Escreva na folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que considera correta.

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1 Provas de Acesso ao Ensino Superior Para Maiores de Anos Candidatura de 0 Exame de Matemática Tempo para realização da prova: horas Tolerância: 0 minutos Material necessário: Material de escrita. Máquina de calcular científica (não gráfica). A prova é constituída por dois grupos, I e II. O grupo I inclui 7 questões de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais apenas uma está correta. Se apresentar mais do que uma resposta ou se a resposta for ilegível, a questão será anulada. Não apresente cálculos nem justificações. Escreva na folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que considera correta. O grupo II inclui 4 questões de resposta aberta. Nas questões deste grupo apresente de forma clara o seu raciocínio, indicando todos os cálculos que efetuar e todas as justificações necessárias. Cotações Grupo I Cada resposta certa...0 Grupo II /

2 Formulário Área de figuras planas: Triângulo: Base Altura Losango: Diagonal Maior Diagonal Menor Perímetro de figuras planas: Circunferência: πr; r raio Trapézio: Círculo: πr ; r raio Base Maior+Base Menor Altura Volumes: Paralelepípedo retângulo: Área da base Altura Pirâmide: Área da Base Altura Cone: Área da Base Altura Esfera: 4 πr ; r raio Progressões: Termo de ordem n de uma progressão de razão r: Aritmética: u n = u + (n )r Geométrica: u n = u r n Soma dos n primeiros termos de uma progressão de termo geral u n e razão r: Aritmética: S n = u +u n n Geométrica: S n = u rn (r ) r Regras de Derivação: (u ± v) = u ± v (uv) = u v + uv ( u v ) = u v uv v (u n ) = nu n u (sen u) = u cos u (cos u) = u sen u (tg u) = u cos u (e u ) = u e u (ln u) = u u Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos: α sen α cos α tg α 0 o o 45 o 60 o 90 o 0 -

3 Grupo I. Seja I = [, ] e a figura abaixo o gráfico da função f : I IR. - - x Então: (A) f(x) = x 4, para todo x I; (B) f(a)f( ) f(b)f() + f(c)f() = 0, para quaisquer a, b, c I; (C) f(x) 0, para todo x [, 0]; A - - D (D) se a, b I e a < b, então f(a) < f(b). l B. Cinco quadrados de lado l formam a cruz da seguinte figura C x D l A l C B A área do quadrilátero convexo de vértices A, B, C e D é: (A) 5 l (B) 4 l (C) 4 l (D) 5 l. Num determinado país da Europa, um designer de uma empresa, durante um ano, teve três aumentos de ordenado. Um em janeiro, de 0%, outro em maio, de 5% e o outro em setembro de %. Nesse ano o aumento do ordenado do referido designer, arredondado às unidades em percentagem, foi de: (A) 8% (B) 0% (C) 7% (D) 9% 4. Indique qual das expressões seguintes é, para qualquer número b superior a, igual a b +log b : (A) b (B) b (C) + b (D) + b

4 C A 5. Seja g uma função cujo gráfico tem um ponto de B inflexão de abcissa. Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da segunda derivada de g? (A) (B) 0 x 0 x (C) (D) 0 x 0 x 6. De uma função f sabe-se que f(x) = 4 f (x), para qualquer x IR. Qual das seguintes pode ser a expressão analítica da função f? (A) 4x (B) cos x (C) e x (D) sen(x) 7. Simplificando-se a expressão (A) (B) 77 8 (C) 7 6 (D) 8 9 obtém-se: 9

5 Grupo II. Seja T um tria ngulo equila tero de lado l unidades de medida. Construa-se T a partir de T, unindo os pontos me dios dos lados de T e pintando o tria ngulo central. Construa-se Tn a partir de Tn (n > ) repetindo, em cada um dos tria ngulos que ficam em branco, a construc a o indicada... Quantos tria ngulos brancos ha em T5?.. Sendo xn o nu mero de tria ngulos brancos em Tn e an a a rea de cada um desses tria ngulos brancos, mostre que que as sucesso es (xn ) e (an ) sa o progresso es geome tricas e apresente os respetivos termos gerais.. Na entrada de um tu nel, existe um arco assente em dois pilares de igual altura. A altura do arco a x metros de dista ncia do pilar da esquerda e dada, em metros, por: h(x) = (x 4) Mostre que h(0) = 5 e interprete o resultado... Indique a altura ma xima do arco... Determine a largura do tu nel..4. A que dista ncia do pilar da esquerda a altura do arco e superior a 6,5 m?

6 . A figura abaixo representa um canteiro de forma circular com 5 m de raio. O canteiro tem uma zona retangular, que se destina à plantação de flores, e uma zona relvada, assinalada a sombreado na figura. Os vértices A, B, C e D do retângulo pertencem à circunferência que limita o canteiro. Na figura estão também assinalados: dois diâmetros da circunferência, [EG] e [HF ], que contêm os pontos médios dos lados do retângulo; o centro O da circunferência; o ângulo BOF, de amplitude x, com x ]0, π [... Calcule as dimensões da zona retangular quando x = π 6... Mostre que a área (em m ) da zona relvada é dada, em função de x, por: A(x) = 5π 50 sen(x). 4. Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, A e B, distanciadas de 0 metros, como se mostra na figura. Considere a função h definida por h(x) = 5 4 ln( x + 0x + ), onde ln designa logaritmo de base e. Admita que h(x) é a altura, em metros, do ponto da rampa situado x metros à direita da parede A. 4.. Determine a altura da parede A. Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas. Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 4.. Sem recorrer à calculadora, estude a função h quanto à monotonia e conclua daí que, tal como a figura sugere, é num ponto equidistante das duas paredes que a altura da rampa é mínima. 4.. Mostre, analiticamente, que h(5 x) = h(5 + x). Interprete esta igualdade no contexto da situação descrita. FIM