EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1
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- Juliana Gorjão Canário
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1 PROVA 435/11 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos - Programa ajustado Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE ª CHAMADA VERSÃO 1 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. V.S.F.F. 435.V1/1
2 A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui quatro questões de resposta aberta, subdivididas em alíneas, num total de onze. Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha. 435.V1/2
3 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. Na figura estão representadas, num referencial o. n. SC À parte do gráfico de uma função, definida por 0ÐÑ œ " # ln. 0, de domínio a recta <, tangente ao gráfico de 0 no ponto de abcissa " Qual é o declive da recta <? (A) " () # (C) $ (D) % 2. Seja 2 uma função contínua, de domínio. Qual dos seguintes conjuntos não pode ser o contradomínio de 2? (A) () ÏÖ! (C) (D) Ó!ß "Ò V.S.F.F. 435.V1/3
4 3. Na figura junta está representada parte do gráfico de uma função 0, de domínio. Numa das alternativas seguintes estão os quadros de sinais de 0 e de 0, respectivamente primeira e segunda derivadas de 0. Em qual delas? (A) + - / 0 ÐÑ!!!,. 0 ÐÑ!! () + - / 0 ÐÑ!!!,. 0 ÐÑ!! (C) + - / 0 ÐÑ!!!,. 0 ÐÑ!! (D) + - / 0 ÐÑ!!!,. 0 ÐÑ!! 435.V1/4
5 4. O gráfico da função 0, de domínio, definida por 0ÐÑ œ!,"!,#/!$,, tem uma única assimptota. Qual das condições seguintes é uma equação dessa assimptota? (A) Cœ! () Cœ!", (C) Cœ!#, (D) Cœ!$, 5. Um saco contém cinco cartões, numerados de 1 a 5. A Joana retira sucessivamente, ao acaso, os cinco cartões do saco e alinha-os, da esquerda para a direita, pela ordem de saída, de maneira a formar um número de cinco algarismos. Qual é a probabilidade de esse número ser par e de ter o algarismo das dezenas também par? & & G# G# # $x # $x (A) & E () &x (C) & E (D) &x # # 6. A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \ é: Qual é o valor de +? 3 " # $ TÐ\ œ 3 Ñ + # + + " " " " (A) & () % (C) $ (D) # 7. Qual das seguintes condições define, no plano complexo, o eixo imaginário? (A) D Dœ! () Im ÐDÑœ" (C) kdk œ! (D) D D œ! V.S.F.F. 435.V1/5
6 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Em, considere os números complexos: D" œ" 3 e D# œ È $ #-3= % Verifique que D" e D# são raízes quartas de um mesmo número complexo. Determine esse número, apresentando-o na forma algébrica Considere, no plano complexo, os pontos E, F e S em que: E é a imagem geométrica de D " F é a imagem geométrica de D # S é a origem do referencial. Determine o perímetro do triângulo ESF Seja W o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam E e F dois acontecimentos possíveis ( E W e F W ). Prove que TÐE FÑ œ TÐEÑ TÐFÑ TÐElFÑ TÐFÑ ( T designa probabilidade, E e F designam os acontecimentos contrários de E e de F, respectivamente, e TÐElFÑ designa a probabilidade de E, se F) Das raparigas que moram em Vale do Rei, sabe-se que: a quarta parte tem olhos verdes; a terça parte tem cabelo louro; das que têm cabelo louro, metade tem olhos verdes Escolhendo aleatoriamente uma rapariga de Vale do Rei, qual é a probabilidade de ela não ser loura nem ter olhos verdes? Sugestão: se lhe for útil, pode utilizar a igualdade enunciada na alínea 2.1. para resolver o problema Admita agora que em Vale do Rei moram cento e vinte raparigas. Pretende-se formar uma comissão de cinco raparigas, para organizar um baile. Quantas comissões diferentes se podem formar com exactamente duas raparigas louras? 435.V1/6
7 3. Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos. Admita que, durante as doze primeiras horas após a tomada simultânea do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respectivamente, por EÐ>Ñ œ % > / e GÐ>Ñ œ # > / $ > $!,( > A variável > designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento é tomado ( > Ò!ß"#Ó) Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora para efectuar cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes Determine o valor da concentração deste antibiótico no sangue da Ana, quinze minutos depois de ela o ter tomado. Apresente o resultado, em miligramas por litro de sangue, arredondado às centésimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais Considere as seguintes questões: 1. Quando a concentração ultrapassa 7,5 miligramas por litro de sangue, o medicamento pode ter efeitos secundários indesejáveis. Esta situação ocorrerá, neste caso, com alguma destas duas pessoas? Caso afirmativo, com quem? E em quantos miligramas por litro o referido limiar será ultrapassado? 2. Depois de atingir o nível máximo, a concentração começa a diminuir. Quando fica inferior a 1 miligrama por litro de sangue, é necessário tomar nova dose do medicamento. Quem deve tomá-la em primeiro lugar, a Ana ou o Carlos? E quanto tempo antes do outro? Utilize as capacidades gráficas da sua calculadora para investigar estas duas questões. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas). V.S.F.F. 435.V1/7
8 4. Na figura está representado um quadrado ÒEFGHÓ, de lado ". O ponto I desloca-se sobre o lado ÒEFÓ, e o ponto J desloca-se sobre o lado ÒEHÓ, de tal forma que se tem sempre EI œ EJ. 1 1 Para cada posição do ponto I, seja a amplitude do ângulo FIG Š Ó ß Ò. % # Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, resolva as três alíneas seguintes: 4.1. Mostre que o perímetro do quadrilátero ÒGIEJ Ó é dado, em função de, por # # 0ÐÑ œ # tg sen 4.2. Calcule lim 0ÐÑ e interprete geometricamente o valor obtido. Ä 1 # # # cos 4.3. Mostre que 0ÐÑœ e estude a função 0 quanto à monotonia sen #. FIM 435.V1/8
9 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL V.S.F.F. 435.V1/9
10 435.V1/10
11 Áreas de figuras planas Losango: H < H /89< # Formulário Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Trapézio: F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< # E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema # Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 # Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Prog. Aritmética:?"? # 8 8 " < Prog. Geométrica:? " " < Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? @# œ 8 Volumes Prisma: Área da base Altura 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Cilindro: Área da base Altura Ð cos?ñ œ?þ sen? Pirâmide: " $ Área da base Altura? Ð tg?ñ œ cos #? Cone: " $ Esfera: Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ È8 3 ) È8 ) # 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 "?? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" / " œ" ln Ð "Ñ œ" / : œ Ð: Ñ 435.V1/11
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