ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A

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1 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tarefa de revisão nº 6. Qual das seguintes representações gráficas se refere a uma função com derivada no ponto de abcissa?. Na figura está representada uma função polinomial f. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função derivada de f? Professora: Rosa Canelas

2 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A 3. Na figura está o gráfico de uma função f racional do tipo f( x) a +, a,c IR\ {} 0 e as rectas de equação x c y e x 3 que são assímptotas do gráfico de f. Uma expressão analítica para representar f(x) será: A. + f(x) x 3 B. + f(x) 3 x C. + + f(x) 3 x D. + + f(x) x y 3 6 x. Uma fábrica produz dois tipos de peças. O custo por peça de cada tipo é dado, em função do número de peças produzidas x por: Custo por peça do tipo P ( x) Custo por peça do tipo P ( x) 5x + 0 8x +.. Calcule o preço de produção de uma única peça de cada tipo... Peças de tipos diferentes têm custos de produção diferentes. Defina a função que, para o mesmo número de peças produzidas dos dois tipos, traduz a diferença de custo por peça..3. Quantas peças do tipo deverão ser produzidas para que o custo por peça não exceda,5?.. A fábrica naturalmente aspira a produzir um grande número de peças dos dois tipos. Qual será, aproximadamente, o preço por peça de cada tipo.. A altura h em milímetros de água num vaso, em função do tempo, em segundos, de h t 0t 0,t enchimento é dada pela função: ( ) +.. Se o vaso tem 0 cm de altura, quanto tempo leva a encher o vaso?.. Determine a velocidade média de enchimento do vaso entre os e os segundos..3. Determine a velocidade com que a água sobe no vaso: segundos depois de se iniciar o enchimento; segundos depois de se iniciar o enchimento... Comente, numa pequena composição, a grandeza relativa dos valores que encontrou em Professora: Rosa Canelas

3 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tarefa de revisão nº 6 - Proposta de resolução. C. Das seguintes representações gráficas a que se refere a uma função com derivada no ponto de abcissa é aquela em que as duas semitangentes estão na continuação uma da outra. Pelo que o único gráfico que verifica isso é o C.. C. Na figura está representada uma função polinomial f. x - -0,6.5 + f(x) M m M m f '(x) Dos gráficos dados o que pode ser o da função derivada de f é aquele em que o quadro de variação do sinal é de acordo com a monotonia da função e só o gráfico C tem essa variação de sinal. y 3. D. Na figura está o gráfico de uma função f racional do tipo f x a, a,c IR\ 0 x c ( ) + {} e as rectas de equação y e x 3 que são assímptotas do gráfico de f. Uma expressão analítica para representar f(x) será f(x) x Para confirmar podia desenhar todas as funções na sua - Professora: Rosa Canelas

4 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A calculadora, mas devia saber que numa função deste tipo a assímptota vertical tem equação x c e a horizontal tem equação y a.. Uma fábrica produz dois tipos de peças. O custo por peça de cada tipo é dado, em função do número de peças produzidas x por: Custo por peça do tipo P ( x) Custo por peça do tipo P ( x) 5x + 0 8x +.. O preço de produção de uma única peça de cada tipo será dada por: P () 3 + e () 8 + P Peças de tipos diferentes têm custos de produção diferentes. A função que, para o mesmo número de peças produzidas dos dois tipos, traduz a diferença de custo por peça é dada por: ( 5x + 0)( x + ) ( 8x + )( x + ) ( )( ) 5x + 0 8x + P( x) P( x) 5x + 0x + 0x + 0 8x 3x x 3x 3x + 6 x x x x, definida em IN 0 por x ( + )( + ) ( + )( + ) representar o número de peças produzidas que é um número inteiro não negativo..3. O número de peças do tipo que deverão ser produzidas para que o custo por peça não exceda,5 é dado pela solução da condição: 5x + 0 5x + 0 5x + 0,5x 8 0,5x 8 P ( x),5,5, , como > 0 em todo o domínio terá de ser 0,5x 8 0 x 6. Concluímos que teriam de ser produzidas no máximo 6 peças do tipo, para que o custo de cada peça fosse inferior a,5... A fábrica naturalmente aspira a produzir um grande número de peças dos dois tipos. Nessas condições o preço por peça do tipo tende a aproximar-se de 5 por o gráfico da função P ter uma assímptota horizontal de equação y 5. Também as peças do tipo tendem a custar 8 por o gráfico de P tem uma assímptota horizontal de equação y 8.. A altura h em milímetros de água num vaso, em função do tempo, em segundos, de enchimento é dada pela função: ( ) + h t 0t 0,t Professora: Rosa Canelas

5 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A.. Se o vaso tem 0 cm de altura, o tempo que ele leva a encher é dado pela solução positiva da equação: 0 ± h() t 00 0t + 0,t 00 0,t + 0t 00 0 t 0, A solução positiva desta equação é t 8,5s, tempo que o vaso leva a encher... A velocidade média de enchimento do vaso entre os e os segundos é dada pela taxa média de variação da função no intervalo [,]. Tmv [,] ( ) ( ) h h 3, 0,8,mm / s.3. A velocidade com que a água sobe no vaso: segundos depois de se iniciar o enchimento, é dada por : h ( ) Comecemos por calcular h (t) 0 + 0,t, então h () 0 + 0,8 0,8mm / s segundos depois de se iniciar o enchimento, é dada por h ( ) 0 +, 6, 6mm / s.. Dada a forma do vaso que se torna mais estreito à medida que a água sobe, podemos deduzir ser a velocidade de enchimento cada vez maior. Essa variação não é muito acentuada por a diminuição da largura do vaso ser pequena. Professora: Rosa Canelas