P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 4

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1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 4 GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. O número de casos possíveis é. Para determinar o número de casos possíveis tem que se considerar três casos: a Maria vai ao teatro e o Pedro não. O número de maneiras de formar um grupo com estas características é (como a Maria vai e o Pedro não, temos de escolher três pessoas entre as restantes oito); o Pedro vai ao teatro e a Maria não. O número de maneiras de formar um grupo com estas características é (como o Pedro vai e a Maria não, temos de escolher três pessoas entre as restantes oito); nenhum dos dois irmãos vai o teatro. O número de maneiras de formar um grupo com estas características é (como a Maria e o Pedro não vão, temos de escolher quatro pessoas entre as restantes oito). No triângulo de Pascal a soma de dois elementos consecutivos de uma linha é igual ao elemento que se encontra entre os dois na linha seguinte. Assim, o número de casos favoráveis é. Portanto, pela lei de Laplace, a probabilidade pedida é. Resposta: B 2. ( ) designa a probabilidade das duas bolas retiradas serem de cores diferentes sabendo que no lançamento do dado saiu a face numerada com o número. Como o número não é primo, passam-se da caixa B para a caixa A três bolas pretas, ficando assim a caixa A com bolas, seis brancas e sete pretas. Logo, o número de casos possíveis é e o número de casos favoráveis é (das seis bolas brancas retira-se uma e das sete pretas outra). Assim, pela lei de Laplace, a probabilidade pedida é ( ). Resposta: C 3. A variável aleatória toma os valores (o Sérgio escolhe dois livros de Carl Sagan), (o Sérgio escolhe um livro de Carl Sagan e outro de outro autor) ou (o Sérgio escolhe dois livros que não são de Carl Sagan), ou seja, { }. Assim:, e Resposta: D Proposta de Resolução do Exame-Tipo 4 Página 1

2 4. Tem-se: ( ) ( ) ( ) ) i) Mudança de variável: Seja, se então. Assim, pela definição de limite segundo Heine, ( ). Resposta: B 5. Como a função é contínua em IR, então também é contínua em e em. A função é contínua em se e só se. Assim: ) i) Mudança de variável: Se então. Seja,. Logo, A função é contínua em se e só se. Assim: ( ) Se então Logo, Portanto, de e de, conclui-se que. Resposta: C Proposta de Resolução do Exame-Tipo 4 Página 2

3 6. A resposta correta é a ICI. De facto a função é contínua em ] [ e portanto também é contínua em [ ] ] [. Tem-se: e Assim, como, pelo teorema de Bolzano ] [. Nota: A função da opção A também verifica a condição, contudo esta função não é contínua em e portanto não é contínua em [ ]. Resposta: C 7. Tem-se. Como é solução da equação, recorrendo à regra de Ruffini, vem: Cálculo Auxiliar: (Regra de Ruffini) Resposta: A 8. Tem-se e. Assim: Resposta: A Proposta de Resolução do Exame-Tipo 4 Página 3

4 GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA Como, então o triângulo [ ] é isósceles. Seja o ponto médio do segmento de reta [ ], como representado na figura: Tem-se que e que, assim: Logo, as coordenadas do ponto são ( ) e portanto. Como as coordenadas do ponto são vem. Assim: ( ) ( ) ( ) Portanto, ( ) A região colorida da figura é a parte do círculo centrado em, imagem geométrica de e raio que está contida no segundo quadrante, eixo imaginário não incluído. Tem-se: ( ) Uma condição que define a região colorida da figura é: [ ] ( ) Proposta de Resolução do Exame-Tipo 4 Página 4

5 Tem-se, ( ) ( ) Por outro lado: i) ( ) ( ) Portanto de e de conclui-se que ( ) ( ) ( ) ( ) Considere-se os acontecimentos : «a bola retirada da caixa é encarnada» e :«a bola retirada da caixa está numerada com um número par». Do enunciado vem, ( ) e ( ). Pretende-se determinar ( ), assim: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Portanto a probabilidade pedida é. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 4 Página 5

6 Preparar o Exame 2013 Matemática A Outra resolução: Pode-se responder a esta questão construindo uma tabela. Considerando os mesmos acontecimentos e tem-se: Justificações: p.m. ( ) ( ) p.m. ( ) Logo ( ) Pela tabela construída na alínea anterior tem-se que bolas são encarnadas e estão numeradas com um número par, bolas são pretas e estão numeradas com um número par, bolas são encarnadas e estão numeradas com um número ímpar e bolas são pretas e estão numeradas com um número ímpar. Portanto, pretende-se extrair duas bolas encarnadas numeradas com um número par entre as (o número de maneiras de o fazer é ), duas bolas pretas numeradas com um número par entre as (o número de maneiras de o fazer é ), três bolas encarnadas numeradas com um número ímpar entre as (o número de maneiras de o fazer é ) e três bolas pretas numeradas com um número ímpar entre as (o número de maneiras de o fazer é ). Logo, o número de maneiras de escolher dez bolas entre as nas condições pedidas é. 3. Como ( ) então a reta de equação é assíntota oblíqua do gráfico de, quando. Portanto e. Assim, se for a equação reduzida da assíntota oblíqua do gráfico de, vem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Logo o gráfico da função tem uma assíntota oblíqua, quando, de equação. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 4 Página 6

7 ) ( ) ( ) i) Mudança de variável: Se então. Seja,. Seja a reta perpendicular à reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa 3. Assim, e a equação reduzida da reta é do tipo. O ponto de coordenadas ( ) pertence à reta, logo. A equação reduzida da reta é. Outra resolução: A equação reduzida da reta perpendicular à reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa é dada por: 4.2. Tem-se:. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 4 Página 7

8 Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: 5 i) p.i. p.i. i) Observa que o sinal de depende apenas do sinal de porque,. O gráfico de tem a concavidade voltada para baixo em [ ], tem a concavidade voltada para cima em ] ] e em [ [ e tem ponto de inflexão em e em Vamos começar por calcular o domínio de ( ). { } { ( ) }. ] [ ] [ Cálculo auxiliar: y y x ] [ ] [ O x Neste domínio tem-se: ( ) ( ) Proposta de Resolução do Exame-Tipo 4 Página 8

9 Cálculo auxiliar: Portanto, C.S. [ [ ] ]. [ ] Pelo teorema de Pitágoras tem-se ( )., como, vem [ ] [ ] [ ]. Como, vem: Assim: [ ] 5.2. Para ] ] tem-se: ( ), pois ] ] Proposta de Resolução do Exame-Tipo 4 Página 9

10 Para tem-se: ( ) 5.3. Pretende-se determinar a solução da equação pertencente ao intervalo ] ] Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se e na janela de visualização [ ] [ ]. y y x π O a g x Assim,, com. Como [ ] [ ] [ ], para, vem: [ ] Proposta de Resolução do Exame-Tipo 4 Página 10