcular h(5) e h(0). h(5) é a imagem de 5 numa função afim que passa nos pontos (,5) e (6,). O declive da recta que representa essa função é o declive do vector (,-) ou seja. A equação da recta será da forma de um dos pontos podemos calcular b. Então 5 7 h5 = 5+ = + = y = x+ b. Substituindo x e y pelas coordenadas 5 = + b b=. Professora: Rosa Canelas

2 h(0) é a imagem de 0 numa função afim que passa nos pontos (-,) e (,-). O declive da recta que representa essa função é o declive do vector (,-) ou seja. A equação da recta será da forma de um dos pontos podemos calcular b. Então h0 =. y = x+ b. Substituindo x e y pelas coordenadas = + b b=. h. [,;,] igual à taxa média de variação no intervalo [,] por a taxa média de variação num intervalo ser igual ao declive da recta que une os pontos da representação gráfica da função que têm como abcissas os extremos do intervalo. Ora a recta que passa nos os pontos de abcissas, e, é a mesma que passa nos pontos de abcissas e. Daí a taxa média de variação em [,;,] é como na alínea e... Ainda relativamente à mesma função vamos procurar um intervalo onde a taxa média de variação seja: a. 0. Pode ser o intervalo [-,6] porque h( ) = h( 6). b.,5. Pode ser [,6] porque do ponto de abcissa para o de abcissa 6 temos de andar casas no sentido do Ox positivo e no do Oy negativo e =, 5. c. 0,6. Pode ser [-,] porque do ponto de abcissa - para o de abcissa temos de andar 5 casas no sentido do Ox positivo e no do Oy positivo e 0,6 5 =. d. Pode ser [,6] porque do ponto de abcissa para o de abcissa 6 temos de andar casas no sentido do Ox positivo e no do Oy positivo. e. Pode ser [-,] porque do ponto de abcissa - para o de abcissa temos de andar casas no sentido do Ox positivo e no do Oy negativo.. Numa certa função f, sabemos que f(5) = 8 e [5,] = e pretendemos saber o valor de f(). Usando a definição de taxa média de variação será: f f 5 f 8 = = f( ) 8= f( ) = Então f() = 9.. Consideremos a função g( x) = x + 9x 8 e calculemos a taxa média de variação nos intervalos seguintes: Professora: Rosa Canelas

3 g5 g 8 a. [-,5]. [,5 ] = g( ) = 9 8= 8 g 0 g b. [0,0] [ 0,0] = porque g( 0) = = 8 e g0 = = 8 g8 g 0 0 c. [,8] [,8] = 8 5 g( ) = = 0 porque g5 = + 5 8= e porque g8 = = 0e g, g 0,9 0 d. [;,] [ ;,] =,9 porque, 0, g(,) = 9,6+ 7,9 8 = 0,9 e g = = 0 e. Indiquemos um intervalo onde a taxa média de variação seja nula. Vamos ver o gráfico da função: Ou apenas uma tabela de valores da função: Agora podemos dar vários intervalos onde a taxa média de variação seja zero. Por exemplo: [,8] ou [,6], etc... Exercícios, e da página 7.. As notas de uma viagem de Porto a Valença são: Horas Distância Porto h 00m 0 km Póvoa h m 8 km Esposende h 8m 5 km Viana 5h 08m 70 km Caminha 5h 8m 9 km Valença 6h 00m km Professora: Rosa Canelas

4 a. Representação gráfica da relação tempo distância, supondo constante a velocidade em cada troço. b. Por os troços terem declives muito próximos torna-se difícil, usando apenas o gráfico dizer com segurança em que troço a velocidade foi maior e menor. Além disso temos um gráfico num referencial dimétrico. 8 0 c. [ ;,5] 80km / h ; 8 0,5 + ; ; ; ; = 50km / h = 7km / h = 56,5km / h = km / h 8 7 d. A velocidade média da viagem foi 6 km/h, porque 0 = 6km / h. 6 e. Passado uns tempos desta viagem chegou um aviso da polícia com uma multa por excesso de velocidade, alegando ter andado a 00 km/h onde isso não era permitido. Esta situação é possível porque o facto de as (-,) (,) médias serem inferiores a 00 isso não significa que em cada instante a velocidade seja igual à média, ela pode ser umas vezes (-,) (7,) maior que a média e outras menor. (,0). Calculemos a taxa média de variação da função representada no gráfico seguinte, nos intervalos que seguem: a. [-,] [,] + 5 b. [,] (,-) Professora: Rosa Canelas

5 [,] 7 c. [-,0] [,0] 0 d. [0,] 0 [ 0,] e. [-,7] [,7 ] = 7+ 8 f. [-,7] [,7] Vamos descobrir intervalos onde a taxa média de variação desta função seja: a.. Em [,5] temos um segmento com declive. b.. Em [0,] temos um segmento de declive. c. 0,5. Em [5,7] o segmento tem declive 0,5. d. 0,5. Em [,5] a taxa média de variação é 0,5 porque os pontos (,) e (5,0) definem uma recta com a direcção do vector (,-) cujo declive é = = 0,5 e. 0,. Em [0,5] a taxa média de variação é 0 = = 0, f.. Em [, ] o segmento tem declive e como a taxa média de variação de uma função num intervalo é igual ao declive da recta que une os pontos do gráfico com abcissas iguais aos extremos do intervalo essa taxa é como nos foi pedido. Professora: Rosa Canelas