PROVA N.º 135/7 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

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1 PROVA N.º 135/7 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei nº 286/89, de 29 de Agosto) Cursos de Carácter Geral e Cursos Tecnológicos Duração da Prova: 120 minutos PROVA MODELO 1999 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Deve indicar claramente na sua folha de respostas a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de toda a primeira parte da prova. 135-V1/1

2 Primeira Parte As nove questões desta primeira parte são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, ou se a letra transcrita for ilegível, a questão será anulada. Não apresente cálculos. 1. Na figura está desenhada parte da representação gráfica de uma função 0, cujo domínio é ÏÖ". A recta de equação Bœ" vertical do gráfico de 0. é uma assimptota Considere a sucessão de termo geral B œ " 8 Seja? œ 0 ÐB Ñ 8 8 " 8 Qual das afirmações seguintes é verdadeira? lim? œ (B) lim? œ 8 8 lim? œ " (D) Não existe lim? Seja 1 : Ä a função definida por 1ÐBÑ œ log # ˆ # Þ È $ B Indique qual das expressões seguintes também pode definir a função 1. # log ˆ È$ B (B) # log ˆ È$ B # # $ log # B " log # B $ (D) # 135-V1/2

3 3. Na figura estão representadas graficamente as funções = e >. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? A função > não tem zeros (B) # é um zero da função = = & é um zero da função > (D) $ é um zero da função = > 4. De uma função 2, contínua em, sabe-se que: 2Ð #Ñœ $ lim 2ÐBÑœ BÄ A recta de equação Cœ % é assimptota do gráfico de 2 2 é estritamente crescente no intervalo Ó ß #Ó e estritamente decrescente no intervalo Ò #ß Ò Qual das afirmações seguintes é falsa? A função 2 tem dois zeros (B) O contradomínio de 2 é Ó ß$Ó lim BÄ 2ÐBÑœ % (D) 2Ð!Ñ % 135-V1/3

4 5. Num referencial o. n. BSC, considere as elipses definidas pelas equações: B C ÐB "Ñ ÐC "Ñ % * œ " e * % œ " As duas elipses têm # # # # o mesmo centro. (B) os mesmos focos. os mesmos vértices. (D) a mesma excentricidade. 6. Num referencial o. n. SBCD, considere o plano α, de equação B C œ % O plano α é paralelo ao plano BSC (B) perpendicular ao plano BSC paralelo ao eixo SB (D) perpendicular ao eixo SB 7. Num referencial o. n. SBCD, considere: # # # a esfera definida pela condição B C D Ÿ #& o plano de equação Dœ% Qual é a área da intersecção da esfera com o plano? 1 (B) (D) * 1 8. Considere duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, das quais se reproduzem alguns elementos:... $' + "#' "#!,... Indique o valor de,. "'% (B) "*) #"! (D) #$% 9. Admita que tem à sua frente um tabuleiro de xadrez, no qual pretende colocar os dois cavalos brancos, de tal modo que fiquem na mesma fila horizontal. De quantas maneiras diferentes pode colocar os dois cavalos no tabuleiro, respeitando a condição indicada? '% ) '% G # ) # # # ) G (B) G ) (D) E 135-V1/4

5 Segunda Parte Nas questões desta segunda parte apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações que entender necessárias. 1. Considere a função 0À Ä, definida por 0ÐBÑœsen ÐBÑ sen " # Ð# BÑ w 1.1. Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, determine 0Ð!Ñ ÒEFGHÓ é um trapézio isósceles; os lados ÒEHÓ e ÒFGÓ são paralelos. Tem-se que: EFœFGœGHœ" EH Ÿ " Seja α a amplitude do ângulo EFG ˆ 1 1 α Ó ß Ó $ # Mostre que, para cada α Ó $ ß # Ó, a área do trapézio é igual a 0 ÐαÑ Determine 0Ð# Ñ e interprete geometricamente o resultado obtido, caracterizando o quadrilátero que se obtém para α œ 1 # 2. Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia. A concentração desse medicamento, em miligrama por mililitro de sangue, > horas após ter sido administrado, é dada por GÐ>Ñ œ #>/!ß$ > 2.1. Utilize o Teorema de Bolzano para mostrar que houve um instante, entre as 9 h 30 min e as 10 h, em que a concentração do medicamento foi de 1 mg/ml Recorrendo à derivada da função G, determine o instante em que a concentração de medicamento no sangue do doente foi máxima. Apresente o resultado em horas e minutos. 135-V1/5

6 3. Lança-se três vezes um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6. Indique, justificando, qual dos dois acontecimentos seguintes é mais provável: nunca sair o número 6; saírem números todos diferentes. 4. Considere, num referencial o. n. SBCD: o ponto EÐ"!ß!ß!Ñ o ponto FÐ!ß #ß "Ñ o ponto GÐ!ß &ß!Ñ a recta EF a recta FG 4.1. Justifique que as rectas EF e FG são complanares e mostre que o plano α por elas definido admite como equação B #C 'D œ "! Determine uma equação vectorial da recta de intersecção do plano α com o plano BSD Calcule o volume da pirâmide ÒSFGEÓ. Formulário # # # tg B sen Ð# BÑ œ # Þ sen B Þ cos B cos Ð# BÑ œ cos B sen B tg Ð# BÑ œ " tg # B " Volume da Pirâmide œ $ Área da Base Altura FIM 135-V1/6

7 COTAÇÕES Primeira Parte Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: Um total negativo nesta parte da prova vale 0 (zero) pontos. Segunda Parte TOTAL V1/7