EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

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1 PROVA 435/9 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos - Programa ajustado Duração da prova: 120 minutos Época Especial 2001 Julho/Agosto PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui quatro questões de resposta aberta, subdivididas em alíneas, num total de dez. Na página 9 deste enunciado encontra-se um formulário. 435/1

2 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. Considere a equação $C œlog (! ) Qual das seguintes condições é equivalente a esta equação? C (A) œ) () œ$c (C) Cœ* (D) Cœ Š $ 2. Seja 0 uma função de domínio. Sabe-se que a sua derivada, 0, é tal que 0 ÐÑ œ ß a Relativamente à função 0, qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) 0 é crescente em () 0 é decrescente em (C) 0 tem um mínimo para œ (D) 0 tem um máximo para œ 3. Considere, num referencial o.n. SC, um ponto T, distinto da origem e pertencente à recta de equação Cœ. Seja U o simétrico de T, em relação à origem do referencial. Considere o rectângulo de lados paralelos aos eixos do referencial e tal que uma das suas diagonais é o segmento ÒT UÓ. Qual das expressões seguintes dá a área desse rectângulo, em função da abcissa do ponto T? (A) () ' (C) ) (D) " 435/2

3 4. Na figura está representada parte do gráfico de uma função 1, de domínio, contínua em ÏÖ$. As rectas de equações œ$ e Cœ % são as únicas assimptotas do gráfico de 1. Seja 8 uma sucessão tal que lim 1Ð8Ñ œ Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão 8? (A) $ " () $ " 8 8 (C) % " (D) % " Numa turma com doze raparigas e sete rapazes, vão ser escolhidos cinco elementos para formar uma comissão. Pretende-se que essa comissão seja constituída por alunos dos dois sexos, mas tenha mais raparigas do que rapazes. Nestas condições, quantas comissões diferentes se podem formar? (A) (C) "* & "* & " ( ) ' G & G$ G & G () G % G" G $ G "* " "* ( " ( " ( G " G$ G ( G (D) G % G" G $ G 435/3

4 6. Dois atiradores, António e elmiro, disparam simultaneamente sobre um alvo. A probabilidade de o António acertar no alvo é!(,. A probabilidade de o elmiro acertar no alvo é!',. Admita que são independentes os acontecimentos «O António acerta no alvo» e «O elmiro acerta no alvo». Qual é a probabilidade de o alvo ser atingido? (A)!)', ()!)), (C)!*!, (D)!*, 7. Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do 1 conjunto š D À ldlÿ" argðdñœ? (A) () (C) (D) 435/4

5 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Em, conjunto dos números complexos, seja D " œ" 3 ( 3 designa a unidade imaginária) Sem recorrer à calculadora, determine o valor de Apresente o resultado na forma algébrica. D " $ 3 % Prove que, qualquer que seja o número natural 8, a imagem geométrica de %8 " D " pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares. 2. Considere: uma caixa com seis bolas, todas brancas; seis bolas pretas, fora da caixa; um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Lança-se duas vezes o dado. Tiram-se, da caixa, tantas bolas brancas quantas o número saído no primeiro lançamento. Colocam-se, na caixa, tantas bolas pretas quantas o número saído no segundo lançamento Qual é a probabilidade de a caixa ficar com seis bolas? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível Sejam E e F os acontecimentos: E - «Sai face 5 no primeiro lançamento do dado.» F - «Ficam, na caixa, menos bolas brancas do que pretas.» Indique, justificando, o valor da probabilidade condicionada TÐFlEÑ. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 435/5

6 3. Na figura estão representadas, em referencial o. n. SC : uma curva C, gráfico da função 0, de domínio, definida por 0ÐÑ œ/ uma recta r, gráfico da função 1, de domínio, definida por 1ÐÑ œ 3.1. Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as duas alíneas seguintes: Determine uma equação da recta paralela à recta r e tangente à curva C Estude a função 0 1 quanto à existência de assimptotas do seu gráfico Considere agora que se acrescentou à figura anterior uma recta s, paralela ao eixo SC. Sejam A e os pontos de intersecção da recta s com a curva C e com a recta r, respectivamente. Imagine que a recta s se desloca, mantendo-se sempre paralela ao eixo SC. Os pontos A e acompanham, naturalmente, o deslocamento da recta s. Seja a abcissa do ponto A. Recorrendo à calculadora, determine Ò!ßÓ tal que A œ&. Apresente o resultado aproximado às décimas. Explique como procedeu (na sua explicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que considerou para resolver esta questão). 435/6

7 4. Na figura está representado um lago artificial de forma rectangular. Pretende-se construir uma ponte, ligando duas margens do lago, entre os pontos T" e T, tal como a figura ilustra. A ponte tem um ponto de apoio E, situado a " 7 de uma das margens e a "' 7 da outra. Seja a amplitude do ângulo T T" F Mostre que o comprimento da ponte, em metros, é dado por -ÐÑ œ "' sen " cos sen cos 4.2. Considerando que a localização de T" e de T pode variar, determine o comprimento da ponte para o qual se tem FT" œ FT Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas Admita que, num dia de Verão, a temperatura da água do lago, em graus centígrados, pode ser dada, aproximadamente, por 0Ð>Ñ œ "( %cos 1 Ð> (Ñ " onde > designa o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas desse dia. (Considere que o argumento da função co-seno está expresso em radianos.) Numa pequena composição, com cerca de quinze linhas, indique como varia a temperatura da água do lago, ao longo do dia. Não deixe de referir os seguintes aspectos: quando é que a temperatura aumenta, e quando é que diminui; a que horas é que a temperatura é máxima, e qual é o valor desse máximo; a que horas é que a temperatura é mínima, e qual é o valor desse mínimo; as melhores horas para se tomar banho, admitindo que um banho só é realmente bom se a temperatura da água não for inferior a 19 graus. Utilize a calculadora, se considerar que lhe pode ser útil. Se o desejar, pode enriquecer a sua composição com o traçado de um ou mais gráficos. FIM 435/7

8 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL /8

9 Formulário Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /89< F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética:?"? 8 8 " < Prog. Geométrica:? " " < Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? @ œ 8 Volumes Prisma: Área da base Altura 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Cilindro: Área da base Altura Ð cos?ñ œ?þ sen? Pirâmide: " $ Área da base Altura? Ð tg?ñ œ cos? Cone: " $ Esfera: Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ È8 3 ) È8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 "?? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" / " ln Ð "Ñ / œ" œ" : œ Ð: Ñ 435/9