MATEMÁTICA A - 12o Ano

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1 MTEMÁTI - 1o no Funções - Funções trigonométricas Eercícios de eames e testes intermédios 1. onsidere, para um certo número real k, a função f, contínua em Qual é o valor de k? cos π f() = se π 4 < π k 3 se = π [ π 4, π, definida por () 0 () 1 () (D) 4 Eame 014, a Fase. Na figura ao lado, estão representados uma circunferência de centro e raio e os pontos, Q, R e S Sabe-se que: α os pontos, Q, R e S pertencem à circunferência; [ R é um diâmetro da circunferência; Q = S α é a amplitude, em radianos, do ângulo Q R α 0, π [ Q S (α) a é a área do quadrilátero [ QRS, em função de α R ara um certo número real θ, com θ 0, π [, tem-se que tg θ = Determine o valor eato de (θ), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. omece por mostrar que (α) = 16 sen α cos α Eame 014, a Fase ágina 1 de 30

2 3. Na figura seguinte, está representada, num referencial o.n., uma circunferência de centro e raio 1 Sabe-se que: os pontos e pertencem à circunferência; o ponto tem coordenadas (1, 0) os pontos e têm a mesma abcissa; o ponto tem ordenada zero; o ponto D tem coordenadas ( 3, 0) α é a amplitude, em radianos, do ângulo, π [ com α, π D α Qual das epressões seguintes representa, em função de α, a área do triângulo [D? () 1 ( 3 sen α) cos α () 1 ( 3 + sen α) cos α () 1 (3 + cos α) sen α (D) 1 (3 cos α) sen α Eame 014, 1 a Fase 4. Seja f uma função cuja derivada f, de domínio R, é dada por f () = sen () ( π ) f() f 4.1. Determine o valor de lim π π 4.. Estude o gráfico da função f, quanto ao sentido das concavidades e quanto à eistência de pontos de infleão em π, π [, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 4 Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada para cima, o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada para baio e, caso eistam, as abcissas dos pontos de infleão do gráfico da função f 5. Seja g a função, de domínio R, definida por g() = cos ( 1 ) ( ) sen 1 Eame 014, 1 a Fase Qual das epressões seguintes também define a função g? ( () sen 4) ( () cos 4) ( ) () sen 6 ( ) (D) cos 6 Teste Intermédio 1 o ano ágina de 30

3 6. Na figura ao lado, está representada uma planificação de uma pirâmide quadrangular regular cujas arestas laterais medem 4 F Seja α( a amplitude, em radianos, do ângulo π [ ) F SE α, π 4 α aresta da base da pirâmide e, consequentemente, a área de cada uma das faces laterais variam em função de α G Q S R E Mostre que a área lateral da pirâmide é dada, em função de a, por 3 cos α Sugestão omece por eprimir a área de uma face lateral em função da amplitude do ângulo F S, que poderá designar por β H Teste Intermédio 1 o ano Na figura ao lado, estão representados a circunferência de centro no ponto e de raio 1, a semirreta Ċ, a reta D e o triângulo [E E D Sabe-se que: os pontos e pertencem à circunferência; os pontos D e E pertencem à semirreta Ċ a reta D é perpendicular à semirreta Ċ o ponto desloca-se sobre a circunferência, e os pontos D e E acompanham esse movimento de modo que DE = 6 é a amplitude, em radianos, do ângulo 0, π [ 7.1. Mostre que a área do triângulo [E é dada, em função de, por f() = 3 sen + 1 sen () 4 π 7.. Mostre, sem resolver a equação, que f() = tem, pelo menos, uma solução em 6, π [ 4 Eame 013, Ép. especial 8. onsidere a função f, de domínio R, definida por e + se 1 f() = 1 + sen ( 1) 1 se > 1 verigue, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, se a função f é contínua em = 1. Eame 013, a Fase ágina 3 de 30

4 9. Na figura ao lado, estão representados, num referencial o.n., o triângulo [ e a reta r Sabe-se que: a reta r é definida por = 3 o ponto pertence à reta r e tem ordenada positiva; o ponto é o simétrico do ponto em relação ao eio α é a amplitude, em radianos, do ângulo cujo lado origem é o semieio positivo e cujo lado etremidade é a semirreta Ȯ π [ α, π π [ a função, de domínio, π, é definida por () = 6 tg 6 cos 9.1. Mostre que o perímetro do triângulo [ é dado, em função de α, por (α) 9.. Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa 5π, sem utilizar a calculadora. 6 r α Eame 013, a Fase 10. Seja f a função, de domínio R \ 0, definida por f() = onsidere a sucessão de números reais ( n ) tal que n = 1 n Qual é o valor de lim f( n )? () -1 () 0 () 1 (D) onsidere a função g, de domínio sen ( ) π, 0 [, definida por g() = sen () cos Eame 013, 1 a Fase Seja a um número real do domínio de g reta tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a é paralela à reta de equação = + 1 Determine o valor de a, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Eame 013, 1 a Fase ágina 4 de 30

5 1. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: o ponto pertence ao segmento de reta [ os pontos e D pertencem à circunferência que tem centro no ponto e raio igual a 4 o segmento de reta [D é perpendicular ao segmento de reta [ = Q dmita que um ponto se desloca ao longo do arco D, nunca coincidindo com nem com D, e que um ponto E acompanha o movimento do D ponto de forma que o quadrilátero [ E seja um trapézio retângulo. ponto Q é a intersecção do segmento de reta [ E com o segmento de reta [D ara cada posição do ponto, seja a amplitude do ângulo E e seja S() a área do trapézio [ E ( 1.1. Mostre que S() = 8 sen + 4 sen () 0, π [) 1.. Estude a função S quanto à monotonia e quanto à eistência de etremos relativos, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Na sua resposta, deve apresentar: o(s) intervalo(s) em que a função é crescente; o(s) intervalo(s) em que a função é decrescente; os valores de para os quais a função tem etremos relativos, caso eistam. 4 E Teste Intermédio 1 o ano Seja f a função, de domínio R, definida por { e se < 0 f() = + cos se 0 ( π ) Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine, f com recurso à definição de derivada de uma função num ponto. 14. onsidere as funções f e g, de domínio R, definidas, respetivamente, por ( ) f() = + sen f() se 0 e g() = e k 1 se = 0 Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos Determine k de modo que a função g seja contínua. Teste Intermédio 1 o ano com k R 14.. Determine, em π, 5π[, as soluções da equação f () = (f() + ) 1 Eame 01, Ép. especial ágina 5 de 30

6 15. onsidere a função f, de domínio R, definida por sen 1 se < f() = 1 e k+1 se = 0 com k R 1 e 4 se > 0 Estude a função f quanto à eistência de assíntotas verticais do seu gráfico, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. Eame 01, a Fase 16. Na figura ao lado, está representado o quadrado [D Sabe-se que: = 4 E = H = E = F = F = G = DG = DH é a amplitude, em radianos, do ângulo E 0, π [ Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de, por a() = 16(1 tg ) D H G E F 16.. Mostre que eiste um valor de compreendido entre π 1 e π 5 para o qual a área da região sombreada é 5 Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais. Eame 01, a Fase 17. Na figura ao lado, está representado um trapézio retângulo [D Sabe-se que: D = 1 D = 1 α é a amplitude, em radianos, do ângulo D π [ α, π Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos Mostre que o perímetro do trapézio [D é dado, em função de α, por (α) = cos α sen α 17.. ara um certo número real θ, tem-se que tg θ = 8, com π < θ < π Determine o valor eato de (θ) omece por mostrar que (α) = 1 cos α sen α Eame 01, 1 a Fase ágina 6 de 30

7 18. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: o segmento de reta [ tem comprimento 4 o ponto é o ponto médio de [ o segmento de reta [D é perpendicular a [ o arco de circunferência D tem centro em dmita que um ponto se desloca ao longo do arco D, nunca coincidindo com nem com D, e que um ponto Q se desloca ao longo do segmento de reta [ de tal forma que [ Q é sempre perpendicular a [ ara cada posição do ponto, seja a amplitude, em radianos, do ângulo e seja () a área do triângulo [ Q Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. ( Mostre que () = sen + sen() 0, π [) 18.. Mostre que eiste um valor de para o qual a área do triângulo [ Q é máima D Q Teste Intermédio 1 o ano Na figura ao lado, está representado, num referencial o. n., o gráfico da função g, de domínio π, π [, definida por g() = cos Sabe-se que e D são pontos do gráfico de g cujas ordenadas são etremos relativos de g Determine os valores eatos das coordenadas dos pontos e D recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. π D 0 g π Eame 011, rova especial 0. Na figura ao lado, estão representados, num referencial o. n., uma circunferência e o triângulo [ Sabe-se que: é a origem do referencial; a circunferência tem centro no ponto e raio 1 é o ponto de coordenadas ( 1, 0) pertence à circunferência e tem ordenada negativa; o ângulo tem amplitude igual a π 3 Qual é a área do triângulo [? radianos. () 3 4 () 1 () 1 4 (D) 3 Eame 011, Ép. especial 1. função f tem domínio R e é definida por f() = π + 4 sen (5) sen alcule o valor de lim 0 f() π Eame 011, Ép. especial ágina 7 de 30

8 . ara um certo número real positivo, k, a função g definida em R por sen se > 0 3 g() = é contínua. ln(k ) se 0 Qual é o valor de k? () 3 e () e 3 () e 3 (D) 3e Eame 011, a fase 3. Na figura ao lado, está representado, num referencial o. n., um círculo trigonométrico. Sabe-se que: é o ponto de coordenadas (1, 0) s pontos D e E pertencem ao eio [ é um diâmetro do círculo trigonométrico as retas E e D são paralelas ao eio θ é a amplitude do ângulo θ 0, π [ Qual das epressões seguintes dá a o perímetro da região sombreada na figura anterior? E D θ () (cos θ + sen θ) () cos θ + sen θ () (1 + cos θ + sen θ) (D) 1 + cos θ + sen θ 4. ara a, b e n, números reais positivos, considere a função f, de domínio R, definida por f() = a cos(n) + b sen (n) Seja f a segunda derivada da função f Moste que f () + n f() = 0 ( 1 ( ) ) 5. Qual é o valor de lim 0 sen? Eame 011, a Fase Eame 011, a Fase () 4 () 0 () 1 4 (D) 1 Eame 011, 1 a Fase ágina 8 de 30

9 6. Na figura seguinte está representado, num referencial o. n., parte do gráfico de uma função f, de domínio R, definida por f() = 4 cos() Sabe-se que: os vértices e D do trapézio [D pertencem ao eio o vértice do trapézio [D pertence ao eio o vértice D do trapézio [D tem abcissa π 6 as retas E e D são paralelas ao eio os pontos e pertencem ao gráfico de f a reta D é paralela ao eio Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. f 6.1. Determine o valor eato da área do trapézio [D 6.. Seja f a primeira derivada da função f e seja f a segunda derivada da função f Mostre que f() + f () + f () = 4 (3 cos() + sen ()) para qualquer número real D 7. Seja f a função, de domínio R +, definida por sen ( 1) + se 0 < < 1 e e f() = e + se 1 verigúe, sem recorrer à calculadora, se a função f é contínua em = 1 8. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto e raio 1 Eame 011, 1 a Fase Teste Intermédio 1 o ano Sabe-se que: o ponto pertence à circunferência; os pontos,, e são colineares; o ponto está entre o ponto e o ponto o ponto desloca-se ao longo da semirreta, nunca coincidindo com o ponto d é a distância do ponto ao ponto para cada posição do ponto, o ponto Q é um ponto da circunferência tal que a reta Q é tangente à circunferência; ( é a amplitude, em radianos, do ângulo Q 0, π [) Q 1 d Seja f a função, de domínio 0, π [ definida por f() = 1 sen sen Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora Mostre que d = f() 8.. onsidere a seguinte afirmação: Quanto maior é o valor de, menor é o valor de d verigúe a veracidade desta afirmação, começando por estudar a função f quanto à monotonia. Teste Intermédio 1 o ano ágina 9 de 30

10 9. dmita que, numa certa marina, a( profundidade da água, em metros, t horas após as zero horas de um π ) certo dia, é dada por (t) = cos 6 t + 8, em que t [0, 4 Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos Determine a profundidade da água da marina às três horas da tarde, desse dia. 9.. Determine, recorrendo ao estudo da função derivada, a profundidade mínima, em metros, da água da marina, nesse dia. Eame 010, Ép. especial 30. Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera. s figuras seguintes representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combustível distintas. s cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera. Sabe-se que: o ponto é o centro da esfera; a esfera tem 6 metros de diâmetro; a amplitude θ, em radianos, do arco é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente altura, em metros, do combustível eistente no depósito é dada, em função de θ, por h, de domínio [0, π θ θ Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos Mostre que h(θ) = 3 3 cos(θ), para qualquer θ 0, π[ 30.. Resolva a condição h(θ) = 3, θ 0, π[ Interprete o resultado obtido no conteto da situação apresentada. Eame 010, a Fase 31. onsidere a função f, de domínio, π, definida por a + b + e se 0 f() = sen () se 0 < π Determine o valor de b, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, de modo que f seja contínua em = 0 Eame 010, 1 a Fase ágina 10 de 30

11 3. Na figura ao lado, estão representados, num referencial o.n., uma circunferência e o triângulo [. Sabe-se que: a circunferência tem diâmetro [; o ponto tem coordenadas (, 0); o vértice do triângulo [ coincide com a origem do referencial; o ponto desloca-se ao longo da semicircunferência superior. ara cada posição do ponto, seja α a amplitude do ângulo, com α 0, π [ Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. α Mostre que o perímetro do triângulo [ é dado, em função de α, por f(α) = (1 + cos α + sen α) 3.. Determine o valor de α para o qual o perímetro do triângulo [ é máimo. Eame 010, 1 a Fase 33. Na figura ao lado, está representado um triângulo retângulo [, cujos catetos [ e [, medem 5 unidades. onsidere que um ponto se desloca sobre o cateto [, nunca coincidindo com nem com ara cada posição do ponto, seja a amplitude, em radianos, do ângulo ( 0, π 4 [) Seja f a função que, a cada valor de, faz corresponder o perímetro do triângulo [ Resolva os dois itens seguintes usando eclusivamente métodos analíticos Mostre que f() = 5 cos 5 tg Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa π 6 Determine o declive da reta r Teste Intermédio 1 o ano Seja a função f, de domínio R, definida por f() = sen (). Qual é o declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa π 8? () () 3 () (D) 1 Eame 009, Ép. especial ágina 11 de 30

12 35. Seja a função f, de domínio [0, π[, definida por f() = e. cos Estude, recorrendo eclusivamente a métodos analíticos, a função f, quanto à monotonia e quanto à eistência de etremos relativos, indicando os intervalos de monotonia e, caso eistam, os etremos relativos Determine, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, um valor, aproimado às décimas, da área do trapézio [, em que: é a origem do referencial; é o ponto de interseção do gráfico da função f com o eio ; é o ponto do gráfico de f, tal que a recta é paralela ao eio ; é o ponto de interseção do gráfico da função f com o eio. Reproduza, na folha de respostas, o gráfico visualizado na calculadora, incluindo o referencial. Desenhe o trapézio [, assinalando os pontos que representam os seus vértices. Nota: Nas coordenadas dos vértices em que é necessário fazer arredondamentos, utilize duas casas decimais. Eame 009, Ép. especial 36. Seja f a função, de domínio [0, π, definida por f() = sen () cos Determine, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa ara um certo número real positivo k, é contínua a função f, de domínio R, definida por log (k + ) se 0 f() = sen () se < 0 Qual é o valor de k? () 1 () () 3 (D) 4 Eame 009, a Fase Eame 009, 1 a Fase 38. Na figura ao lado, está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro e raio igual a 1. Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência. Qual das epressões seguintes representa, em função de, a área da parte sombreada? () π sen () () π sen () () π sen () (D) π sen () 4 Eame 009, 1 a Fase ágina 1 de 30

13 39. Sejam a, b, c, e d as funções reais de variável real definidas por: a() = 3 + ln b() = e c() = 10 sen d() = + tg onsidere que o domínio de cada uma das quatro funções é o conjunto dos números reais para os quais tem significado a epressão que a define. Qual é a função cujo gráfico tem mais do que uma assíntota? () função a () função b () função c (D) função d Teste Intermédio 1 o ano Na figura ao lado, em cima, estão representados: uma circunferência de centro e raio 1 dois pontos e, sobre a circunferência, tais que [ é um diâmetro uma semirreta Ȯ um segmento de reta [ Q onsidere que: o ponto, partindo de, se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa, no sentido indicado pelas setas da figura, em cima o ponto Q se desloca sobre a semirreta Ȯ, acompanhando o movimento do ponto, de tal forma que se tem sempre Q = 3 Q Q d() ara cada posição do ponto, seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem a semirreta Ȯ e por lado etremidade a semirreta Ȯ (ver figura, em baio). Seja d a função que, a cada valor de pertencente a [0, π, associa a distância, d(), do ponto Q ao ponto onsidere as seguintes afirmações sobre a função d e sobre a sua derivada, d (a função tem derivada finita em todos os pontos do seu domínio). I. d(0) = d(π) II. [0, π, d () < 0 Elabore uma pequena composição na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira, ou falsa. Nota: neste item, não defina analiticamente a função d; a sua composição deve apoiar-se na forma como esta função foi apresentada (para cada valor de, tem-se d() que é a distância do ponto Q ao ponto ) Defina analiticamente a função d no intervalo 0, π [ (isto é, determine uma epressão que dê o valor de d(), para cada pertencente a este intervalo). Sugestão: trace a altura do triângulo [ Q relativa ao vértice, designe por R o ponto de interseção desta altura com a semirreta Ȯ, e tenha em conta que Q = R + RQ. 41. Seja a função f, de domínio [ π, π, definida por f() = cos(). 3 Teste Intermédio 1 o ano Qual é o contradomínio de f? () [ 1, 0 () [0, 1 () [ 0, 1 [ 3 (D) 0, Eame 008, Ép. especial ágina 13 de 30

14 4. Seja a função f, de domínio [0, π, definida por f() = sen (). cos() +. gráfico da função f interseta a reta = 1 num só ponto. Determine, recorrendo eclusivamente a métodos analíticos, as coordenadas desse ponto. Eame 008, Ép. especial 43. onsidere a função g, de domínio R, definida por g() = + sen (4). Resolva, usando métodos analíticos, os dois itens seguintes. Nota: calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais Determine g (0), recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto Estude a monotonia da função g, no intervalo 0, π [, indicando o valor dos etremos relativos, caso eistam, e os intervalos de monotonia. Eame 008, a Fase 44. Seja f a função de domínio [ π, + [, definida por: e 4+1 se 0 f() = 3 sen () se π < 0 Estude a função f quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eios coordenados, escrevendo as suas equações, caso eistam. Eame 008, 1 a Fase 45. Na figura ao lado está representado o círculo trigonométrico. Tal como a figura sugere, é a origem do referencial, Q pertence à circunferência, é o ponto de coordenadas (1, 0) e R é o ponto de coordenadas ( 1, 0) Q 5π 7 amplitude, em radianos, do ângulo Q é 5π 7 R Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do triângulo [QR? () 0,39 () 0,4 () 0,46 (D) 0,49 Teste Intermédio 1 o ano Seja f : [0, π R a função definida por f() = 3 cos Indique o valor de para o qual f() é máimo. () 0 () π () π (D) 3π Eame 007, a fase ágina 14 de 30

15 47. Na figura ao lado está representada uma artéria principal do corpo humano, cuja secção é um círculo com raio R, e uma sua ramificação, mais estreita, cuja secção é um círculo com raio r. secção da artéria principal tem área e a da ramificação tem área a. Seja θ 0, π [ a amplitude, em radianos, do ângulo que a artéria principal faz com sua ramificação (medida relativamente a duas geratrizes complanares dos dois cilindros). Sabe-se que a = cos θ dmitindo que o modelo descrito se adequa com eatidão à situação real, determine θ no caso em que os raios referidos verificam a relação R = 4 r Eame 007, a fase 48. onsidere as funções f e g, definidas em R por f() = e 1 e g() = sen onsidere ainda a função h, definida em R por h() = f () g () Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva os dois itens seguintes: Mostre que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo 0, π [ 48.. Tendo em conta a alínea anterior, justifique que eiste a 0, π [ tal que as retas tangentes aos gráficos de f e g, nos pontos de abcissa a, são paralelas. Eame 007, 1 a fase 49. Na figura ao lado está representado o círculo trigonométrico. s pontos, e têm coordenadas (1, 0), (0, 1) e (0, 1), respetivamente. onto desloca-se ao logo do arco, nunca coincidindo com o ponto. ara cada posição do ponto, seja a amplitude do ângulo, e seja f() a área do triângulo [. Qual das epressões seguitnes define a função f? () sen () sen + cos () cos (D) sen. cos Eame 006, Ép. especial ágina 15 de 30

16 50. onsidere a epressão f() = + cos(). Sempre que se atribuem valores reais positivos a, e, obtemos uma função de domínio R rove que π é o período de qualquer função definida por uma epressão do tipo indicado Num certo rio, eiste um ancoradoura de atracagem para barcos. distância do ancoradouro ao fundo do rio, varia com a maré. dmita que, num certo dia, a distância do ancoradouro ao fundo do rio, horas depois das zero horas desse dia, pode ser modelada por uma função do tipo f() = + cos(), com [0, 4[. dmita ainda que, no intervalo de tempo [0, 4[: a distância máima do ancoradouro ao fundo do rio é de 17 metros; e a mínima é de 11 metros; ocorrem apenas duas marés altas, umas às 0 horas e outra às 1 horas; ocorrem apenas duas marés baias, umas às 6 horas e outra às 18 horas. Justifique que, no modelo f() = + cos() se tem = π 6 que não eiste nenhum período positivo inferior a π ). Em seguida determine os valores de e (positivos) adequados ao modelo. (tenha em conta a alínea anterior e Eame 006, Ép. especial 51. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n., um arco, que está contido na circunferência de equação + = 1. ponto pertence ao eio e o segmento de reta [ é perpendicular a este eio. α é a amplitude, em radianos, do ângulo. Qual é a epressão que dá o perímetro da região sombreada, em função de α? () π α + sen α + cos α () 1 + α sen α + cos α () π α + sen α + 1 cos α (D) 1 + α + sen α cos α α Eame 006, a Fase ágina 16 de 30

17 5. omo sabe, a Terra descreve uma órbita elíptica em torno do Sol. Na figura está representado um esquema dessa órbita. Está assinalado o periélio, o ponto da órbita da Terra mais próimo do Sol. Na figura está assinalado um ângulo de amplitude radianos ( [0, π[). Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado etremidade passa na Terra. distância d, em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é (aproimadamente) dada, em função de por d = 149, 6(1 0, 0167 cos ) Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, determine a distância máima e a distância mínima da Terra ao Sol. presente os valores pedidos em milhões de quilómetros, arredondados às décimas. 5.. Sabe-se que verifica a relação πt = 0, 0167 sen em que: T t é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo periélio até ao instante em que atinge a posição correspondente ao ângulo ; T é o tempo que a Terra demora a descrever uma órbita completa (365,4 dias). Mostre que, para = π, se tem t = T. Interprete este resultado no conteto da situação descrita. Eame 006, a Fase 53. Na figura ao lado está representada uma esfera suspensa de um fio com 1 metro de comprimento, fio no ponto. centro da esfera oscila entre os pontos e, que são simétricos relativamente à reta vertical r. reta r passa pelo ponto e é perpendicular à reta S. No instante inicial, o centro da esfera coincide com o ponto. dmita que, t segundos após esse instante inicial, o centro da esfera está num ponto tal que a amplitude, em radianos, do ângulo S é dada (aproimadamente) por α(t) = π π 6 cos ( 9, 8 t ) S 1 Nas duas alíneas seguintes, não utilize a calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos. r Determine a distância do centro da esfera à reta S, no instante inicial Determine o instante em que o centro da esfera passa pela primeira vez na reta r. presente o resultado em segundos, arredondado às décimas. Eame 006, 1 a Fase ágina 17 de 30

18 54. Na figura ao lado, estão representadas uma semirreta e uma circunferência de centro e de raio 1 (os pontos, e são colineares; o ponto pertence à circunferência. onsidere que o ponto se desloca ao longo da semirreta, nunca coincidindo com o ponto. s pontos R e S acompanham o movimento do ponto, de tal forma que as retas R e S são sempre tangentes à circunferência, nos pontos R e α S, respetivamente. Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo SR S (α 0, π[). ( α ) Mostre que a área do quadrilátero [R S é dada, em função de α, por f(α) = tg 1 R 54.. alcule lim α π f(α) e interprete geometricamente o resultado obtido. Eame 005, Ép. especial 55. Seja f a função, de domínio [0, π, definida por f() = sen Na figura ao lado estão representados: o gráfico da função f; duas retas, r e s, tangentes ao gráfico de f, nos pontos de abcissas a e b, respetivamente. rove que, se a + b = π, então as retas r e s são paralelas Sem recorrer à calculadora, estude, quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico, a função g, de domínio 0, π[\{π}, definida por g() = f() a r s b Eame 005, a Fase 56. onsidere a função f, de domínio R, definida por f() = cos. Qual das epressões seguintes dá a derivada de f, no ponto π? () lim π cos + 1 π () lim 0 cos π () lim π cos π (D) lim 0 cos + π Eame 005, 1 a fase ágina 18 de 30

19 57. Na figura ao lado está representada uma circunferência com centro no ponto e raio 3. s diâmetros [EF e [GH são perpendiculares. G I onsidere que o ponto se desloca sobre o arco F G. s pontos, e D acompanham o movimento do ponto, de tal forma que: as cordas [ e [D permanecem paralelas a [EF ; [D e [ são sempre diâmetros da circunferência s pontos I e J também acompanham o mesmo movimento, de tal forma que são sempre os pontos de interseção de [GH com [ e [D, respetivamente. ara cada posição do ponto, seja a amplitude, em radianos, do ângulo F, E ( J H [ 0, π 3 ). D F Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de por Sugestão: use a decomposição sugerida na figura. () = 18( + sen. cos ) Eame 005, 1 a Fase 58. No Solstício de Junho (dia em que começa o Verão), em qualquer local da Terra situado entre o Equador e o írculo olar Árctico, o tempo t, medido em horas, que decorre entre o nascer e o pôr do Sol, está relacionado com a latitude λ, desse local, por meio da fórmula cos(7, 5 t) = tg λ (φ é a latitude do írculo olar tg φ Árctico ) s argumentos das funções co-seno e tangente estão epressos em graus Sabendo que φ 66, 5 e que a latitude de eja é de 38, determine o tempo que decorre entre o nascer e o pôr do Sol, em eja, no Solstício de Junho. presente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, quatro casas decimais Esta fórmula nunca poderia ser aplicável a locais situados entre o írculo olar Árctico e o ólo Norte. Justifique. Eame 004, Ép. especial 59. Na figura seguinte está representada parte do gráfico de uma função periódica. Qual dos valores seguintes poderá ser período desta função? () π 9 () π 3 () π 9 (D) 4π 3 4π 9 π 9 8π 9 14π 9 Eame 004, a Fase ágina 19 de 30

20 60. Duas bolas de plástico com o mesmo raio, uma branca e outra preta, flutuam na superfície de um líquido contido num recipiente. or ação de uma força eterior, o líquido perdeu o estado de repouso em que se encontrava, tendo a distância de cada uma das bolas à base do recipiente deiado de ser constante. Designando por b(t) e p(t) as distâncias, em cm, dos centros das bolas (branca e preta, respetivamente) à base do recipiente, t segundos após o início da perturbação, admita que se tem: b(t) = 10 + e 0,1t sen (πt), t > 0 b(t) p(t) p(t) = 10 1, 37e 0,1t sen (πt), t > Sem recorrer à calculadora, resolva o seguinte problema: Durante os primeiros cinco segundos após o início da perturbação (instantes 0 e 5 incluídos), houve alguns instantes em que as duas bolas estiveram a igual distância da base do recipiente. Quantas vezes isso aconteceu? 60.. Determine a distância que vai do centro da bola branca ao centro da bola preta, meio segundo após o início da perturbação, sabendo que, nesse instante, a distância entre as respectivas projeções horizontais (na base do recipiente) é de,5 cm. presente o resultado em cm, arredondado às décimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais., 5 cm 61. figura ao lado, à esquerda, representa um depósito de forma cilíndrica, que contém um certo volume de um combustível. dmita que a função V, de domínio [0, π, definida por V () = 80( sen ) Eame 004, a Fase dá o volume, em metros cúbicos, de combustível eistente no depósito, em função da amplitude, em radianos, do arco (que, como se sabe, é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente, assinalado na figura da direita) Qual é a capacidade total do depósito, em metros cúbicos? presente o resultado arredondado às unidades. Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais Determine, em metros cúbicos, o volume do combustível eistente no depósito, no momento em que a sua altura é 1 4 da altura máima. presente o resultado arredondado às unidades. Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Eame 004, 1 a Fase ágina 0 de 30

21 6. Rita foi andar num carrossel. figura ao lado ilustra a situação. Em cada volta, que se inicia no ponto, a Rita descreve uma circunferência com 5 metros de raio, centrada no ponto, rodando no sentido indicado na figura. mãe da Rita ficou a observá-la de um ponto M, situado à distância de 8 metros de e tal que o ângulo M é reto. ara cada posição R, da Rita, fica determinado um ângulo de amplitude, medida em radianos, que tem como lado origem a semirreta Ȯ e como lado etremidade a semirreta Ȯ. M d() 8 R 6.1. Mostre que, para cada valor de, a distância d(), da Rita à mãe, é dada, em metros, por 5 d() = sen ( π ) 6.. alcule d e justifique o valor obtido, no conteto do problema. Eame 003, rova para militares 63. Na figura ao lado está representado um trapézio retângulo [D, cujas bases têm 10 e 30 unidades de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento. onsidere que um ponto se desloca sobre o segmento [. ara cada posição do ponto, seja a amplitude, em radianos, do ângulo D. retende-se determinar o valor de para o qual o segmento 10 [ D divide o trapézio em duas figuras com a mesma área. Qual das equações seguintes traduz este problema? 30 () 30 sen () sen 4 = 100 () 30 tg = 150 (D) = tg 4 = D 64. onsidere a função f, de domínio [ π, 3π, definida por Eame 003, a Fase f() = + sen Sem recorrer à calculadora, resolva as três alíneas seguintes Utilizando a definição de derivada num ponto, calcule f (0) Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à eistência de pontos de infleão. [ Determine os valores de, pertencentes ao intervalo π, 3π, tais que f() = + cos Eame 003, a Fase ágina 1 de 30

22 65. onsidere a epressão f() = a + b sen Sempre que se atribui um valor real a a e um valor real a b, obtemos uma função de domínio R Nesta alínea, considere a = e b = 5 Sabe-se que tg θ = 1. Sem recorrer à calculadora calcule f(θ) 65.. ara um certo valor de a e um certo valor de b, a função f tem o seu gráfico parcialmente representado na figura ao lado. onforme essa figura sugere, tem-se: π 1 o contradomínio de f é [ 3, 1 0 e π são maimizantes π π e π Determine a e b. são minimizantes 3 Eame 003, 1 a fase - a chamada 66. Na figura ao lado está representado a sombreado um polígono [EG. Tem-se que: G F [F Gé um quadrado de lado F D é um arco de circunferência de centro em ; o ponto E move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto desloca-se sobre o segmento [D, de tal forma que se tem sempre [E [D designa ( [ a amplitude, em radianos, do ângulo E 0, π ) E D Mostre que a área do polígono [EG é dada, em função de, por () = (1 + sen + cos ) (Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio [EG) ( π ) 66.. Determine (0) e Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos. Eame 003, 1 a fase - 1 a chamada ágina de 30

23 67. Na figura ao lado está representada a Terra e uma nave espacial N. onsidere que a Terra é uma esfera de centro e raio r. área da superfície da terra visível da nave, representada a sombreado na figura, é dada, em função do ângulo θ, por ( [ f(θ) = πr (1 sen θ) θ 0, π ). r h θ N Determine o valor de θ para o qual é visível, da nave, a quarta parte da superfície terrestre Designando por h a distância da nave à Terra, mostre que a área da superfície da terra visível da nave é dada, em função de h, por g(h) = πr h r + h Sugestão: tenha em conta que o ângulo N é reto alcule lim g(h) e interprete o resultado obtido no conteto da situação descrita. h + Eame 00, rova para militares 68. onsidere uma circunferência de centro e raio 1, tangente a uma reta r. Um ponto começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura. Inicialmente, o ponto encontra-se à distância de duas unidades da reta r. Seja d(α) a distância de a r, após uma rotação de amplitude α. r Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo α? α () d(α) = 1 + cos α () d(α) = + sen α d(α) () d(α) = 1 cos α (D) d(α) = sen α r Eame 00, a fase 69. Na figura ao lado estão representados, em referencial o. n., o círculo trigonométrico e um triângulo [. s pontos e pertencem à circunferência. segmento [ é perpendicular ao semieio positivo. ponto é o ponto de interseção da circunferência com o semieio positivo. Seja α a amplitude do ângulo α 0, π [ Qual das epressões seguintes dá a área do triângulo [, em função de α? α () sen α. cos α () tg α. sen α tg α. cos α () tg α. sen α (D) Eame 00, 1 a fase - a chamada ágina 3 de 30

24 70. De uma função f, de domínio [ π, π, sabe-se que a sua derivada f está definida igualmente no intervalo [ π, π e é dada por f () = + cos Utilizando métodos eclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes: f() f(0) Determine o valor de lim Estude a função f quanto às concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos pontos de infleão. Eame 00, 1 a fase - a chamada 71. Na figura ao lado está representado um quadrado [D de lado 1. ponto E desloca-se sobre o lado [ e o ponto F desloca-se sobre o lado [D, de tal forma que se tem sempre E = F. D ara cada ( posição do ponto E, seja a amplitude do ângulo π E 4, π [) Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, resolva as três alíneas seguintes: Mostre que o perímetro do quadrilátero [EF é dado, em função de, por f() = tg + sen 71.. alcule lim π f() e interprete geometricamente o valor obtido Mostre que f () = cos sen e estude a função quanto à monotonia. F E Eame 00, 1 a fase - 1 a chamada 7. Seja f uma função par, de domínio R, que não admite zeros. Qual das seguintes epressões pode definir a função f? () f() = () f() = e () f() = cos (D) f() = π Eame 001, rova para militares 73. onsidere a função, de domínio R +, definida por f() = + sen π Utilize métodos eclusivamente analíticos para resolver as três alíneas seguintes: Estude a função f quanto à eistência de assíntotas não verticais do seu gráfico Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa rove que, no intervalo 1, + [, a função f não tem zeros. Eame 001, rova para militares ágina 4 de 30

25 74. Na figura ao lado está representado um lago artificial de forma retangular. retende-se construir uma ponte, ligando duas margens do lago, entre os pontos 1 e, tal como a figura ilustra. ponte tem um ponto de apoio, situado a 1 m de uma das margens e a 16 m da outra. Seja a amplitude do ângulo sen + 1 cos Mostre que o comprimento da ponte, em metros, é dado por c() = sen. cos 74.. onsiderando que a localização de 1 e pode variar, determine o comprimento da ponte para o qual se tem 1 = presente o resultado em metros, arredondado às décimas. 75. onsidere a função f, de domínio π, π[, definida por f() = cos 1 + cos Sem recorrer à calculadora, resolva os três itens seguintes: Estude a função f, quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico Mostre que a função f tem um máimo e determine-o. Eame 001, Ép. especial Na figura seguinte está representado, em referencial o.n., uma parte do gráfico da função f. Na mesma figura está também representado um trapézio [ QR. f ponto é a origem do referencial e os pontos Q e R pertencem aos eios e, respetivamente. R s pontos e Q pertencem ao gráfico de f. Sabendo que o ponto Q tem ordenada 1 3, determine a área do trapézio. Eame 001, a fase 76. Na figura ao lado estão representados, em referencial o.n. : um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1 uma semirreta paralela ao eio, com origem no ponto (1, 0) um ponto, pertencente a esta semirreta um ângulo de amplitude α, cujo lado origem é o semieio positivo e cujo lado etremidade é a semirreta Ȯ Qual das epressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de α? () π 4 + tg α () π 4 + tg α () π + tg α (D) π + tg α 0 α 1 Eame 001, 1 a fase - a chamada ágina 5 de 30

26 77. Na figura ao lado está representado o gráfico da função f, de domínio [0, π, definida por f() = + cos. e são pontos do gráfico cujas ordenadas são etremos relativos de f Sem recorrer à calculadora resolva os dois itens seguintes Mostre que a ordenada do ponto é π ponto é 5π Qual é o contradomínio de f? e que a do 0 π Eame 001, 1 a fase - a chamada 78. Na figura ao lado está representada uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: a base da pirâmide tem centro F e lado G é o ponto médio da aresta designa a amplitude do ângulo F GE E Mostre que a a área total da pirâmide é dada, em função de, por () = 4 cos + 4 cos ( 0, π [ ) D F G 78.. alcule lim π () e interprete geometricamente o valor obtido. Eame 001, 1 a fase - 1 a chamada 79. Indique o valor de lim 0 + ln sen () () 0 () 1 (D) onsidere a função h, de domínio R, definida por h() = sen se < 0 se = 0 se > 0 Utilize métodos eclusivamente analíticos para resolver os dois itens seguintes. Eame 001, rova modelo Estude a função h quanto à continuidade no ponto de abcissa 0. (Deve indicar, justificando, se a função h é contínua nesse ponto e, no caso de não ser, se se verifica a continuidade à esquerda, ou à direita, nesse ponto.) 80.. onsidere a função j, de domínio R \ {0}, definida por j() = 1 3 Mostre que no intervalo [ 1, 1000π, os gráficos de j e de h se intersetam em 1001 pontos. Eame 001, rova modelo ágina 6 de 30

27 81. onsidere a função h definida em R por h() = sen Qual das seguintes equações pode definir uma reta tangente ao gráfico de h? () = + π () = () = 9 (D) = Eame 000, a fase 8. onsidere a função f de domínio R definida por f() = cos 8.1. Recorrendo ao Teorema de olzano, mostre que a função tem, pelo menos, um zero, no intervalo 0, π[ 8.. Seja f a função derivada de f. Mostre que f () > 0, R, e justifique que o zero de f, cuja eistência é garantida pela enunciado do item anterior, é o único zero da função. Eame 000, a fase 83. Um satélite S tem uma órbita elíptica em torno da Terra, tal como se representa na figura ao lado. Tenha em atenção que os elementos nela desenhados não estão na mesma escala. Na elipse estão assinalados dois pontos: - o apogeu, que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra; - o perigeu, que é o ponto da órbita mais próimo do centro da Terra; ângulo, assinalado na figura, tem o seu vértice no centro da Terra; o seu lado origem passa no perigeu, o seu lado etremidade passa no satélite e a sua amplitude está compreendida entre 0 e 360 graus. distância d, em Km, do satélite ao centro da Terra, é dada por d = onsidere que a Terra é uma esfera de raio km , 07 cos Determine a altitude do satélite (distância à superfície da Terra) quando este se encontra no apogeu. presente o resultado em Km, arredondado às unidades. 84. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? () () lim sen = 0 () lim sen = lim sen = 1 (D) Não eiste lim sen + + Eame 000, 1 a fase - a chamada Eame 000, 1 a fase - 1 a chamada 85. No ano de 000, em Lisboa, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr do Sol, no dia de ordem n do ano, é dado em horas, aproimadamente por f(n) = 1, +, 64 sen π(n 81) 183 (o argumento da função seno está epresso em radianos). n {1,, 3,..., 366} or eemplo: No dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr do Sol foi de f(34) 10, 3 horas. No dia 4 de março, Dia Nacional do Estudante, o Sol nasceu às seis e meia da manhã. Em que instante ocorreu o pôr do Sol? presente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Notas: Recorde que, no ano 000, o mês de fevereiro teve 9 dias. Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Eame 000, 1 a fase - 1 a chamada ágina 7 de 30

28 Seja [ um triângulo isósceles, em que =. Seja α a amplitude do ângulo. Mostre que a área do triângulo [ é dada por sen α α 0, π[ α 86.. onsidere agora um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de lado 1. Utilize o resultado do item anterior para mostrar que a área do polígono é dada por ) n = n sen ( π n Determine e interprete o valor de lim n + n Eame 000, rova modelo 87. Na figura ao lado está representado um triângulo [, cuja hipotenusa mede m. Qual das epressões seguintes dá a área (em m ) do triângulo [, em função da amplitude, α, do ângulo? (). sen α. cos α () 4. sen α. cos α (). sen α. tg α (D) 4. sen α. tg α α m 88. Seja uma função definida por g() = tg. Qual dos seguintes conjuntos poderá ser o domínio de g? () π 3, π [ π () 3 4, 3π [ () 0, π[ (D) π, π[ 4 Eame 000, rova para militares (prog. antigo) Eame 1999, rova para militares (prog. antigo) 89. onsidere a função f, de domínio R, definida por f() = sen () 1 sen () Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, determine f (0) [Dé um trapézio isósceles; os lados [D e são paralelos. D Tem-se que: = = D = D 1 π Seja α a amplitude do ângulo, α 3, π α 1 π Mostre que, para cada α 3, π, a área do trapézio é igual a f(α). ( π ) Determine f e interprete geometricamente o resultado obtido, caracterizando o quadrilátero que se obtém para α = π Eame 1999, rova modelo (prog. antigo) ágina 8 de 30

29 90. onsidere um triângulo retângulo [, cujos catetos são [ e [. dmita que se tem = 1 e que designa a amplitude do ângulo Mostre que o perímetro do triângulo [ é dado por f() = 1 + sen + cos cos, 90.. Seja α 0, π [ ( π ) tal que cos + α = 3 5. Determine o valor de f(α). 0, π [ Recorrendo à função derivada de f, mostre que f é crescente. Interprete geometricamente o resultado obtido. 1 Eame 1998, rova para militares (prog. antigo) 91. Na figura ao lado o triângulo [ é isósceles ( = ) [DEF G é um retângulo DG = DE = 1 designa a amplitude do ângulo Mostre que a área do triângulo [ é dada, em função de, por f() = + tg + 1 tg ( 0, π [) E H F (Nota: ode ser-lhe útil reparar que ÊF = Â) 91.. Mostre que f () = cos() sen. cos (f designa a derivada de f) Determine o valor de para o qual a área do triângulo [ é mínima. D I G Eame 1998, a fase (prog. antigo) 9. figura ao lado representa um canteiro de forma circular com 5 m de raio. canteiro tem uma zona retangular, que se destina à plantação de flores, e uma zona relvada, assinalada a sombreado na figura. s vértices,, e D do retângulo pertencem à circunferência que limita o canteiro. E 5 Na figura também estão assinalados: dois diâmetros da circunferência, [EG e [HF, que contêm os pontos médios dos lados do retângulo o centro da circunferência o ângulo F, de amplitude ( 0, π [) D H F G Mostre que a área (em m ) da zona relvada é dada, em função de, por g() = 5π 50 sen () Eame 1998, 1 a fase - a chamada (prog. antigo) ágina 9 de 30

30 93. Duas povoações, e, distanciadas 8 km uma da outra estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de água, localizada em F. retende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas povoações, como se indica na figura ao lado. canalização é formada por três canos: um que vai da fonte F até um ponto e dois que partem de, um para e outro para. ponto está a igual distância de e de. F 4 km Tem-se ainda que o ponto M, ponto médio de [, dista 4 Km de F ; ( [ é amplitude do ângulo M 0, π ) 4 M 8 km Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da canalização é dado por g() = sen cos (Sugestão: omece por mostrar que = 4 e que F = 4 4 tg cos 93.. alcule g(0) e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e consequente comprimento Determine o valor de para o qual o comprimento da canalização é mínimo. Eame 1988, 1 a fase - 1 a chamada (rog. antigo) 94. onsidere a função g, definida em [0, π por g() = sen + sen () Determine os zeros da função g Estude, quanto à eistência de assíntotas, a função h definida em [0, π \ π Mostre que, para qualquer 0, π é a amplitude do ângulo ; = [H é a altura relativa ao vértice ; H = 1. por h() = g() cos [, g() é a área de um triângulo [, em que 1 H Eame 1998, rova modelo (prog. antigo) ágina 30 de 30