Escola Secundária da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo de 2003/04 Trigonometria 1 (Revisões) 12.º Ano

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1 Escola Secundária da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática no Lectivo de 00/04 Trigonometria 1 (Revisões) 1º no Nome: Nº: Turma: 1 Um cone, cuja base tem raio r e cuja geratriz tem comprimento l, roda sobre uma superfície horizontal e plana α é ângulo do cone a) Descreva o que acontece com o cone b) Sabendo que o cone retorna ao ponto de partida, depois de ter efectuado duas revoluções completas em torno do seu eio de simetria, qual é a amplitude do ângulo do cone? Pretende-se saber o ângulo que a aresta lateral de um tetraedro regular faz com o plano da base Para isso, considerou-se a secção produzida nesse tetraedro pelo plano MV, onde M é o ponto médio da aresta [] V Determine a amplitude do ângulo considerado (com aproimação à décima de grau), sabendo que a aresta do tetraedro tem centímetros de comprimento Mostre que: β a) cos ( ) 4 tg ( ) + sen ( ) cos ( ) = M sen b) 1 cos + = 1, para os valores em que a epressão tem significado tg 1 4 Simplifique a epressão: sen ( ) cos (7 + ) tg ( ) sen ( + ) 4 Sabendo que sen ( + ) = e que 7,, determine o valor eacto de tg ( ) + cos ( ) Determine, recorrendo a intervalos de números reais, os valores de k para os quais: tg = k, 4 1

2 7 Um ponto desloca-se sobre uma semicircunferência de diâmetro [] e centro O onsidere que o comprimento do segmento [], em função da amplitude do ângulo O, é dado por d() d ( ) = sen, [ 0, ] a) Indique o valor de para o qual d ( ) = Justifique que a semicircunferência tem raio 1 b) Justifique que, quando ] 0, [, o triângulo [] é rectângulo em Mostre que = cos Nota: Recorde que a amplitude de um ângulo inscrito numa circunferência é metade da amplitude do arco compreendido entre os lados desse ângulo c) Verifique que a área do triângulo [] é dada por ( ) = sen Justificando, indique o valor de para o qual é máima a área do triângulo Nota: Tenha em consideração a relação seguinte: sen ( α ) = sen α cos α O d) Mostre que o perímetro do triângulo [] é dado por P ( ) = (1 + sen + cos ) Utilizando as potencialidades da calculadora gráfica, determine o valor de para o qual é máimo o perímetro do triângulo, assim como o valor desse perímetro (aproimação às centésimas) (Note que ] 0, [) Ilustre a resolução com um ou mais gráficos e descreva os procedimentos que efectuou onsidere agora que ] 0º, 180º [ sua suposição Repita a questão colocada no parágrafo anterior e, se for o caso, indique a 8 Na figura está representado a sombreado um polígono [EG] Tem-se que: G F [FG] é um quadrado de lado FD é um arco de circunferência de centro em ; o ponto E move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto desloca-se sobre o segmento [D], de tal forma que se tem sempre [E] [D] designa a amplitude, em radianos, do ângulo E ( 0, ) E D a) Mostre que a área do polígono [EG] é dada em função de, por: ( ) = (1 + sen + cos ) Sugestão: Pode ser-lhe útil considerar o trapézio [EG] (note que este trapézio não é o polígono sombreado) b) Determine (0) e ( ) Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos c) O valor de que corresponde à área máima do polígono [EG] é uma solução da equação: cos sen = 0 Determine esse valor de e encontre o valor máimo da área d) Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Quais são os valores de para os quais a área do polígono [EG] é 4,? presente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos presente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às décimas

3 1 9 Sabendo que sen ( + α ) = α,, calcule tg ( α ) sen ( α ) + cos ( α ) 10 Resolva as condições seguintes: sen ; a) < ], [ b) tg ( ) = 11 Na figura está representado um lago artificial de forma rectangular, com 0 metros de largura e 0 metros de comprimento Q P Pretende-se construir uma ponte, ligando duas margens do lago, entre os pontos P 1 e P, (P 1 [] e P []), tal como a figura ilustra ponte tem um ponto de apoio Q, situado a 8 m de uma das margens e a m da outra 0 m Q 1 P 1 m 8 m Q Seja a amplitude do ângulo P P 1 (em radianos) a) Mostre que o comprimento da ponte, em metros, é dado por 0 m D c( ) = 8sen + cos sen cos b) onsiderando que a localização de P 1 e de P pode variar, determine o comprimento da ponte para o qual se tem P 1 = P presente o resultado em metros, arredondado às décimas c) Determine entre que valores pode variar a amplitude do ângulo P P 1 presente o resultado em radianos, com arredondamento às centésimas d) Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Quais são os valores de para os quais o comprimento da ponte é metros? presente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos presente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às centésimas 1 Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular Sabe-se que: base da pirâmide tem centro F de lado G é o ponto médio da aresta [] designa a amplitude do ângulo FGE a) Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de, por 4 cos + 4 ( ) =, cos 0, b) Determine o valor de para o qual a área total da pirâmide é igual a 1 c) Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução do problema da alínea anterior presente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos presente o valor pedido na forma de dízima, arredondados às centésimas

4 1 Na figura está representada a Terra e uma nave espacial N onsidere que a Terra é uma esfera de centro e raio r área da superfície da terra visível da nave, representada a sombreado na figura, é dada, em função do ângulo θ, por f ( θ ) = r (1 sen θ ) ( θ 0, ) a) Determine o valor de θ para o qual é visível, da nave, a quarta parte da superfície terrestre b) Designado por h a distância da nave à Terra (ver figura), mostre que a área da terra visível da nave é dada, em r h função de h, por g( h) = r + h Sugestão: Tenha em conta que o ângulo N é recto r h r c) omo facilmente reconhecerá, g( h) = = r + h r + 1 h Diga para que valor tende g (h) quando h + e interprete esse resultado no conteto da situação descrita 14 onsidere uma circunferência de centro e raio 1, tangente a uma recta r Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura Inicialmente, o ponto P encontra-se a unidade da recta r Seja d (α ) a distância de P a r, após uma rotação de amplitude α Qual das igualdades seguintes é verdadeira? d ( α ) = 1+ cosα [] d ( α ) = + senα d ( α ) = 1 cosα [D] d( α ) = senα 1 O ângulo generalizado do º quadrante cujo seno é igual a cos pode ser definido por: 10 º + k0º, k Z [] 1 º + k0º, K Z 14 º + k0º, k Z [D] 10 º + k0º, k Z 1 Um radiano é: a amplitude de um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao diâmetro dessa circunferência [] a amplitude do ângulo ao centro a que corresponde um arco de comprimento igual ao diâmetro da circunferência a que pertence a amplitude do ângulo ao centro a que corresponde um arco de comprimento igual ao raio da circunferência a que pertence [D] o comprimento de um arco de circunferência a que corresponde um ângulo ao centro de cerca de 7º 17 No referencial ortonormado da figura, considere o círculo trigonométrico, a recta de equação = 1 e o ângulo α O ponto P é a intersecção do lado etremidade de α com a recta vertical considerada Qual das seguintes afirmações é verdadeira? cosα = [] cosα = cos α = [D] cos α = 4

5 18 De um ângulo β, sabe-se que tg ( 4 + β ) > 0 e que cos ( β ) < 0 que quadrante pertence β? 1º quadrante [] º quadrante º quadrante [D] 4º quadrante 19 Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro O e raio 1 Os pontos e são etremos de um diâmetro da circunferência onsidere que um ponto P, partindo de, se desloca sobre o arco, terminando o seu percurso em Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do ângulo OP 0,, faz corresponder o valor do produto Seja f a função que, a cada valor de [ ] escalar O OP Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função f? [] [D] 0 Na figura estão representados, em referencial o n Oy : um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1 uma semi-recta paralela ao eio Oy, com origem no ponto ( 1, 0) um ponto pertencente a esta semi-recta um ângulo de amplitude α, cujo lado origem é o semieio positivo O e cujo lado etremidade é a semi-recta O & Qual das epressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de α? + [] tgα tgα + [D] tgα tgα + 1 Na figura junta está representado o círculo trigonométrico e um rectângulo [D] O lado [D] está contido no eio das abcissas Os vértices e pertencem à circunferência Seja α a amplitude do ângulo O área do rectângulo [D] é igual a sen α cos α [] sen α tg α sen α [D] tg α Um navio encontra-se atracado num porto distância h, de um dado ponto do casco do navio ao fundo do mar, varia com a maré dmita que h é dada, em função do tempo, por h( ) = 10 cos () distância desse ponto do casco ao fundo do mar, no momento da maré-alta, é: 4 [] 10 1 [D] 1

6 O ângulo de º merece atenção especial, por razões históricas, pois é o ângulo compreendido por dois raios da Terra, um terminando no Equador e outro terminando no paralelo das anárias ristóvão olombo necessitou de calcular a razão entre os perímetros desse paralelo e do Equador, que é aproimadamente (supondo a Terra esférica): N Raio do Paralelo das anárias 0,9 [] 0,9 0,7 [D] 0,9 Paralelo das anárias º E Equador Raio da Terra Pode encontrar mais eercícios de revisão, a partir desta ligação: SOLUÇÕES 1 1 b) α = 0º b) = β = cos 1 ( ) 4,7 º c) = 1, 0 (que é o valor de aproimado às centésimas) ( ], ] [, + [) k 1 a) c) θ = g( h) r 8 b) ( 0) = 4 e ( ) = 4 c) = ; má = + 4 d) = 0, ou = 1, D 1 17 D a) ] [, b) = + k, k Z b) proimadamente 19,8 m c) 0,4 1,, aproimadamente O Professor d) = 1, 1