Prova Escrita de Matemática A

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1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei n.º 39/0, de 5 de julho Prova Escrita de Matemática A.º Ano de Escolaridade Prova 635/Época Especial 5 Páginas Duração da Prova: 50 minutos. Tolerância: 30 minutos. 03 Prova 635/E. Especial Página / 5

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3 Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta, eceto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, de desenhos ou de outras representações, que podem ser, primeiramente, elaborados a lápis, sendo, a seguir, passados a tinta. Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que for necessário. Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve riscar de forma inequívoca aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva de forma legível a numeração dos grupos e dos itens, bem como as respetivas respostas. As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar. Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. Não apresente cálculos, nem justificações. A prova inclui, na página 5, um Formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. Prova 635/E. Especial Página 3/ 5

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5 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: ar^a-amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r-raioh Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: Diagonal maior # Diagonal menor Base maior+ Basemenor # Altura Polígono regular: Semiperímetro # Apótema Sector circular: ar ^a -amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r-raioh Áreas de superfícies Área lateral de um cone: r rg^r -raioda base; g-geratrizh Área de uma superfície esférica: 4rr ] r - raiog Volumes Pirâmide: # Áreada base # Altura 3 Cone: # Áreada base # Altura Esfera: rr ] r- raiog 3 Trigonometria sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= - tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, n- + e n! Ng n n n f Probabilidades n = p + f + p n n v = p ] - ng + f + p ^ - nh ^ u e hl = ul e ^ u a hl u = ul a ln a ^a! R ^ln uhl ul = u log u u a l l ^ h = uln a n n Se X é N] nv, g, então: P] n- v X n+ vg. 0, 687 P] n- v X n+ vg , P] n- 3v X n+ 3vg , Regras de derivação ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl = uv l + uvl u l uv l = - uvl ` v j v ^ n n u hl nu - = ul ^n! Rh ^senuhl = ul cos u ^cos uhl =-ul sen u ^tg uhl = ul cos u Limites notáveis limb + l = e n u lim sen = " 0 lim " 0 lim ln ^ + h = " 0 lim " + 3 lim " + 3 e - = ln = 0 e p n =+ 3 + ^a! R + ^n! Nh ^p! Rh ", h ", h Prova 635/E. Especial Página 5/ 5

6 GRUPO I Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a única opção correta. Escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. Não apresente cálculos, nem justificações.. Seja W o espaço de resultados associado a uma certa eperiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos (A Ì W e B Ì W) Sabe-se que: PA ( ) = 03, PA ^ + Bh= 055, A e B são acontecimentos incompatíveis. Qual é o valor de PA ^ + Bh? (A) 0,85 (B) 0,5 (C) 0,5 (D) 0. As classificações obtidas pelos alunos de uma escola num teste de Português seguem, aproimadamente, uma distribuição normal, de valor médio,5 valores. Vai ser escolhido, ao acaso, um desses testes. Considere os acontecimentos seguintes. I: «a classificação do teste é superior a valores» J: «a classificação do teste é superior a 6,5 valores» K: «a classificação do teste é inferior a 9 valores» Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) PJ () < PK ( ) < PI () (B) PK ( ) < PI () < PJ () (C) PI () < PK ( ) < PJ () (D) PK ( ) < PJ () < PI () Prova 635/E. Especial Página 6/ 5

7 3. Numa turma com 5 raparigas e 7 rapazes, vai ser formada uma comissão com 5 elementos. Pretende-se que essa comissão seja mista e que tenha mais raparigas do que rapazes. Quantas comissões diferentes se podem formar? (A) 5A A 4 (B) 5C 7C C 4 7 (C) 5C 7C 5 3 C 4 7 (D) C 9 3 C 4. Seja f uma função cuja derivada, f l, de domínio R, é dada por fl^h = ^4 + h Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) O gráfico da função f tem a concavidade voltada para cima em R (B) A função f tem um máimo relativo em = -4 (C) O gráfico da função f não tem pontos de infleão. (D) O gráfico da função f tem um ponto de infleão de coordenadas `-4, f ^-4hj Prova 635/E. Especial Página 7/ 5

8 5. Seja f uma função de domínio R Sabe-se que: lim f() = " + 3 lim 6 f() = "-3 Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f? (A) y (B) y O 4 O 4 (C) y (D) y O 4 4 O Nota Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, assíntotas desse gráfico. Prova 635/E. Especial Página 8/ 5

9 6. Seja a um número real positivo. Considere o conjunto S R: ln e = $! ^ ah# 0. Qual dos conjuntos seguintes é o conjunto S? ln^ + ah, ln a6 (B) 6 ln^ + ah, ln a6 3, ln^+ ah@ (D) 6 ln^ + ah, Em C, conjunto dos números compleos, considere w = ^ + ih 03 A qual dos conjuntos seguintes pertence w? (A) " z! C : z > z, (B) " z! C : z #, (C) $ z! C : z = z. (D) " z! C :Re^zh= Im^zh, Prova 635/E. Especial Página 9/ 5

10 8. Na Figura, estão representadas, no plano compleo, as imagens geométricas dos números compleos: z, z, z, z 3 e z 4 Im(z) z z O Re(z) z 4 z 3 z Figura Sabe-se que w é um número compleo tal que z = i w Qual é o número compleo que pode ser igual a w? (A) z 4 (B) z 3 (C) z (D) z Prova 635/E. Especial Página 0/ 5

11 GRUPO II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato.. Em, conjunto dos números compleos, considere z 3i = + e z = + icis 5r c m 6 cis r c m.. Seja z = cisi, com i pertencente a 60r, 6 Determine i de modo que z z seja um número real negativo, sem utilizar a calculadora... As imagens geométricas de z e do seu conjugado, z, são vértices consecutivos de um polígono regular. Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de índice n de um certo número compleo w Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora. Comece por calcular n. Uma empresa produz apenas dois tipos de lâmpadas: lâmpadas fluorescentes e lâmpadas LED (Díodos Emissores de Luz). As lâmpadas de cada tipo podem ter a forma tubular ou ser compactas. Sabe-se que: 55% das lâmpadas produzidas nessa empresa são fluorescentes; das lâmpadas fluorescentes produzidas nessa empresa, 50% têm a forma tubular; das lâmpadas LED produzidas nessa empresa, 90% são compactas. Determine a probabilidade de, ao escolher, ao acaso, uma lâmpada produzida nessa empresa, ela ser fluorescente, sabendo que tem a forma tubular. Apresente o resultado com arredondamento às centésimas. Prova 635/E. Especial Página / 5

12 3. Num saco estão doze bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de a. 3.. O João retira três bolas do saco, ao acaso, de uma só vez. Seja X a variável aleatória «número de bolas retiradas com um número múltiplo de 5». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X Apresente as probabilidades na forma de fração. 3.. Considere agora o saco com a sua constituição inicial. O João retira, ao acaso, uma bola do saco, regista o número da bola retirada e repõe essa bola no saco. Em seguida, retira, ao acaso, uma segunda bola do saco, regista o número da bola retirada e repõe essa bola no saco, e assim sucessivamente, até registar uma série de 8 números. Considere a afirmação seguinte: «A probabilidade de o João registar eatamente 5 números que sejam múltiplos de 3 é dada 5 3 por 8 c m c m C 3 3 5, aplicando o modelo binomial.» Elabore uma composição na qual: apresente um raciocínio que justifique a veracidade da afirmação; refira as condições de aplicabilidade do modelo binomial. 4. Considere a função f, de 0, r6, definida por f^h = ln + cos Sabe-se que: A é um ponto do gráfico de f a reta tangente ao gráfico de f, no ponto A, tem inclinação r radianos. 4 Determine a abcissa do ponto A, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a abcissa do ponto A com arredondamento às centésimas. Prova 635/E. Especial Página / 5

13 5. Considere, para um certo número real k positivo, a função f, de domínio R, definida por Z ] 3 e ] ] f ^h = [ ln k ] ] ln 6 ] c m + \ se < 0 se = 0 se > 0 Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 5.. Determine k de modo que lim f^h = f ^0h " Mostre que ln e e o é um etremo relativo da função f no 0, Considere duas funções g e h, de domínio R + Sabe-se que: a reta de equação y = - é assíntota do gráfico da função g ; g`je a função h é definida por h ^ h = Mostre que o gráfico da função h tem uma assíntota horizontal. Prova 635/E. Especial Página 3/ 5

14 7. Na Figura, estão representados a circunferência de centro no ponto C e de raio, a semirreta CB o, a reta AD e o triângulo [ACE ] E B D C A Figura Sabe-se que: os pontos A e B pertencem à circunferência; os pontos D e E pertencem à semirreta CB o a reta AD é perpendicular à semirreta CB o o ponto A desloca-se sobre a circunferência, e os pontos D e E acompanham esse movimento de modo que 6 DE = é a amplitude, em radianos, do ângulo ACB! 0, r E ; 7.. Mostre que a área do triângulo [ACE ] é dada, em função de, por f^h= 3sen + sen^h Mostre, sem resolver a equação, que f^h = tem, pelo menos, uma solução em r, r E 6 4 ; FIM Prova 635/E. Especial Página 4/ 5

15 COTAÇÕES GRUPO I. a 8....(8 5 pontos) pontos 40 pontos. GRUPO II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 60 pontos TOTAL pontos Prova 635/E. Especial Página 5/ 5