Disciplina: Matemática A. Prova: 635. Ano: Fase: 2ª. Resolução. O Sistema (

Transcrição

1 Disciplina: Matemática A Prova: 635 Ano: 2013 Fase: 2ª Resolução O Sistema (

2 GRUPO I Versão 1 B C A D B A C A Versão 2 A D B B C A D C 1. Começamos por colocar os 9 discos brancos. Há 16 espaços disponíveis. Como os discos são todos brancos a ordem não interessa. Então é o número de maneiras possíveis para colocar os discos brancos. Para cada uma dessas disposições sobram espaços para colocar os 3 discos pretos. Novamente a ordem não interessa pois os discos a colocar são todos pretos. Então temos a solução. 2. A linha de tem elementos. Desses 23 elementos há (os 3 primeiros e os 3 últimos) que são inferiores a Todos os outros ( ) são superiores a Então, Só a função verifica as condições do corolário do teorema de Bolzano no intervalo indicado. 5. Da condição, concluímos que a derivada da função no ponto de abcissa é nula, ou seja, a recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa tem declive nulo, logo, é uma recta horizontal. Da condição, concluímos que a concavidade do gráfico de é voltada para baixo. Então deverá ser um máximo da função. 6. O gráfico de resulta do gráfico de por uma translação horizontal associada ao vector. Tal significa, por exemplo, que deverá ter derivada nula para valores de próximos de e. Este facto elimina duas das opções dadas no enunciado. Das restantes escolhemos aquela que verifica a relação entre o sinal da derivada e a monotonia da função. 7. Como, o afixo do conjugado de pertence ao 1º quadrante. Então, de acordo com o intervalo de variação de, o argumento do conjugado de terá de ser. Sabemos ainda que. Vamos provar que este módulo não pode ser :, o que é impossível pois é um número real. Resta a opção. 2 O Sistema (

3 8. A primeira condição representa uma coroa circular com centro em. A segunda define um ângulo com vértice no centro desta coroa, de amplitude ângulo de amplitude e cujo lado origem faz também um com a semi-recta de origem no centro da coroa e que é paralela ao semi-eixo real positivo. A intersecção dos dois espaços encontra-se no 1º quadrante. 3 O Sistema (

4 Grupo II 1.1. Seja. Então. Como,. Para que seja um número real negativo, é a solução pretendida. cqd 4 O Sistema (

5 2. Como, 3.1. Nº de jornalistas do sexo feminino:. Nº de jornalistas do sexo masculino:. ; ; 1 5 O Sistema (

6 3.2. Resposta I) Nesta resposta começamos por considerar o nº de possibilidades de ocupar todas as cadeiras das duas primeiras filas com os jornalistas. Consideramos o nº de conjuntos de 16 jornalistas que é possível formar a partir de 20 jornalistas ( ). Para cada um destes conjuntos temos de considerar as permutações entre os seus elementos pois interessa a ordem (por exemplo, a troca de lugar entre dois deles implica a contabilização de uma nova hipótese). Daí (dito de outro modo, representa o número de sequências de 16 jornalistas que se podem formar a partir de um grupo de 20 jornalistas, ou seja, ). Para cada uma destas sequências temos que considerar ainda as possibilidades de sentar na terceira fila os restantes 4 jornalistas, ou seja, multiplicar o número de hipóteses anteriores por tal número de possibilidades. Estas correspondem ao número das sequências resultantes da ocupação dos 8 lugares da 3ª fila pelos 4 jornalistas restantes, isto é, sequências das 4 cadeiras ocupadas a partir das 8 disponíveis,. Assim, a resposta é. Resposta II) Começamos por determinar o número de sequências possíveis para distribuir os 20 jornalistas pelas 8 cadeiras da 1ª fila ( ). Para cada uma destas hipóteses, consideramos depois a distribuição dos jornalistas restantes ( ) pelas cadeiras da 2ª fila, isto é, multiplicamos as hipóteses anteriores por, obtendo assim. Para cada uma destas hipóteses temos que considerar ainda as possibilidades de sentar na terceira fila os restantes 4 jornalistas, ou seja, multiplicar o número de hipóteses anteriores por tal número de possibilidades. Estas correspondem ao número das sequências resultantes da ocupação dos 8 lugares da 3ª fila pelos 4 jornalistas restantes, isto é, sequências das 4 cadeiras ocupadas a partir das 8 disponíveis,. Obtemos assim,. 6 O Sistema (

7 4.1. Para levantar a indeterminação usamos a seguinte substituição: Como,, pelo que, não é contínua em Para levantar a indeterminação usamos a seguinte substituição: Quando, admite a assimptota oblíqua. 7 O Sistema (

8 5. A condição é universal pois como,. Então, P. I. Para, o gráfico de tem concavidade voltada para baixo. Para, o gráfico de tem concavidade voltada para cima. Existe um ponto de inflexão para. 8 O Sistema (

9 6.. Introduzimos na calculadora a função e procuramos o mínimo no intervalo indicado. 9 O Sistema (

10 7.1. Seja. cqd O Sistema (