Exercícios de exames e provas oficiais

Transcrição

1 mata1 Eercícios de eames e provas oficiais 1. Seja a um número real. Considere a função f, de domínio, definida por sin f a. Seja r a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. 3 Sabe-se que a inclinação da reta r é igual a radianos. 6 Determine o valor de a. matemática A 1º ano, eame 635, época especial, 015. Seja f a função, de domínio, definida por f 3sin. Qual das epressões seguintes define a função f ", segunda derivada de f? (A) 6sin cos (B) 6sin cos (C) 6cos (D) 6sin matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, Um cubo encontra-se em movimento oscilatório provocado pela força elástica eercida por uma mola. A figura abaio esquematiza esta situação. Nesta figura, os pontos O e A são pontos fios. O ponto P representa o centro do cubo e desloca-se sobre a semirreta OA. Admita que não eiste qualquer resistência ao movimento. Sabe-se que a distância, em metros, do ponto P ao ponto O é dada por 1 d t 1 sin t 6 A variável t designa o tempo, medido em segundos, que decorre desde o instante em que foi t 0, iniciada a contagem do tempo Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora No instante em que se iniciou a contagem do tempo, o ponto P coincidia com o ponto A. Durante os primeiros três segundos do movimento, o ponto P passou pelo ponto A mais do que uma vez. Determine os instantes, diferentes do inicial, em que tal aconteceu. Apresente os valores eatos das soluções, em segundos. 1 / 5

2 mata1 3.. Justifique, recorrendo ao teorema de Bolzano, que houve, pelo menos, um instante, entre os três segundos e os quatro segundos após o início da contagem do tempo, em que a distância do ponto P ao ponto O foi igual a 1,1 metros. matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, Na figura, está representado o círculo trigonométrico. Sabe-se que: o ponto A pertence ao primeiro quadrante e à circunferência; o ponto B pertence ao eio O; o ponto C tem coordenadas 1,0 ; o ponto D pertence à semirreta OA ; os segmentos de reta [AB] e [DC] são paralelos ao eio Oy. Seja a amplitude do ângulo COD 0,. Qual das epressões seguintes dá a área do quadrilátero [ABCD], representado a sombreado, em função de? (A) (C) sin tan sin (B) tan sin tan (D) 4 4 sin tan matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, Sejam f e g as funções, de domínio, definidas, respetivamente, por 1 cos 3 e g sin3 f Seja a um número real pertencente ao intervalo, 3. Considere as retas r e s tais que: a reta r é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a; a reta s é tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a. 6 Sabe-se que as retas r e s são perpendiculares. Mostre que sin 3 1 a. 3 matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, 015 / 5

3 mata1 6. Na figura abaio, estão representada, num referencial o.n. Oy, a circunferência de centro O e a reta r. Sabe-se que: os pontos A e B pertencem à circunferência; o ponto B tem coordenadas 0,1 ; a reta r é tangente à circunferência no ponto B; o ponto C é o ponto de interseção da reta r com a semirreta OA ; é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB, com 0,. Qual das epressões seguintes representa, em função de, a área da região a sombreado? (A) sin (B) tan (C) tan (D) matemática A 1º ano, eame 635, época especial, Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio,e, definida por e se f sin k se e 6 Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine k, de modo que a função f seja contínua em. matemática A 1º ano, eame 635, época especial, / 5

4 mata1 8. Considere, para um certo número real k, a função f, contínua em, 4, definida por f cos se 4 k 3 se Qual é o valor de k? (A) 0 (B) 1 (C) (D) 4 matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, Na figura, estão representados uma circunferência de centro O e raio e os pontos P, Q, R e S. Sabe-se que: os pontos P, Q, R e S pertencem à circunferência; [PR] é um diâmetro da circunferência; PQ PS é a amplitude, em radianos, do ângulo QPR; 0, ; A é a área do quadrilátero [PQRS], em função de. Para um certo número real, com 0, Determine o valor eato de calculadora. Comece por mostrar que A 16sin cos., tem-se que tg. A, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, / 5

5 mata1 10. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oy, uma circunferência de centro O e raio 1. Sabe-se que: os pontos A e B pertencem à circunferência; o ponto A tem coordenadas 1,0 ; os pontos B e C têm a mesma abcissa; o ponto C tem ordenada zero; o ponto D tem coordenadas 3,0 ; é amplitude, em radianos, do ângulo AOB, com,. Qual das epressões seguintes representa, um função de, a área do triângulo BCD? 1 (A) 3 sincos (B) 1 3 cos sin 1 3 sin cos 1 3 cos sin (C) (D) matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, Seja f uma função cuja derivada ' Determine o valor de f, de domínio, é dada por f ' sin f f lim Estude o gráfico da função f, quanto ao sentido das concavidades e quanto à eistência de pontos de infleão em, 4, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada para cima, o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada para baio e, caso eistam, as abcissas dos pontos de infleão do gráfico da função f. matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, / 5

6 mata1 1. Considere a função f, de domínio 0,, definida por f ln cos 1 Sabe-se que: A é um ponto do gráfico de f. a reta tangente ao gráfico de f, no ponto A, tem inclinação 4 Determine a abcissa do ponto A, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta de: equacionar o problema;. radianos. reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a abcissa do ponto A com arredondamento às centésimas. matemática A 1º ano, eame 635, época especial, Na figura, estão representados a circunferência de centro no ponto C e de raio 1, a semirreta CB, a reta AD e o triângulo [ACE]. Sabe-se que: os pontos A e B pertencem à circunferência; os pontos D e E pertencem à semirreta CB ; a reta AD é perpendicular à semirreta CB ; o ponto A desloca-se sobre a circunferência, e os pontos D e E acompanham esse movimento de modo que DE 6 ; é a amplitude, em radianos, do ângulo ACB; 0, Mostre que a área do triângulo [ACE] é dada, em função de, por 1 f 3sin sin. 4 6 / 5

7 mata Mostre, sem resolver a equação, que f tem, pelo menos, uma solução em,. 6 4 matemática A 1º ano, eame 635, época especial, Considere a função f, de domínio, definida por 3 e se 1 f 1 sin 1 se 1 1 Recorrendo a métodos analíticos e sem utilizar a calculadora, averigue se a função f é continua em 1. matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, Na figura, estão representados, num referencial o.n. Oy, o triângulo [OAB] e a reta r. Sabe-se que: a reta r é definida por 3; o ponto A pertence à reta r e tem ordenada positiva; o ponto B é simétrico do ponto A em relação ao eio O; é a amplitude, em radianos, do ângulo cujo lado origem é o semieio positivo O e cujo lado etremidade é a semirreta OA ; ; ; a função P, de domínio ;, é definida por 6 P 6tan. cos Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de, por P Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função P no ponto de abcissa 5, 6 sem utilizar a calculadora. matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, / 5

8 mata1 16. Seja f a função, de domínio \ 0, definida por f Considere a sucessão de números reais tal que Qual é o valor de lim f? n n n sin. 1. n (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, Considere a função g, de domínio,0, definida por sin g cos. Seja a um número real do domínio de g. A reta tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a é paralela à reta de equação y 1. Determine o valor de a, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, Considere a função f, de domínio, definida por sin se k 1 f 1 e se e se 0 com k Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função f quanto à eistência de assíntotas verticais do seu gráfico. matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, 01 8 / 5

9 mata1 19. Na figura, está representado o quadrado [ABCD]. Sabe-se que: AB 4 ; AB AH BE BF CF CG DG DH; é amplitude, em radianos, do ângulo EAB; 0, Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de, por a 161 tan 19.. Mostre que eiste um valor de compreendido entre e 1 5 sombreada é 5.. para o qual a área da região Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais. matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, Na figura, está representado um trapézio retângulo [ABCD]. Sabe-se que: BC 1; CD 1 é a amplitude, em radianos, do ângulo ADC;,. Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos Mostre que o perímetro do trapézio [ABCD] é dado, em função de, por 1 cos P 3. sin 0.. Para um certo número real, tem-se que tan 8, com. Determine o valor eato de P'. 1 cos. sin Comece por mostrar que P' matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, 01 9 / 5

10 mata1 1. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: o segmento de reta [AC] tem comprimento 4; o ponto B é o ponto médio de [AC]; o segmento de reta [BD] é perpendicular a [AC]; o arco de circunferência CD tem centro em B. Admita que o ponto P se desloca ao longo do arco CD, nunca coincidindo com C nem com D, e que o ponto Q se desloca ao longo do segmento de reta [AB] de tal forma que [PQ] é sempre perpendicular a [BC]. Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do ângulo CBP e seja a área do triângulo [APQ]. Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos., 0, Mostre que A sin sin 1.. Mostre que eiste um valor de para o qual a área do triângulo [APQ] é máima. A matemática A 1º ano, teste intermédio, Na figura, estão representados, num referencial o.n. Oy, uma circunferência e o triângulo [OAB]. Sabe-se que: O é a origem do referencial; a circunferência tem centro no ponto O e raio 1; A é o ponto de coordenadas 1,0 ; B pertence à circunferência e tem ordenada negativa; O ângulo AOB tem amplitude igual a radianos. Qual é a área do triângulo [OAB]? (A) 3 4 (B) 1 (C) (D) 3 matemática A 1º ano, eame 635, época especial, / 5

11 mata1 3. De duas funções f e g sabe-se que: f tem domínio e é definida por f 4sin 5 ; g tem domínio, 3 3 e g ', primeira derivada de g, tem domínio, 3 3 e é definida por g ' log 6 Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. sin 3.1. Calcule o valor de lim 0 f. 3.. Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à eistência de pontos de infleão no intervalo, 3 3. Resolva o item seguinte recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora Seja h a função, de domínio, 3 3 O ponto A pertence ao gráfico da função h., definida por h f g. Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função h no ponto A é paralela ao eio O. Determine a abcissa do ponto A. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a abcissa do ponto com arredondamento às décimas. matemática A 1º ano, eame 635, época especial, Para um certo número real positivo, k, a função g definida em por g sin se 0 3 é continua. ln k se 0 Qual é o valor de k? (A) 3 e (B) 3 e (C) e 3 (D) 3e matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, / 5

12 mata Qual é o valor de lim sin 0? (A) 4 (B) 0 (C) 1 4 (D) 1 matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, Na figura, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico da função f, de f 4cos. domínio, definida por Sabe-se que: os vértices A e D do trapézio [ABC] pertencem ao eio O; o vértice B do trapézio [ABCD] pertence ao eio Oy; o vértice D do trapézio [ABCD] tem abcissa ; 6 os pontos A e C pertencem ao gráfico de f; a reta CD é paralela ao eio Oy. Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos eclusivamente analíticos Determine o valor eato da área do trapézio [ABCD]. 6.. Seja f ' a primeira derivada da função f, e seja Mostre que f f ' f '' 43cos sin. f '' a segunda derivada da função f., para qualquer número real matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, / 5

13 mata1 7. Seja f a função, de domínio, definida por sin 1 se 0 1 f e e e se 1 Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, averigue se a função f é contínua em 1. matemática A 1º ano, teste intermédio, Na figura abaio, está representada uma circunferência de centro no ponto O e raio 1. Sabe-se que: o ponto A pertence à circunferência; os pontos O, A e B são colineares; o ponto A está entre o ponto O e o ponto B; o ponto P desloca-se ao longo da semirreta AB, nunca coincidindo com o ponto A; d é a distância do ponto A ao ponto P; para cada posição do ponto P, o ponto Q é um ponto da circunferência tal que a reta PQ é tangente à circunferência; é a amplitude, em radianos, do ângulo OPQ 0,. Seja f a função, de domínio 0,, definida por 1 sin f sin Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora Mostre que d f Considere a seguinte afirmação: Quanto maior é o valor de, menor é o valor de d. Averigue a veracidade desta afirmação, começando por estudar a função f quanto à monotonia. matemática A 1º ano, teste intermédio, / 5

14 mata1 9. Seja f a função, de domínio 0,3, definida por f ln sin O ponto A pertence ao gráfico da função f.. Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função f no ponto A tem declive 3. Determine a abcissa do ponto A. Na resolução deste item deve: traduzir o problema por uma equação; resolver graficamente essa equação, recorrendo à calculadora; indicar o valor pedido arredondado às centésimas. Deve reproduzir e identificar o gráfico, ou os gráficos, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, incluindo o referencial, e deve assinalar, no(s) gráfico(s), o(s) ponto(s) relevante(s). matemática A 1º ano, teste intermédio, Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera. As figuras representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combustível distintas. Os cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera. Sabe-se que: o ponto O é o centro da esfera; a esfera tem 6 metros de diâmetro; a amplitude, em radianos, do arco AB é igual à amplitude do ângulo ao centro AOB correspondente. A altura AC, em metros, do combustível eistente no depósito é dada, em função de, por h, de domínio 0,. Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos Mostre que h 3 3cos, para qualquer 0, 30.. Resolva a condição h 3, 0,.. Interprete o resultado obtido no conteto da situação apresentada. matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, / 5

15 mata1 31. Considere a função f, de domínio,1, definida por a b e se 0 f sin se 0 com ab, Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, determine o valor de b, de modo que f seja contínua em 0. matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, Na figura, estão representados, num referencial o.n. Oy, uma circunferência e o triângulo [OAB]. Sabe-se que: a circunferência tem diâmetro [OA]; o ponto A tem coordenadas,0 ; o vértice O do triângulo [OAB] coincide com a origem do referencial; o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferência superior. Para cada posição do ponto B, seja a amplitude do ângulo AOB, com 0,. Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de, por 1 cos sin h 3.. Determine o valor de para o qual o perímetro do triângulo [OAB] é máimo. matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, / 5

16 mata1 33. Na figura, está representado um triângulo retângulo [ABC], cujos catetos, [AB] e [BC], medem 5 unidades. Considere que um ponto P se desloca sobre o cateto [BC], nunca coincidindo com B nem com C. Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do ângulo BAP 0,. 4 Seja f a função que, a cada valor de, faz corresponder o perímetro do triângulo [APC]. Resolva os dois primeiros itens, usando eclusivamente métodos analíticos Mostre que f 5 5tan cos 33.. Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 6. Determine o declive da reta r Eiste um valor de para o qual o perímetro do triângulo [APC] é igual a 16. Determine esse valor, arredondado às centésimas, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora. Apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante para a resolução do problema. matemática A 1º ano, teste intermédio, Seja f a função, de domínio 0,, definida por sin f cos Determine, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa No domínio indicado, determine, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, um valor, aproimado às décimas, da área do triângulo [ABC], em que: A é o ponto do gráfico da função f cuja ordenada é máima; B e C são os pontos de interseção do gráfico da função f com a reta de equação y 0,3. Reproduza, na folha de respostas, o gráfico, ou gráficos, visualizado(s) na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial. Desenhe o triângulo [ABC], assinalando os pontos que representam os seus vértices. Nota: Nas coordenadas dos vértices em que é necessário fazer arredondamentos, utilize duas casa decimais. matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, / 5

17 mata1 35. Para um certo número real positivo k, é continua a função f, de domínio, definida por Qual é o valor de k? log k se 0 f sin se 0 (A) 1 (B) (C) 3 (D) 4 matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, Na figura, está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio igual a 1. Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência. Qual das epressões seguintes representa, em função de, a área da parte sombreada? (A) sin (B) sin (C) sin (D) sin 4 matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, Sejam a, b, c e d as funções reais de variável real definidas por: 3 ln b e a 10sin d tan c Considere qua o domínio de cada uma das quatro funções é o conjunto dos números reais para os quais tem significado a epressão que a define. Qual é a função cujo gráfico tem mais do que uma assíntota? (A) A função a (C) a função c (B) A função b (D) A função d matemática A 1º ano, teste intermédio, / 5

18 mata1 38. Na figura ao lado estão representados: uma circunferência de centro O e raio 1; dois pontos, A e B, sobre a circunferência, tais que [AB] é um diâmetro; uma semirreta OA ; um segmento de reta [PQ] Considere que: o ponto P, partindo de A, se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa, no sentido indicado pelas setas da figura. o ponto Q se desloca sobre a semirreta OA, acompanhando o movimento do ponto P, de tal forma que se tem sempre PQ 3. Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem a semirreta OA e por lado etremidade a semirreta OP (ver figura ao lado). Seja d a função que, a cada valor de pertence a 0,, associa a distância, d, do ponto Q ao ponto O Considere as seguintes afirmações sobre a função d e sobre a sua derivada g ' (a função d tem derivada finita em todos os pontos do seu domínio). I. d0 d II. d 0,, ' 0 Elabore uma pequena composição na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações e verdadeira, ou falsa. Nota: neste item, não defina analiticamente a função d; a sua composição deve apoiar-se na forma como esta função foi apresentada (para cada valor de, tem-se que d é a distância do ponto Q ao ponto O) Defina analiticamente a função d no intervalo 0, (isto é, determine uma epressão que dê o valor de d, para cada pertencente a este intervalo). Sugestão: trace a altura do triângulo [OPQ] relativa ao vértice P, designe por R o ponto de interseção desta altura com a semirreta OA, e tenha em conta que OQ OR RQ. matemática A 1º ano, teste intermédio, / 5

19 mata1 39. Considera a função g, de domínio, definida por g sin 4 Resolva, usando métodos analíticos, os dois itens seguintes.. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais Determine g '0, recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto Estude a monotonia da função g, no intervalo 0,, indicando o valor dos etremos relativos, caso eistam, e os intervalos de monotonia. matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, Seja f a função de domínio, f, definida por 3sin 41 e se se 0 0 Estude a função f quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eios coordenados, escrevendo as suas equações, caso eistam. matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, Na figura está representado o círculo trigonométrico. Tal como a figura sugere, O é a origem do referencial, Q pertence à circunferência, P é o ponto de coordenadas 1,0 e R é o ponto de coordenadas 1,0. A amplitude, em radianos, do ângulo POQ é 5. 7 Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do triângulo [OQR]? (A) 0,39 (B) 0,4 (C) 0,46 (D) 0,49 matemática A 1º ano, teste intermédio, Seja f : 0, a função definida por f 3 cos Indique o valor de o qual (A) 0 (B) f é máimo.. (C) (D) 3 matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, / 5

20 mata1 43. Considere a função g, definida no intervalo 1,7 por g (ln designa logaritmo na base e) sin ln Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualize o gráfico da função g e reproduza-o na sua folha de prova. Com base nesse gráfico e utilizando as ferramentas adequadas da sua calculadora, resolva o seguinte problema: Seja g ' a função derivada de g. O conjunto da inequação g' 0 é um intervalo aberto ab,. Determine os valores de a e de b. Apresente os resultados arredondados às centésimas. Justifique a sua resposta. matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, Na figura seguinte está representada uma artéria principal do corpo humano, cuja seção é um círculo com raio R, e uma sua ramificação, mais estreita, cuja secção é um círculo com raio r. A seção da artéria principal tem área A e a ramificação tem área a. Seja 0, a amplitude, em radianos, do ângulo que a artéria principal faz com a sua ramificação (medida relativamente a duas geratrizes complanares dos dois cilindros). Sabe-se que a A cos Admitindo que o modelo descrito se adequa com eatidão à situação real, determine no caso em que os raios referidos verificam a relação R 4 r. matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, / 5

21 mata1 45. Considere as funções f e g, definidas em por 1 e e g sin f Considere ainda a função h, definida em por h f ' g '. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva os dois itens seguintes Mostre que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo 0, Tendo em conta a prova que fez anteriormente, justifique que eiste a 0, tal que as retas tangentes aos gráficos de f e g, nos pontos de abcissa a, são paralelas. matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, Na figura está representado, em referencial o.n. Oy, um arco AB, que está contido na circunferência de equação y 1. O ponto C pertence ao eio O e o segmento de reta [AC] é perpendicular a este eio. é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB. Qual é a epressão que dá o perímetro da região sombreada, em função de? (A) sin cos (B) sin 1 cos (C) 1 sin cos (D) 1 sin cos matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, Como sabe, a Terra descreve uma órbita elíptica em torno do Sol. Na figura está representado um esquema dessa órbita. Está assinalado o periélio, o ponto da órbita da Terra mais próimo do Sol. Na figura está assinalado um ângulo de 0,. amplitude radianos Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado etremidade passa na Terra. A distância d, em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é (aproimadamente) dada, em d 149,6 1 0,0167cos. função de, por Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, determine a distância máima e a distância mínima da Terra ao Sol. Apresente os valores pedidos em milhões de quilómetros, arredondados às décimas. 1 / 5

22 mata Sabe-se que verifica a relação t 0,0167sin, em que: T t é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo periélio até ao instante em que atinge a posição correspondente ao ângulo ; T é o tempo que a Terra demora a descrever uma órbita completa (365,4 dias) Mostre, para, se tem T t. Interprete este resultado no conteto da situação descrita Sabe-se que a última passagem da Terra pelo periélio ocorreu a uma certa hora do dia 4 de Janeiro. Determine a distância a que a Terra se encontrava do Sol, à mesma hora do dia 14 de Fevereiro. Apresente o resultado em milhões de quilómetros, arredondando às décimas. Nos valores intermédios, utilize, no mínimo, quatro casas decimais. Nota: a resolução desta questão envolve uma equação que deve ser resolvida graficamente, com recurso à calculadora; apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum, ou de alguns, ponto(s). matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, Seja g a função definida em por g e 5. cos n 1 Considere a sucessão de termo geral un. n Indique o valor de lim gu n n. (A) 4 (B) 3 (C) (D) 1 matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, 006 / 5

23 mata1 49. Na figura está representada uma esfera suspensa de um fio com 1 metro de comprimento, fio no ponto O. O centro da esfera oscila entre os pontos A e B, que são simétricos relativamente à reta vertical r. A reta r passa pelo centro O e é perpendicular à reta OS. No instante inicial, o centro da esfera coincide com o ponto A. Admita que, t segundos após esse instante inicial, o centro da esfera está num ponto P tal que a amplitude, em radianos, do ângulo SOP é dada (aproimadamente) por t cos 9,8 t 6 Nas duas alíneas seguintes, não utilize a calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos Determine a distância do centro da esfera à reta OS, no instante inicial Determine o instante em que o centro da esfera passa pela primeira vez na reta r. Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas. matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, Considere a função f definida no intervalo 1, por logaritmo de base e). f cos 1 ln (ln designa Para um certo valor real positivo a e para um certo valor real b, a função g, definida no intervalo 1, por g a. f b, tem por contradomínio o intervalo 4,5. Utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora, determine os valores de a e de b, arredondados às centésimas. Eplique como procedeu. Na sua eplicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que tenha visualizado na calculadora, bem como coordenadas relevantes de algum, ou alguns, pontos. Sempre que, em valores intermédios, proceder a arredondamentos, conserve um mínimo de três casas decimais. matemática A 1º ano, eame 635, 1ª fase, / 5

24 mata1 51. Na figura junta está representado o círculo trigonométrico. Considere que um ponto P parte de 1,0 A e se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa, em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Para cada posição do ponto P, seja, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem é a semirreta OA e cujo lado etremidade é a semirreta OP 0,. Seja g a função que, a cada valor de, faz corresponder a área da região sombreada (região limitada pelos segmentos de reta OP, PA e AO ). Qual dos seguintes gráficos pode ser o da função g? (A) (B) (C) (D) matemática A 1º ano, eame 635, ª fase, Seja f a função, de domínio 0,, definida por f sin Na figura junta estão representados: o gráfico da função f; duas retas, r e s, tangentes ao gráfico de f, nos pontos de abcissas a e b, respetivamente. Prove que, se ab, então as retas r e s são paralelas. 5.. Sem recorrer à calculadora, estude, quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico, a função g, de domínio 0, \, definida por g f matemática A 1º ano, eame 435, ª fase, / 5

25 mata1 53. Considere a função f, de domínio, definida por f cos. Qual das epressões seguintes dá a derivada de f, no ponto? (A) cos 1 lim (B) cos lim 0 (C) cos lim (D) cos lim 0 matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, Na figura está representada uma circunferência com efeito com centro no ponto O e raio 3. Os diâmetros EF e GH são perpendiculares. Considere que o ponto B se desloca sobre o arco FG. Os pontos A, C e D acompanham o movimento do ponto B, de tal forma que: as cordas AB e CD permanecem paralelas a EF ; AD e BC são sempre diâmetros da circunferência. Os pontos I e J também acompanham o mesmo movimentos, de tal forma que são sempre os pontos de interseção de GH com AB e CD, respetivamente. Para cada posição do ponto B, seja a amplitude, em radianos, do ângulo FOB 0, Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de, por 18 sin.cos A Sugestão: use a decomposição sugerida na figura. 5 / 5

26 mata Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Qual é o valor de para o qual a área da região sombreada é igual a metade da área do círculo? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum, ou de alguns, ponto(s). Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas. matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, Na figura está representada parte do gráfico de uma função periódica. Qual dos valores seguintes poderá ser período desta função? (A) 9 (B) 9 (C) 3 (D) 4 3 matemática A 1º ano, eame 435, ª fase, Duas bolas de plástico com o mesmo raio, uma branca e outra preta, flutuam na superfície de um líquido contido num recipiente. Por ação de uma força eterior, o líquido perdeu o estado de repouso em que se encontrava, tendo a distância de cada uma das bolas à base do recipiente deiado de ser constante. Designando por bt e pt as distâncias, em cm, dos centros das bolas (branca e preta, respetivamente) à base do recipiente, t segundos após o início da perturbação, admita que se tem: 0,1t b t 10 e sin t, t 0 0,1t p t 10 1,37 e sin t, t Sem recorrer à calculadora, resolva o seguinte problema: Durante os primeiros cinco segundos após o início da perturbação (instantes 0 e 5 incluídos), houve alguns instantes em que as duas bolas estiveram a igual distância da base do recipiente. Quantas vezes isso aconteceu? 6 / 5

27 mata Determine a distância que vai do centro da bola branca ao centro da bola preta, meio segundo após o início da perturbação, sabendo que, nesse instante, a distância entre as respetivas projeções horizontais (na base do recipiente) é de,5 cm. Apresente o resultado em cm, arredondado às décimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédio, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. matemática A 1º ano, eame 435, ª fase, Para um certo valor de k, é contínua em a função g, definida por k cos se 0 ln 1 g Qual é o valor de k? se 0 (ln designa logaritmo de base e) (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, A figura representa um depósito de forma cilíndrica, que contém um certo volume de combustível. Admita que a função V, de domínio 0,, definida por 80 sin f, dá o volume, em metros cúbicos, de combustível eistente no depósito, em função da amplitude, em radianos, do arco ABC (que, como se sabe, é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente, assinalado na figura acima) Qual é a capacidade total do depósito, em metros cúbicos? Apresente o resultado arredondado às unidades. Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 7 / 5

28 mata Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Qual terá de ser a amplitude, em radianos, do arco ABC, para que eistam 300 m 3 de combustível no depósito? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s). Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas Determine, em metros cúbicos, o volume do combustível eistente no depósito, no momento em que a sua altura é 1 4 Apresente o resultado arredondado às unidades. da altura máima. Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais Admita agora que o depósito está vazio e que, num certo instante, se começa a introduzir combustível a uma taa constante, até ficar cheio, o que acontece ao fim de cinco horas. Seja ht a altura do combustível no depósito, t horas após o instante em que começa a ser introduzido. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função h? Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, indique as razões que o levam a rejeitar os restantes gráficos (indique três razões, uma por cada gráfico rejeitado). (A) (B) (C) (D) matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, / 5

29 mata1 59. Na figura está representado um trapézio retângulo [ABCD], cujas bases têm 10 e 30 unidades de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento. Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [AB]. Para cada posição do ponto P, seja amplitude, em radianos, do ângulo PDA. Pretende-se determinar o valor de para o qual o segmento [PD] divide o trapézio em duas figuras com a mesma área. Qual das equações seguintes traduz este problema? (A) (C) 30 sin 30 tan 100 (B) sin 150 (D) tan matemática A 1º ano, eame 435, ª fase, Considere a função f, de domínio 3,, definida por f sin Sem recorrer à calculadora, resolva as três alíneas seguintes Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, calcule f ' Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à eistência de pontos de infleão Determine os valores de, pertencentes ao intervalo,, tais que f cos. matemática A 1º ano, eame 435, ª fase, / 5

30 mata1 61. A Rita está a participar num concurso de lançamentos de papagaios de papel. No regulamento do concurso, estão as condições de apuramento para a final, que se reproduzem a seguir. Após um certo instante, indicado pelo júri: o papagaio não pode permanecer no ar mais do que um minuto; o papagaio tem de permanecer, pelo menos durante doze segundos seguidos, a uma altura superior a dez metros; o papagaio tem de ultrapassar os vinte metros de altura. Admita que a distância, em metros, do papagaio da Rita ao solo, t segundos após o instante indicado pelo júri, é dada por d t t t 9,5 7sin 5cos 00 4 (os argumentos das funções seno e cosseno estão epressos em radianos). Note-se que, a partir do instante em que o papagaio atinge o solo, a distância do papagaio ao solo deia de ser dada por esta epressão, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a zero. Deverá a Rita ser apurada para a final? Utilize a calculadora para investigar esta questão. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, eplicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas). matemática A 1º ano, eame 435, ª fase, / 5

31 mata1 6. Na figura está representado, em referencial o.n. Oy, um arco de circunferência AB, de centro na origem do referencial. O ponto Q move-se ao longo desse arco. Os pontos P e R, situados sobre os eios O e Oy, respetivamente, acompanham o movimento do ponto Q, de tal forma que o segmento de reta [PQ] é sempre paralelo ao eio Oy e o segmento de reta [QR] é sempre paralelo ao eio O. Para cada posição do ponto Q, seja a amplitude do ângulo AOQ e seja h a área da região sombreada. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função h? (A) (B) (C) (D) matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, ª chamada, Considere a epressão f a bsin. Sempre que se atribui um valor real a a e um valor real a b, obtemos uma função de domínio Nesta alínea, considere a e b 5. Sabe-se que tan 1 f.. Sem recorrer à calculadora, calcule 31 / 5

32 mata Para um certo valor de a e um certo valor de b, a função f tem o seu gráfico parcialmente representado na figura junta. Conforme essa figura sugere, tem.se: o contradomínio de f é 3,1 ; 0 e são maimizantes; e são minimizantes. Determine a e b. matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, ª chamada, Na figura está representado a sombreado um polígono [ABEG]. Tem-se que: [ABFG] é um quadrado de lado ; FD é um arco de circunferência de centro em B; o ponto E move-se ao longo desse arco; e consequência, o ponto C desloca-se sobre o segmento [BD], de tal forma que se tem sempre EC BD ; designa a amplitude, em radianos, do ângulo CBE 0, Mostre que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de, por A 1 sin cos. Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio [ACEG] Determine A 0 e A. Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Quais são os valores de para os quais a área do polígono [ABEG] é 4,3? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às décimas. matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, 1ª chamada, / 5

33 mata1 65. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma reta r. Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura. Inicialmente, o ponto P encontra-se à distância de unidade da reta r. Seja d a distância de P a r, após uma rotação de amplitude. Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo? (A) d 1 cos (B) d sin (C) d 1 cos (D) d sin matemática A 1º ano, eame 435, ª fase, Considere as funções f e g, de domínio, definidas por 1 f e 3 1 sin cos g Utilizando métodos eclusivamente analíticos, resolva a equação f g apresentando a solução na forma lnke, onde k representa um número real positivo. (ln designa logaritmo de base e) 66.. Recorrendo à calculadora, determine as soluções inteiras da inequação f g intervalo 0,. Eplique como procedeu.,, no matemática A 1º ano, eame 435, ª fase, / 5

34 mata1 67. Na figura estão representados, em referencial o.n. Oy, o círculo trigonométrico e um triângulo [OAB]. Os pontos A e B pertencem à circunferência. O segmento [AB] é perpendicular ao semieio positivo O. O ponto C é o ponto de interseção da circunferência com o semieio positivo O. Seja a amplitude do ângulo COA. 0,. Qual das epressões seguintes dá a área do triângulo [OAB], em função de? (A) sin.cos (B) (C) tan.sin (D) tan.cos tan.sin matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, ª chamada, De uma função f, de domínio, igualmente no intervalo,, sabe-se que a sua derivada f ' está definida e é dada por f ' cos Utilizando métodos eclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes: f f Determine o valor de lim Estude a função f quanto às concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos pontos de infleão O gráfico de f contém um único ponto onde a reta tangente é paralela ao eio O. Recorrendo à sua calculadora, determine um valor arredondado às centésimas para a abcissa desse ponto. Eplique como procedeu. matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, ª chamada, / 5

35 mata1 69. Na figura está representado um quadrado [ABCD], de lado 1. O ponto E desloca-se sobre o lado [AB], e o ponto F desloca-se sobre o lado [AD], de tal forma que se tem sempre AE AF. Para cada posição do ponto E, seja a amplitude do ângulo BEC, 4. Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, resolva as três alíneas seguintes: Mostre que o perímetro do quadrado [CEAF] é dado, em função de, por f tan sin 69.. Calcule lim f _ Mostre que f ' e interprete geometricamente o valor obtido. cos e estude a função f quanto à monotonia. sin matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, 1ª chamada, Na figura estão representados, em referencial o.n. Oy: uma circunferência de raio 1, centrada no ponto 0,1,1 e contida no plano yoz; o ponto A 0,,1 ; o ponto B, pertencente ao semieio positivo O. Considere que um ponto P, partindo de A, se desloca sobre essa circunferência, dando uma volta completa, no sentido indicado na figura. Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do arco AP 0, seja d a distância de P ao ponto B. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função d? e 35 / 5

36 mata1 (A) (B) (C) (D) matemática A 1º ano, eame 435, ª fase, Considere a função f, de domínio,, definida por f cos. 1 cos Sem recorrer à calculadora, resolva as três alíneas seguintes Estude a função quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico Mostre que a função f tem um máimo e determine-o Na figura está representada, em referencial o.n. Oy, uma parte do gráfico da função f. Na mesma figura está também representado um trapézio [OPQR]. O ponto O é a origem do referencial, e os pontos P e R pertencem aos eios O e Oy, respetivamente. Os pontos P e Q pertencem ao gráfico de f. Sabendo que o ponto R tem ordenada 1, determine a área do trapézio. 3 matemática A 1º ano, eame 435, ª fase, / 5

37 mata1 7. Na figura estão representados, em referencial o.n. Oy: um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1; uma semirreta paralela ao eio Oy, com origem no ponto 1,0 ; um ponto A pertencente a esta semirreta; um ângulo de amplitude, cujo lado origem é o semieio positivo O e cujo lado etremidade é a semirreta OA. Qual das epressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de? (A) (C) tan (B) 4 4 tan tan (D) tan matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, ª chamada, Na figura está representado o gráfico da função f, de domínio 0,, definida por f cos. A e B são pontos do gráfico cujas ordenadas são etremos relativos de f Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alíneas seguintes Mostre que a ordenada do ponto A é 6 e que a do ponto B é / 5

38 mata Qual é o contradomínio de f? 73.. Considere a reta tangente ao gráfico de f no ponto A. Esta reta interseta o gráfico num outro ponto C. Recorrendo à calculadora, determine um valor aproimado para a abcissa do ponto C (apresente o resultado arredondado às décimas). Eplique como procedeu (na sua eplicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que considerou para resolver esta questão). matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, ª chamada, Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: a base da pirâmide tem centro F e lado ; G é o ponto médio da aresta [BC]; designa a amplitude do ângulo FGE Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de, por A 74.. Calcule lim A obtido. _ 4cos 4 0, cos e interprete geometricamente o valor matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, 1ª chamada, Indique o valor de ln lim 0 sin (A) (B) 0 (C) 1 (D) matemática A 1º ano, eame 435, prova modelo, / 5

39 mata1 76. Considere a função h, de domínio, definida por 1 se 0 1 h se 0 sin se Utilizando métodos eclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes: Estude a função h quanto à continuidade no ponto O. (Deve indicar, justificando, se a função h é continua nesse ponto e, no caso de não ser, se se verifica a continuidade à esquerda, ou à direita, nesse mesmo ponto.) Considere a função j, de domínio \ 0, definida por j 1 3. Mostre que, no intervalo 1,1000, os gráficos de j e de h se intersetam em 1001 pontos Dos 1001 pontos referidos na alínea anterior, seja A o que tem menor abcissa positiva. Determine as coordenadas desse ponto (apresente os valores na forma de dízima, com aproimação às décimas). matemática A 1º ano, eame 435, prova modelo, Considere a função f, de domínio, definida por f Sabe-se que eiste lim f 3sin. ln e 4 e que o seu valor é um número inteiro. Recorrendo à sua calculadora, conjeture-o. Eplique como procedeu Será conclusivo, para a determinação do valor de lim f eclusivamente na utilização da calculadora? Justifique a sua resposta., um método que se basei matemática A 1º ano, eame 435, prova modelo, Considere a função h, definida em por h sin. Qual das seguintes equações pode definir uma reta tangente ao gráfico de h? (A) y (B) y (C) y 9 (D) y matemática A 1º ano, eame 435, ª fase, / 5

40 mata1 79. Considere a função f, definida em, definida por f cos Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que a função f tem, pelo menos um zero, no intervalo 0, Seja f ' a função derivada de f. Mostre que f ' 0,, e justifique que o zero de f, cuja eistência é garantida pelo enunciado da alínea anterior, é o único zero desta função Na figura abaio estão representadas: parte do gráfico da função f; parte de uma reta r, cuja inclinação é de 45º, que contém o ponto 3,0 interseta o gráfico da função f no ponto B. A e que Recorrendo à sua calculadora, determine a área do triângulo [AOB], onde O designa a origem do referencial. Apresente o resultado arredondado às unidades. Nota: sempre que, nos valores intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, uma casa decimal. matemática A 1º ano, eame 435, ª fase, Um satélite S tem uma órbita elíptica em torno da Terra, tal como se representa na figura. Tenha em atenção que os elementos nela desenhados não estão na mesma escala. Na elipse estão assinalados dois pontos: - o apogeu, que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra; - o perigeu, que é o ponto da órbita mais próimo do centro da Terra. 40 / 5

41 mata1 O ângulo, assinalado na figura, tem o seu vértice no centro da Terra; o seu lado origem passa no perigeu, o seu lado etremidade passa no satélite e a sua amplitude estão compreendida entre 0 e 360 graus. A distância d, em km, do satélite ao centro da Terra, é dada por Considere que a Terra é uma esfera de raio 6378 km. 780 d 1 0,07 cos Determine a amplitude do satélite (distância à superfície da Terra) quando este se encontra no apogeu. Apresente o resultado em km, arredondado às unidades Num certo instante, o satélite está na posição indicada na figura. A distância do satélite ao centro da Terra é, então, de 800 km. Determine o valor de, em graus, arredondado às unidades. matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, ª chamada, Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) lim sin 0 (B) lim sin (C) lim sin 1 (D) Não eiste lim sin matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, 1ª chamada, No ano civil de 000, em Lisboa, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr-do-sol, no dia de ordem n do ano, foi dado em horas, aproimadamente, por n 81 1,, 64sin fn 1,,3,...,366 f n 183 (o argumento da função seno está epresso em radianos). Por eemplo: no dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre f 34 10,3 horas. o nascer e o pôr-do-sol foi de 8.1. No dia 4 de Março, Dia Nacional do Estudante, o sol nasceu às seis e meia da manhã. Em que instante ocorreu o pôr-do-sol? Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Notas: Recorde que, no ano 000, o mês de fevereiro teve 9 dias; Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 41 / 5

42 mata1 8.. Em alguns dias do ano, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr-do-sol é superior a 14,7 horas. Recorrendo à sua calculadora, determine em quantos dias do ano é que isso acontece. Indique como procedeu. matemática A 1º ano, eame 435, 1ª fase, 1ª chamada, Seja [ABC] um triângulo isósceles em que BA BC. Seja a amplitude do ângulo ABC. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por BC sin 0, 83.. Considere agora um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio 1. Utilize o resultado da alínea anterior para mostrar que a área do polígono é dada por Determine e interprete o valor de lim A n. n n An sin n matemática A 1º ano, eame 435, prova modelo, Indique qual das epressões seguintes define uma função injetiva, de domínio. (A) cos (B) (C) 1 (D) 3 matemática A 1º ano, eame 135, ª fase, Na figura está representado um triângulo [ABC]. Tem-se que: designa a amplitude do ângulo BAC; a amplitude do ângulo BCA é igual ao dobro da amplitude do ângulo BAC; a altura BD é igual a 10. Seja g 75 5tan tan Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por g, para qualquer 0, 4. 4 / 5

43 mata Considere o triângulo [ABC] quando. 4 Classifique-o quanto aos ângulos e quanto aos lados e prove que a sua área ainda é dada por g. matemática A 1º ano, eame 135, ª fase, Na figura estão as representações gráficas de duas funções, f e g, de domínio 0,, definidas por: f sin g 1,, 3 ; 5 cos 6 ; P P P e P 4 são pontos de interseção dos gráficos de f e de g; a abcissa de P 1 é Mostre que são perpendiculares as retas tangentes aos gráficos de f e de g no ponto P Determine as coordenadas de P Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira. matemática A 1º ano, eame 135, 1ª fase, ª chamada, Considere a função : f, definida por Estude a função f quanto à continuidade. f sin 1 1 e se 0 se Mostre que f admite um único máimo no intervalo,0 e determine-o Seja r a reta de equação y 1. Mostre que eistem infinitos pontos de interseção da reta r com o gráfico de f. matemática A 1º ano, eame 135, 1ª fase, 1ª chamada, / 5

44 mata1 88. Para um certo número real k, é contínua a função m definida por m O valor de k é e k se sin (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) se 0 0 matemática A 1º ano, eame 135, ª fase, Na figura o triângulo [ABC] é isósceles AB BC ; [DEFG] é um retângulo: DG e DE 1 ; designa a amplitude do ângulo BAC Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada, em função de, por f 1 tan 0, tan Nota: pode ser-lhe útil reparar que 89.. Mostre que f ' BEF ˆ BAC ˆ. cos sin.cos ( f ' designa a derivada de f) Determine o valor de para o qual a área do triângulo [ABC] é minha. matemática A 1º ano, eame 135, ª fase, Considere a função f definida por f sin Indique qual das epressões seguintes define. f ', função derivada de f. (A).cos (B) cos (C).cos (D) cos matemática A 1º ano, eame 135, 1ª fase, ª chamada, / 5

45 mata1 91. A figura abaio representa um canteiro de forma circular com 5 m de raio. O canteiro tem uma zona retangular, que se destina à plantação de flores, e uma zona relvada, assinalada a sombreado na figura. Os vértices A, B, C e D do retângulo pertencem à circunferência que limita o canteiro. Na figura estão também assinalados: dois diâmetros da circunferência, [EG] e [HF], que contém os pontos médios dos lados do retângulo; o centro O da circunferência; o ângulo BOF, de amplitude 0, Mostre que a área (em m ) da zona relvada é dada, em função de, por 5 50sin g 91.. Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que eiste um valor de compreendido entre e para o qual a área da zona relvada é 30 m. 6 4 matemática A 1º ano, eame 135, 1ª fase, ª chamada, Duas povoações, A e B, distanciadas 8 km uma da outra, estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de água, localizada em F. Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas povoações, como se indica na figura abaio. A canalização é formada por três canos: um que vai da fonte F até um ponto P e dois que partem de P, um para A e outro para B. O ponto P está a igual distância de A e de B. Tem ainda que: o ponto M, ponto médio de [AB], dista 4 km de F; é uma amplitude de ângulo PAM 0, Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da canalização é dado por (Sugestão: comece por mostrar que g 8 4sin 4 cos 4 PA e que FP 4 tan ) cos 45 / 5

46 mata1 9.. Calcule 0 g e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e consequente comprimento Determine o valor de para o qual o comprimento total da canalização é mínimo. matemática A 1º ano, eame 135, 1ª fase, 1ª chamada, Um navio encontra-se atracado num porto. A distância h, de um dado ponto do casco do navio ao fundo do mar, varia com a maré. Admita que h é dada, em função do tempo, por h 10 3cos. A distância desse ponto do casco ao fundo do mar, no momento da maré-alta, é (A) 4 (B) 10 (C) 13 (D) 16 matemática A 1º ano, eame 135, ª fase, Na figura ao lado pode observar-se parte da representação gráfica da função f definida por cos.ln 1 f Os pontos P, Q, R e S são pontos de interseção do gráfico da função f com o eio das abcissas. A abcissa do ponto P é (A) 1 (B) 1 (C) 3 (D) matemática A 1º ano, eame 135, 1ª fase, ª chamada, Uma roda gigante de um parque de diversões tem doze cadeiras, numeradas de 1 a 1, com um lugar cada uma (ver figura abaio). Seis raparigas e seis rapazes vão andar na roda gigante e sorteiam entre si os lugares que vão ocupar. Depois de toda a gente estar sentada nas respetivas cadeiras, a roda gigante começa a girar. Um dos rapazes, O Manuel, ficou sentado na cadeira número 1. No instante em que a roda gigante começa a girar, a cadeira está na posição indicada na figura. 46 / 5