MATEMÁTICA A - 11o Ano Geometria - Produto escalar

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1 MTMÁTI - o no Geometria - roduto escalar ercícios de eames e testes intermédios. s segmentos de reta [] e [] são lados consecutivos de um heágono regular de perímetro 2 ual é o valor do produto escalar.? () 3 () 2 () 2 () 3 2. onsidere, num referencial o.n. z, o plano β definido pela condição 2 + z 4 = 0 onsidere o ponto (, 2, 3) Seja o ponto de intersecção do plano β com o eio Seja o simétrico do ponto relativamente ao plano z etermine a amplitude do ângulo presente o resultado em graus, arredondado às unidades. ame 205, Ép. especial ame 205, Ép. especial 3. Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n. z, o poliedro [N RST UV ] que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. z o vértice pertence ao eio o vértice N pertence ao eio o vértice T pertence ao eio z o vértice R tem coordenadas (2, 2, 2) o plano V é definido pela equação 6 + z 2 = 0 Seja um ponto pertencente ao plano RS o ponto tem cota igual ao cubo da abcissa; os vetores e T são perpendiculares. etermine a abcissa do ponto, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta: equacione o problema; reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora e que lhe permite(m) resolver a equação, devidamente identificado(s) (sugere-se a utilização da janela de visualização em que [ 4, 4] e [ 2, 7]); apresente a abcissa do ponto arredondada às centésimas. U V T R S N ame 205, 2 a Fase ágina de 6

2 4. onsidere, num referencial o.n. z, os pontos (0, 0, 2) e (4, 0, 0) Seja o ponto pertencente ao plano tal que: a sua abcissa é igual à abcissa do ponto a sua ordenada é positiva; Â = 3 etermine a ordenada do ponto ame 205, a Fase 5. Na figura ao lado, está representado um pentágono regular [] Sabe-se que =. ( ) Mostre que = 2 sen 2 5 Nota:. designa o produto escalar do vetor pelo vetor ame 204, 2 a Fase z 6. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. z, o cubo [F G], de aresta 3 o ponto pertence ao semieio positivo o ponto pertence ao semieio negativo o ponto pertence ao semieio positivo z o ponto H tem coordenadas (3, 2, 3) Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo H etermine o valor eato de sen 2 α, sem utilizar a calculadora. F G H ame 204, a Fase 7. Na figura ao lado, está representado um triângulo equilátero [] Seja a o comprimento de cada um dos lados do triângulo. Seja M o ponto médio do lado [] M Mostre que. = 3a 2 4 Nota:. M designa o produto escalar do vetor pelo vetor M a Teste Intermédio o ano ágina 2 de 6

3 8. Num referencial o.n. z, considere um ponto que tem ordenada igual a 4 e cota igual a onsidere também o vetor u de coordenadas (2, 3, 6) Sabe-se que os vetores e u são perpendiculares. ual é a abcissa do ponto? () () 2 () 3 () 4 Teste Intermédio o ano Na figura ao lado, está representado um quadrado [] de lado igual a 4 dmita que o ponto pertence ao segmento [] e que o triângulo [] tem área igual a 6 etermine o valor eato de., sem recorrer à calculadora. Teste Intermédio o ano e um triângulo isósceles [] sabe-se que: os lados iguais são [] e [], tendo cada um deles 8 unidades de comprimento; cada um dos dois ângulos iguais tem 30 de amplitude. ual é o valor do produto escalar.? () 32 3 () 32 () 64 () 64 3 Teste Intermédio o ano Na figura ao lado, está representado, em referencial o.n. z, o poliedro [V N URST ], que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. V z a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e está contida no plano N o ponto pertence ao eio o ponto U tem coordenadas (4, 4, 4) onsidere um ponto, com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U Sabe-se que T. = 8 R S etermine a cota do ponto U T Teste Intermédio o ano ágina 3 de 6

4 2. Na figura ao lado, está representado o quadrado [] o ponto I é o ponto médio do lado [] o ponto J é o ponto médio do lado [] rove que I. J = 2 Sugestão: comece por eprimir cada um dos vectores I e J como soma de dois vectores. I J Teste Intermédio o ano Seja [] um diâmetro de uma esfera de centro e raio 4 ual é o valor do produto escalar.? () 6 () 6 () 4 2 () 4 2 Teste Intermédio o ano Teste Intermédio o ano (adaptado) 4. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n., a circunferência de equação ( 4) 2 + ( ) 2 = 25 ponto é o centro da circunferência. e são dois pontos da circunferência. área da região sombreada é 25 6 etermine o valor do produto escalar. 5. Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro e raio r Teste Intermédio o ano [] é um diâmetro da circunferência o ponto pertence à circunferência α é a amplitude do ângulo [] é perpendicular a [] rove que ( α ). = 4r 2 cos 2 2 r α Sugestão: ercorra as seguintes etapas: Justifique que o triângulo [] é isósceles Justifique que = 2 Justifique que a amplitude do ângulo é α 2 screva, em função de α 2 e de r onclua que ( α ). = 4r 2 cos 2 2 Teste Intermédio o ano ágina 4 de 6

5 6. Na figura ao lado estão representados dois vectores, e, de normas 2 e 5, respetivamente. No segmento de reta [] está assinalado um ponto No segmento de reta [] está assinalado um ponto triângulo é retângulo [] e os seus lados têm 3, 4 e 5 unidades de comprimento. Indique o valor do produto escalar () 08 () 28 () 34 () 44 Teste Intermédio o ano Na figura ao lado está representado um retângulo [] Mostre que o produto escalar. é igual a 2 8. onsidere um vetor tal que = ual é o valor do produto escalar.? Teste Intermédio o ano () () () 0 () 2 ame 2000, 2 a Fase 9. Na figura ao lado está representado um paralelepípedo retângulo [ RST UV X] ual das afirmações seguintes é verdadeira? T X U V () T. U = 0 () U. T X = 0 S R (). T U = 0 (). V = 0 ame 999, a Fase - 2 a hamada 20. Na figura ao lado está representado um tetraedro regular (sólido geométrico com quatro faces, que são todas triângulos equiláteros).,, e são os vértices do tetraedro = 6 valor do produto escalar. é () 8 () 8 2 () 36 () 36 2 ame 998, a Fase - a hamada ágina 5 de 6

6 2. Na figura seguinte está representada uma circunferência de centro e raio. s pontos e são etremos de um diâmetro da circunferência. onsidere que um ponto, partindo de, se desloca sobre o arco, terminando o seu percurso em. ara cada posição do ponto, seja a amplitude, em radianos, do ângulo. Seja f a função que, a cada valor de [0, ], faz corresponder o valor do produto escalar. ual dos gráficos seguintes pode ser o da função f? () () () () 2 ame 200, rova para militares 22. e dois vetores p e q sabe-se que têm ambos norma igual a 3 e que p q = 9 ( p q designa o produto escalar de p por q). Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira. () p + q = 0 () p q = 0 () p q () ângulo dos vetores p e q é agudo ame 998, Militares ágina 6 de 6