Tarefa nº_ 2.2. (A) Um ponto (B) Uma reta (C) Um plano (D) Nenhuma das anteriores

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1 Tarefa nº_. MATEMÁTICA Geometria Nome: 11º Ano Data / / 1. Num referencial o.n. Oxyz, qual das seguintes condições define uma recta paralela ao eixo Oz? (A) x = y = 1 (C) z = 1 (B) (x, y, z) = (1,,0) + k(1,1,0), k R (D) x = y 3 = z. Num referencial o.n. Oxyz, a condição 3x + 4y + 5z = x 3 = y 4 = z 5 define: (A) Um ponto (B) Uma reta (C) Um plano (D) Nenhuma das anteriores 3. Sejam α e β dois planos perpendiculares. Qual das afirmações é verdadeira. (A) Qualquer recta perpendicular a α é perpendicular a β. (B) Qualquer recta perpendicular à intersecção de α e β é perpendicular a β. (C) Qualquer recta paralela a α é paralela a β. (D) Qualquer recta paralela à intersecção de α e β é paralela a β. 4. Considere, num referencial o.n. Oxyz, os planos α e β, definidos pelas equações: α: x = 1 e β: y =. Seja r a recta de intersecção dos planos α e β. Indique qual das seguintes é uma equação vectorial de r: (A) (x, y, z) = (1,,0) + k(0,0,), k R (C) (x, y, z) = (1,1,0) + k(0,0,), k R (B) (x, y, z) = (1,1,0) + k(1,,0), k R (D) (x, y, z) = (1,,0) + k(1,,0), k R 5. Considere, num referencial o.n. Oxyz, o plano de equação x + y + 3z = 10. Para um certo número real m a condição x = y = z define uma recta paralela ao referido m plano. Indique o valor de m. (A) (B) 1 (C) 1 (D) PROFESSOR MIGUEL ANGELO HENRIQUES ANO LETIVO 013/014 1

2 6. Pelos pontos A(1,,1), B(3, 1,) e C( 1, 3,0) passa (ou passam). (A) um e só um plano (C) três e só três planos (B) uma infinidade de planos (D) nenhum plano 7. A equação da reta de intersecção do plano x + y z = com o plano xoz é definida: (A) x + y z = x = 0 z = 0 (B) x + y z = y = 0 (C) x z = y = (D) x z = y = 0 8. Num referencial o.n. Oxyz, os planos γ e β são definidos pelas equações: γ: x y + z + 1 = 0 e β: x + y + z + 1 = 0. Os planos γ e β são: (A) coincidentes (C) concorrentes não perpendiculares (B) estritamente paralelos (D) perpendiculares 9. Num referencial o.n. Oxyz, as rectas AB e r são paralelas. O vector AB tem coordenadas (, m, 3). A recta r é definida por x 1 = y = z. O valor de m é: 3 (A) 1 3 (B) 1 (C) 0 (D) Indique qual dos pares de equações seguintes representa, num referencial o.n. Oxyz, um par de planos perpendiculares. (A) x + y = 3 e x + y = 0 (B) x + y z = 1 e 3 x + y + z = (C) x = y e z = 0 (D) x + y + z = 9 e x z = Num referencial o.n. Oxyz, o ponto de intersecção da recta r: x+1 = y = z com o 1 3 plano xoz tem coordenadas: (A) ( 1,,0) (B) (3,0,) (C) (1,0,6) (D) (3,0,6) PROFESSOR MIGUEL ANGELO HENRIQUES ANO LETIVO 013/014

3 1. Considere, num referencial o.n. Oxyz: o plano α de equação x + y + z = 1 e a recta r de equação x 1 = y = z. Qual é a posição relativa da recta r com o plano? (A) r é perpendicular a α. (B) r é estritamente paralela a α. (C) r e α são concorrentes, mas não perpendiculares. (D) r está contida em α. 13. A equação da reta que passa pelo ponto A( 1,,3) e é perpendicular ao plano de equação x y + z 5 = 0 é: (A) x + 1 = y (C) 1 x = y = z 3 3 z = 3 (B) x+1 = y = z 3 (D) x + 1 = y = 3 z 14. Considere a reta r: x = y = z 1 e o plano π: x y + z =. Qual é a posição da 4 recta r e do plano π. (A) r é estritamente paralela a π. (B) r está contida em π. (C) r é perpendicular a π. (D) r e π são concorrentes não perpendiculares. 15. Qual das condições define, num referencial o.n. Oxyz, uma recta paralela ao eixo Oz? (A) x = y = 1 (C) z = 1 (B) x = y 3 = z (D) (x, y, z) = (1,,0) + k(1,1,0), k R PROFESSOR MIGUEL ANGELO HENRIQUES ANO LETIVO 013/014 3

4 QUESTÕES DE DESENVOLVIMENTO 16. Escreva as equações cartesianas da reta t, que: a) passa pelo ponto A(0,5, ) e tem a direcção do vetor u = ( 1,1,) b) passa pelo ponto (1,1,) e tem a direcção do vetor u = (1,0,3). c) passa pelo ponto (1,0,) e tem a direcção do vetor u = ( 1,0,0). d) passa pela origem do referencial e pelo ponto P(5,1,3). e) é paralela à recta (x, y, z) = (3,,1) + k(5,,5), k R e passa pelo ponto A( 1,, 3). 17. Considere a reta de equação r: x 4 = y 4 5 = z 3 a) Indique um vetor diretor e um ponto da reta. b) Escreva as coordenadas de um ponto genérico da reta. c) Determine as coordenadas do ponto da reta que tem: i. abcissa zero. ii. ordenada 4. iii. cota Determine o ângulo das retas r e s sendo: s: a reta que contém os pontos A(1,0,) e B( 1,3,) e r: r: x = y 3 = z Verifique se as retas r e s se intersetam. Em caso afirmativo, determine a interseção, sendo: r: x 4 = y 8 x 7 = z + 3 e s: = y 6 = z Escreva a equação geral do plano que: a) contém o ponto A(1,0,) e é perpendicular ao vector u = (1,,3). b) contém os pontos A(0,0,1), B(,0,0) e C(0,3,0). c) contém a recta s: x = y 1 = z e o ponto A(0,0,1). 3 5 d) contém as rectas r e s do exercício anterior. 1. Determine o ponto de interseção da reta r com o plano α, sendo s: x 1 3 = y+ = z 5 5 e α: x y + 4z = 0 PROFESSOR MIGUEL ANGELO HENRIQUES ANO LETIVO 013/014 4

5 . Considere os pontos A( 1,,1), B(1,0, 1) e a reta r: y+4 a) Indique um vetor diretor e um ponto da reta r. b) Escreva as equações cartesianas da reta AB. c) Estude a posição relativa das retas AB e r. d) Encontre a interseção das retas AB e r. e) Calcule o ângulo formado pelas retas AB e r. f) Escreva a equação geral do plano, definido pela reta AB e pela reta r. = z x = 1, num referencial o.n.: 3. Num referencial o.n. o plano β é definido pela sua equação geral: β: 3x 4y + 6z = 1. a) Indique as coordenadas de um vetor normal ao plano. b) Escreva uma equação do plano paralelo a β, passando pela origem do referencial. c) Escreva as equações cartesianas de uma reta paralela ao plano β. d) Determine as coordenadas dos pontos de interseção do plano com os eixos coordenados. 4. Investigue qual a posição relativa dos planos definidos por: a) x y + 3z 5 = 0, 4x + 3y + z + = 0 e 3x + y + z 1 = 0 b) x 3y + z 11 = 0, 4x y + z 7 = 0 e x + y z + = 0 c) x + 3y + z = 1, x + y 1 = 0 e 6x z = 6 d) x y + 3z = 0, x + 3y z = 3 e 6(x 1) + 9(y + ) 3z = 0 5. Estude a posição relativa das retas: a) r: (x, y, z) = k(, 3,4), k R e s: x 4 = y 6 = z x = 3y 5 x+ b) r: { e s: = y 3 = z z = 5 y 3 c) r: y + 3z + 1 = 0 x = 1 e s: x 1 8 = y = z Estude a posição relativa da reta e do plano: a) s: x = y = z 3 e α: x + 4y + 6z + 8 = 0 b) t: x 4 = 1 y x = 1 c) r: { z = z = e α: x + y + z = 8 e γ: 3x y + 6z = 7 PROFESSOR MIGUEL ANGELO HENRIQUES ANO LETIVO 013/014 5

6 7. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz uma pirâmide quadrangular regular. O vértice R pertence ao plano xoy; O vértice V tem coordenadas (,11,5); Uma equação vetorial da reta que contém a altura da pirâmide é: (x, y, z) = (7, 1,5) + k(6, 8,0), k R a) Mostre que a base da pirâmide está contida no plano de equação 3x 4y = 0 b) Justifique que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas (4,3,5) e que o ponto Q tem coordenadas (8,6,10). c) Verifique se o vetor u = (1,,0) é perpendicular ao plano QVR e encontre uma equação desse plano. (note que R(8,6,0)). 8. No referencial o.n. Oxyz está representado um cubo de faces paralelas aos planos coordenados. a) Sabendo que o perímetro da cada face é, na unidade considerada, 16, mostre que as coordenadas do vértice A são (,,0) e indique as coordenadas dos restantes vértices. b) Escreva uma equação do plano DGF. c) Escreva as equações cartesianas da reta que passa por D com a direção do vetor GE. d) Calcule a amplitude do ângulo DEC. PROFESSOR MIGUEL ANGELO HENRIQUES ANO LETIVO 013/014 6