Prova Escrita de Matemática A

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1 EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Prova Escrita de Matemática A 1.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 139/01, de 5 de julho Prova 635/Época Especial 15 Páginas Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos. 014 Prova 635/E. Especial Página 1/ 15

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3 Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta, eceto nas respostas que impliquem construções, desenhos ou outras representações, que podem ser, primeiramente, elaborados a lápis, e, a seguir, passados a tinta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Deve riscar aquilo que pretende que não seja classificado. Para cada resposta, identifique o grupo e o item. Apresente as suas respostas de forma legível. Apresente apenas uma resposta para cada item. A prova inclui um formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. Prova 635/E. Especial Página 3/ 15

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5 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: ar^a- amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r- raioh Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: Diagonal maior # Diagonal menor Base maior+ Base menor # Altura Polígono regular: Semiperímetro # Apótema Sector circular: ar ^a - amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r- raioh Áreas de superfícies Área lateral de um cone: r rg^r - raioda base; g- geratrizh Área de uma superfície esférica: 4rr ] r - raiog Volumes Pirâmide: 1 # Áreadabase # Altura 3 Cone: 1 # Áreadabase # Altura Esfera: rr ] r- raiog 3 Trigonometria sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= 1 - tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, n- 1+ e n! Ng n n n f Probabilidades n = p 1 1+ f + p n n v = p ] - ng + f + p ^ - nh ^tg uhl = 1 1 ^ u e hl = ul e ul cos u ^ u a hl u = ul a ln a ^a! R ^ln uhl = ul u log u au l l ^ h = uln a n n Se X é N] nv, g, então: P] n- v 1 X 1 n+ vg. 0, 687 P] n- v 1 X 1 n+ vg , P] n- 3v 1 X 1 n+ 3vg , Regras de derivação ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl= uv l + uvl u l uv l = - uvl ` j v v ^ n n 1 u hl = nu - ul ^n! Rh ^senuhl = ul cos u ^cosuhl = - ul sen u Limites notáveis limb1 + 1 l = e n u lim sen = 1 " 0 lim " 0 lim ln ^ + 1h = 1 " 0 lim " + 3 lim " + 3 e - 1 = 1 ln = 0 e p n =+ 3 + ^a! R + ^n! Nh ^ p! Rh " 1, h " 1, h Prova 635/E. Especial Página 5/ 15

6 GRUPO I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. 1. Considere todos os números ímpares com cinco algarismos. Quantos desses números têm quatro algarismos pares e são superiores a 0 000? (A) 5 4 (B) 5 5 (C) # (D) #. Considere a linha do triângulo de Pascal em que a soma dos dois primeiros elementos com os dois últimos elementos é igual a 0 Escolhendo, ao acaso, um elemento dessa linha, qual é a probabilidade de ele ser par? (A) (B) (C) (D) Seja f a função, de domínio R " 0,, definida por f^h Considere a sucessão de números reais Qual é o valor de lim f ^ n h? (A) -3 (B) 0 (C) 1 (D) + 3 n ^ h tal que n = = 1 e 1 1 n Prova 635/E. Especial Página 6/ 15

7 4. Na Figura 1, estão representadas, num referencial o.n. Oy, a circunferência de centro O e a reta r y r O B a A C Figura 1 Sabe-se que: os pontos A e B pertencem à circunferência; o ponto B tem coordenadas ^01, h a reta r é tangente à circunferência no ponto B o ponto C é o ponto de intersecção da reta r com a semirreta OA o a é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB, com a! 0, r E ; Qual das epressões seguintes representa, em função de a, a área da região a sombreado? (A) (B) (C) (D) sen a- a tg a- a tg a a Prova 635/E. Especial Página 7/ 15

8 5. Seja f uma função de 6 Sabe-se que o gráfico da função f tem eatamente dois pontos de infleão. Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função f ll, segunda derivada da função f? (A) (B) y y 5 O 5 5 O 5 (C) (D) y y 5 O 5 5 O 5 6. Seja f uma função de domínio R + A reta de equação y Qual é o valor de lim 6 1 " + 3 f ^ h? = 5 é assíntota do gráfico da função f (A) 0 (B) (C) 3 (D) + 3 Prova 635/E. Especial Página 8/ 15

9 7. Considere, num referencial o.n. Oyz, o ponto A, de coordenadas ^03,, h, e o plano a, definido por y z = 3 Seja r a reta perpendicular ao plano a que passa pelo ponto A Qual das condições seguintes pode definir a reta r? (A) + = z+ 1 / y = 0 (B) + 5= y+ 3= z + 3 (C) 1 = z+ 3 / (D) = y = z 3 y = 1 8. Na Figura, estão representadas, no plano compleo, as imagens geométricas de cinco números compleos: w, z1, z, z3 e z4 Im (z) z 1 z O Re (z) z 3 w z 4 Figura Qual é o número compleo que pode ser igual a - iw? (A) z 1 (B) z (C) z 3 (D) z 4 Prova 635/E. Especial Página 9/ 15

10 GRUPO II Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato. 1. Seja C o conjunto dos números compleos. Resolva os dois itens seguintes sem utilizar a calculadora Considere z 1 i i 1 1 = e z = cis c r m i 4 Averigue se a imagem geométrica do compleo ^z1h 4 # z pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. 1.. Considere o número compleo w sen a i cos = ^ h + a, com a! E0, r ; Escreva w na forma trigonométrica.. De uma turma de 1.º ano, sabe-se que: 60% dos alunos são rapazes; 80% dos alunos estão inscritos no desporto escolar; 0% dos rapazes não estão inscritos no desporto escolar..1. Determine a probabilidade de um aluno dessa turma, escolhido ao acaso, ser rapariga, sabendo que está inscrito no desporto escolar. Apresente o resultado na forma de fração irredutível... Considere agora que essa turma de 1.º ano tem 5 alunos. Pretende-se escolher, ao acaso, três alunos dessa turma para a representarem num evento do desporto escolar. Determine a probabilidade de serem escolhidos, pelo menos, dois alunos que estão inscritos no desporto escolar. Apresente o resultado com arredondamento às centésimas. Prova 635/E. Especial Página 10/ 15

11 3. Seja W, conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa eperiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A Ì W e B Ì W). Sabe-se que: A e A são acontecimentos equiprováveis; A e B são acontecimentos independentes. Mostre que P^A, Bh= 1+ P^Bh 4. Na Figura 3, está representada, num referencial o.n. Oyz, a pirâmide [ ABCOD] z D C B A O y Figura 3 Sabe-se que: o ponto A pertence ao semieio positivo O os pontos A e B têm igual abcissa; o ponto B pertence ao plano Oy e tem ordenada -3 o ponto C pertence ao semieio negativo Oy o ponto D pertence ao semieio positivo Oz a reta AD é definida por 3 = z / y = CD = 41 Determine as coordenadas de um vetor normal ao plano que contém a face [BCD], recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Prova 635/E. Especial Página 11/ 15

12 5. Considere, para um certo número real k, a função f, de e6, definida por Z e se # ] f ^h = [ sen^ h ] + k se 1 1 e \ + 6 Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora Determine k, de modo que a função f seja contínua em = 5.. Estude a função f quanto à eistência de assíntota horizontal do seu gráfico e, caso eista, indique uma equação dessa assíntota. 6. Considere a função g, de domínio R +, definida por g^h = 1 + ln 6.1. Estude a função g quanto à monotonia e quanto à eistência de etremos relativos, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) de monotonia e, caso eistam, os valores de para os quais a função g tem etremos relativos. 6.. Considere, num referencial o.n. Oy, a representação gráfica da função g, os pontos A e B, e a reta r de equação y = m, com m 1 0 Sabe-se que: os pontos A e B pertencem ao gráfico da função g a abcissa do ponto A é o zero da função g o ponto B é o ponto de intersecção da reta r com o gráfico da função g a área do triângulo [OAB ] é igual a 1 Determine a abcissa do ponto B, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizados, devidamente identificados; indicar a abcissa do ponto A e a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas. Prova 635/E. Especial Página 1/ 15

13 7. Considere uma função f, de domínio R Sabe-se que: a reta de equação = 0 é assíntota do gráfico da função f f ^-3h# f^5h 1 0 lim h " 0 f^+ hh f^h eiste e é positivo, para qualquer número real não nulo; h lim ` f^h j = 0 " 3 Considere as afirmações seguintes. III) O teorema de Bolzano permite garantir, no intervalo 6-3, 5@, a eistência de, pelo menos, um zero da função f III) O gráfico da função f admite uma assíntota horizontal quando tende para -3 III) A função f é crescente 0, + 36 Elabore uma composição, na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. Na sua resposta, apresente três razões diferentes, uma para cada afirmação. FIM Prova 635/E. Especial Página 13/ 15

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15 COTAÇÕES GRUPO I 1. a 8... (8 5 pontos) pontos 40 pontos GRUPO II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 160 pontos TOTAL pontos Prova 635/E. Especial Página 15/ 15