ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO 12º B1 Grupo I

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 2º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO 2º B Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.. Uma pessoa vai visitar cinco locais, situados no Parque das Nações, em Lisboa: o Pavilhão de Portugal, o Oceanário, o Pavilhão Atlântico, a Torre Vasco da Gama e o Pavilhão do Conhecimento. De quantas maneiras pode planear a sequência das cinco visitas, se quiser começar na Torre Vasco da Gama e acabar no Oceanário? (A) 6 (B) 2 (C) 24 (D) A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é: x i 2 3 P(X = x i ) a 2a a Qual é o valor de a? (A) (B) 4 (C) 3 (D) 2 3. Na figura está parte da representação gráfica de uma função f, polinomial do terceiro grau. 2 é um máximo relativo da função f. Seja g a função, de domínio IR, definida por g( x) = f( x) 2. Quantos são os zeros da função g? (A) um (B) dois (C) três (D) quatro PROFESSORA: Rosa Canelas

2 4. Na figura ao lado está representado o gráfico de g, segunda derivada de uma certa função g. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função g? (A) (B) (C) (D). Seja z um complexo de argumento. Qual poderá ser um argumento do conjugado de z. (A) (B) + (C) (D) 2 +. Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor. Em, conjunto dos números complexos, seja z = 4i (i designa a unidade imaginária) No plano complexo, a imagem geométrica de z é um dos quatro vértices de um losango de perímetro 20, centrado na origem do referencial. Determine os números complexos cujas imagens geométricas são os restantes vértices do losango. 2. De uma função f, de domínio [, ], sabe-se que a sua derivada f está definida igualmente no intervalo [, ] e é dada por: f ( x) = x+ 2cosx 2.. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes: PROFESSORA: Rosa Canelas 2

3 ( ) ( ) f x f Determine o valor de lim x 0 x Estude a função f quanto às concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos pontos de inflexão O gráfico de f contém um único ponto onde a recta tangente é paralela ao eixo Ox. Recorrendo à sua calculadora, determine um valor arredondado às centésimas para a abcissa desse ponto. Explique como procedeu (na sua explicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que considerou para resolver a questão). 3. Seja f a função de domínio [ 0,2 ], definida por f ( x) = senx Na figura junta estão representados: O gráfico de f; Duas rectas r e s, tangentes ao gráfico de f, nos pontos de abcissas a e b, respectivamente. Prove que, se a+ b= 2, então as rectas r e s são paralelas. 4. Uma turma de 2º ano é constituída por vinte e cinco alunos (quinze raparigas e dez rapazes). Nessa turma, vai ser escolhida uma comissão para organizar uma viagem de finalistas. A comissão será formada por três pessoas: um presidente, um tesoureiro e um responsável pelas relações públicas. 4.. Quantas comissões mistas distintas podem ser formados? Nota: Entenda-se por comissão mista uma comissão constituída por jovens que não são todos do mesmo sexo Suponha que a escolha dos três elementos vai ser feita por sorteio, da seguinte forma: Cada aluno escreve o seu nome numa folha de papel. As vinte e cinco folhas são dobradas e introduzidas num saco. Em seguida, retiram-se do saco, sucessivamente, três folhas de papel. O primeiro nome a sair corresponde ao do presidente, o segundo, ao do tesoureiro, e o terceiro, ao do responsável pelas relações públicas. Sejam A, B e C os acontecimentos: A: «o presidente é uma rapariga»; B:«o tesoureiro é uma rapariga»; C:«a comissão é formada só por raparigas». Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de P( C ( A B) ). Numa pequena composição com cerca de dez linhas, explicite o raciocínio que efectuou. O valor pedido deverá resultar apenas da interpretação do significado de P( C ( A B) ), no contexto do problema. PROFESSORA: Rosa Canelas 3

4 COTAÇÕES Grupo I... 4 Cada resposta certa... 9 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTAL PROFESSORA: Rosa Canelas 4

5 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 2º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO 2º B proposta de resolução Grupo I. (A) Uma pessoa vai visitar cinco locais, situados no Parque das Nações, em Lisboa: o Pavilhão de Portugal, o Oceanário, o Pavilhão Atlântico, a Torre Vasco da Gama e o Pavilhão do Conhecimento. Pode planear a sequência das cinco visitas, se quiser começar na Torre Vasco da Gama e acabar no Oceanário de seis maneiras que correspondem às sequências de três elementos que são os restantes três locais. 3! = 6 2. (B) A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é: x i 2 3 P(X = x i ) a 2a a Como a soma das probabilidades tem de ser fica: a+ 2a+ a = 4a = a= 4 3. (B) Na figura está parte da representação gráfica de uma função f, polinomial do terceiro grau. 2 é um máximo relativo da função f. Seja g a função, de domínio IR, definida por g( x) = f( x) 2. Cujo gráfico se obtém do dado por uma translação vertical associada ao vector (0,-2). A função g vai ter dois zeros: um zero duplo em x = 4 e outro no ponto da parte negativa de Ox onde o gráfico intersecta o eixo. 4. (C) Na figura ao lado está representado o gráfico de g, segunda derivada de uma certa função g. Só o gráfico representado em C pode servir, porque sendo g > 0 a concavidade tem de estar sempre virada para cima. PROFESSORA: Rosa Canelas

6 . (A) Seja z um complexo de argumento. Um argumento do conjugado de z só pode ser Grupo II. Em, conjunto dos números complexos, seja z a unidade imaginária) = 4i (i designa No plano complexo, a imagem geométrica de z é um dos 2-2 rcis() rcis() quatro vértices de um losango de perímetro 20, centrado na origem do referencial. Determinemos os números complexos cujas imagens geométricas são os restantes vértices do losango. Cada lado do losango mede, pelo que por aplicação do Teorema de Pitágoras vamos saber a abcissa dos vértices situados no eixo real = 4 + x x = 9 x = 3 x = 3 Os números complexos cujas imagens geométricas são os restantes vértices do losango são 3, 3 e 4i. 2. De uma função f, de domínio [, ], sabe-se que a sua derivada f está definida igualmente no intervalo [, ] e é dada por: f ( x) = x+ 2cosx 2.. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes: 2... O valor de ( ) ( ) f x f 0 lim x 0 x dada: f ( 0) = 0+ 2cos0 = 2. é f ( 0) pelo que basta substituir x por 0 na expressão Para estudar a função f quanto às concavidades do seu gráfico e determinar as abcissas dos pontos de inflexão vamos começar por calcular f ( x) = 2senx e em seguida vamos estudar o sinal dela no intervalo [, ] -2-4 x ( x) f ( x) = 0 2senx = 0 senx = x = x = f f( x ) PI PI PROFESSORA: Rosa Canelas 6

7 Concluímos que a concavidade está virada para cima em, 6 e em, 6 e está virada para baixo em, 6 6 e que o gráfico tem dois pontos de inflexão com abcissas e O gráfico de f contém um único ponto onde a recta tangente é paralela ao eixo Ox. Um valor arredondado às centésimas para a abcissa desse ponto é -,03. Este valor surge de encontrarmos a solução da equação f ( x) = 0, pois se a tangente é paralela ao eixo Ox tem declive zero e este é dado pela derivada da função no ponto. 3. Seja f a função de domínio [ 0,2 ], definida por f ( x) Na figura junta estão representados: O gráfico de f; = senx Duas rectas r e s, tangentes ao gráfico de f, nos pontos de abcissas a e b, respectivamente. Provemos que, se a + b = 2, então as rectas r e s são paralelas. Duas rectas são paralelas se tiverem o mesmo declive e o declive de uma recta tangente a uma curva representativa de uma função é a derivada da função no ponto de tangência. Se a + b = 2 então b 2 a = e como f ( x) = cosx será: f ( b) cos( 2 a) cosa f ( a) que prova que as duas tangentes são paralelas porque têm o mesmo declive. = = = o 4. Uma turma de 2º ano é constituída por vinte e cinco alunos (quinze raparigas e dez rapazes). Nessa turma, vai ser escolhida uma comissão para organizar uma viagem de finalistas. A comissão será formada por três pessoas: um presidente, um tesoureiro e um responsável pelas relações públicas. 4.. O número de comissões mistas distintas que podem ser formadas é dado por A A A = 030, porque interessa a ordem pela qual são atribuídos os cargos e escolhemos 3 alunos do conjunto do conjunto dos 2, mas não servem as comissões só com raparigas A3 ou só com rapazes 0 A 3. Ou o número de comissões mistas distintas PROFESSORA: Rosa Canelas 7

8 que podem ser formadas é dado por 3 0 A + 3 A = 030, porque interessa a ordem pela qual são atribuídos os cargos e calculamos o número de comissões com duas raparigas e um rapaz e o número de comissões de dois rapazes e uma rapariga, não esquecendo que cada elemento escolhido pode desempenhar uma qualquer dos cargos Suponhamos que a escolha dos três elementos vai ser feita por sorteio, da seguinte forma: Cada aluno escreve o seu nome numa folha de papel. As vinte e cinco folhas são dobradas e introduzidas num saco. Em seguida, retiram-se do saco, sucessivamente, três folhas de papel. O primeiro nome a sair corresponde ao do presidente, o segundo, ao do tesoureiro, e o terceiro, ao do responsável pelas relações públicas. Sejam A, B e C os acontecimentos: A: «o presidente é uma rapariga»; B:«o tesoureiro é uma rapariga»; C:«a comissão é formada só por raparigas». ( ( B) ) P C A significa a probabilidade de a comissão ser formada só por raparigas sabendo que já foram escolhidos o presidente e o tesoureiro e ambos são raparigas. Queremos então que na terceira tiragem saia uma rapariga sabendo que nas duas primeiras saiu uma rapariga. Temos então 23 folhas no saco sendo 3 de raparigas e 0 rapazes. A probabilidade de agora sair uma rapariga é 3. Este valor foi calculado pela lei de Laplace que 23 diz ser a probabilidade de um acontecimento igual ao quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, sempre que os acontecimentos elementares são equiprováveis. PROFESSORA: Rosa Canelas 8