PONTO 435/8 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

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1 PONTO 435/8 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos Duração da prova: 120 minutos Prova Modelo 2000 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Deve indicar claramente na sua folha de respostas a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de toda a primeira parte da prova. V.S.F.F. 435.V1/1

2 Primeira Parte As sete questões desta primeira parte são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para responder a cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. Sejam +ß, e - três números reais tais que log + Ð,Ñ œ - Qual é o valor de log + Ð+,Ñ? (A) " - () + - (C) +- (D) +,- 2. Na figura ao lado está representado o gráfico de 1, segunda derivada de uma certa função 1. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função? 1 (A) () (C) (D) 435.V1/2

3 3. De uma função 0, contínua em, sabe-se que: 0 é estritamente crescente 0Ð!Ñœ" O eixo S e a bissectriz dos quadrantes ímpares são assimptotas do gráfico de 0 Qual é o contradomínio de 0? (A) Ò"ß Ò () Ó ß"Ó (C) Ó!ß Ò (D) Ó ß!Ò 4. Na figura está representado um cubo. Considere que um ponto P se desloca ao longo do trajecto que a figura sugere: P parte de E e percorre sucessivamente as arestas ÒEFÓ, ÒFGÓ e ÒGHÓ, terminando o percurso em H. O ponto P demora um segundo a percorrer cada uma das arestas. Seja.Ð>Ñ a distância do ponto P ao ponto I, > segundos após a partida. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função.? (A) () (C) (D) V.S.F.F. 435.V1/3

4 5. Cada uma de seis pessoas lança um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Qual é a probabilidade de os números saídos serem todos diferentes? 'x " " " (A) '' () '' (C) 'x (D) ' 6. Uma caixa contém cinco bolas brancas e cinco bolas pretas, indistinguíveis ao tacto. Tiram-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa. Considere os seguintes acontecimentos: F " a bola retirada em primeiro lugar é branca; F a bola retirada em segundo lugar é branca. Qual é o valor da probabilidade condicionada TÐFlFÑ "? (A) " % () " & (C) % (D) & * * * * 7. Seja o conjunto dos números complexos; 3 designa a unidade imaginária. Na figura estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos: Aß D ß D ß D e D " $ % Qual é o número complexo que pode ser igual a 3A? (A) () (C) (D) D D D D " $ % 435.V1/4

5 Segunda Parte Nas questões desta segunda parte apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Seja o conjunto dos números complexos; 3 designa a unidade imaginária. $ 1.1. Considere o polinómio $ ' % Determine analiticamente as suas raízes em, sabendo que uma delas é ". Apresente-as na forma algébrica, simplificando-as o mais possível. D 1.2. Seja um número complexo de módulo e o seu conjugado. No plano complexo, considere os pontos E e F tais que E é a imagem geométrica de D, e F a imagem geométrica de D. Sabe-se que: o ponto E está situado no primeiro quadrante o ângulo ESF é recto ( S designa a origem do referencial) Determine D 3, apresentando o resultado na forma algébrica. 2. Na figura está representado, em referencial o.n. SCD, um octaedro regular. Sabe-se que: D um dos vértices do octaedro é a origem do referencial S a recta WX é paralela ao eixo SD o ponto T pertence ao semieixo positivo S o ponto V pertence ao semieixo positivo SC a aresta do octaedro tem comprimento " 2.1. Escolhidos ao acaso dois vértices do octaedro, qual é a probabilidade de estes definirem uma recta contida no plano de equação œc? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível Seja E um ponto pertencente à aresta ÒVWÓ. Considere a secção produzida no octaedro por um plano que contém E e que é paralelo ao plano SC. Seja + a distância de E a V. Considere a função 0 que faz corresponder, a cada valor de +, a área da referida secção. Caracterize a função 0, indicando domínio e expressão analítica. V.S.F.F. 435.V1/5

6 Seja ÒEFGÓ um triângulo isósceles em que FE œ FG. Seja α a amplitude do ângulo EFG. Mostre que a área do triângulo ÒEFGÓ é dada por FG sen α α Ó!ß1Ò 3.2. Considere agora um polígono regular de 8 lados, inscrito numa circunferência de raio ". Utilize o resultado da alínea anterior para mostrar que a área do polígono é dada por 8 1 E8 œ sen Š Determine e interprete o valor de lim 8Ä E 8 4. Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor. A concentração deste medicamento, em decigramas por litro de sangue, > horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por!ß'> GÐ>Ñ œ > / Ð>!Ñ 4.1. Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, determine o valor de > para o qual é máxima a concentração de AntiDor no sangue de uma pessoa que o tenha tomado. Calcule o valor dessa concentração máxima, apresentando o resultado na unidade considerada, com aproximação às décimas O mesmo laboratório realizou uma campanha de promoção deste medicamento, baseada no slogan: «AntiDor - Acção rápida e prolongada!» Numa breve composição, de sessenta a cento e vinte palavras, comente o slogan, tendo em conta que: - para a maioria das dores, o AntiDor só produz efeito se a sua concentração for superior a " decigrama por litro de sangue; - de acordo com uma associação de defesa do consumidor, um bom analgésico deve começar a produzir efeito, no máximo, meia hora após ter sido tomado, e a sua acção deve permanecer durante, pelo menos, cinco horas (após ter começado a produzir efeito). Nota: na resolução desta questão, deve utilizar as capacidades gráficas da sua calculadora e enriquecer a sua composição com o traçado de um ou mais gráficos. 5. Seja W o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam E e F dois acontecimentos ( E e F são, portanto, subconjuntos de WÑ. Prove que TÐEÑ TÐFÑ TÐE FÑ œ " TÐE FÑ ( T designa probabilidade e E e F designam os acontecimentos contrários de E e de F). FIM 435.V1/6

7 Formulário Áreas de figuras planas Losango: H < H /89< Regras de derivação Trapézio: F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Ð?Þ@Ñ Þ? Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Volumes Prisma: Área da base Altura Cilindro: Área da base Altura Pirâmide: " $ Área da ˆ 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Ð cos?ñ œ?þ sen?? Ð tg?ñ œ cos??? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Cone: " $ Área da base Altura? Ð ln?ñ œ? Esfera: % $ $ 1 < ( < raio)??þ ln + Ð log +?Ñ œ Ð+ Ï Ö" Ñ Trigonometria sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" / " œ" ln Ð "Ñ œ" / : œ Ð: Ñ È8 3 ) È8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 " V.S.F.F. 435.V1/7

8 COTAÇÕES Primeira Parte Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: Um total negativo nesta parte da prova vale 0 (zero) pontos. Segunda Parte TOTAL V1/8