Exercícios sobre Trigonometria

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1 Universidade Federal Fluminense Campus do Valonguinho Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada - GMA Prof Saponga uff Rua Mário Santos Braga s/n Niterói, RJ Tels: ( Eercícios sobre Trigonometria 0.. Use um triângulo equilátero e mostre que: onde os ângulos são dados em radianos. cos(π/6 = / sin(π/6 = / tan(π/6 = / cos(π/ = / sin(π/ = / tan(π/ =. Seja θ [ 0, π ] dado em radianos. Faça uma figura, no círculo trigonométrico, que mostre, de forma clara, os ângulos : θ ; θ ; θ + π ; θ π ; π θ ; θ + π/ ; θ π/ ; π/ θ.. Calcule cos θ, sin θ, tan θ, cot θ, sec θ, cossec θ para os seguintes valores de θ, dado em radianos : π/6, π π/6, π + π/6, π/6 + π/, π/6 π/, π/, π π/, π + π/, π/ + π/, π/ π/. É proibido usar a fórmula do seno e do cosseno para a soma e para a diferença de dois ângulo. Use a representação gráfica dos ângulos. 4. Sabendo que cos θ = /, determine, os possíveis valores para: sin θ, sin(θ + π, sin(θ + π/, sin(θ π/, cos(θ + π, cos(θ π/, cos(θ + π/. É proibido usar a fórmula do seno e do cosseno para a soma e para a diferença de dois ângulo. Use a representação gráfica dos ângulos.. Seja θ [ 0, π/ ] dado em radianos. Faça uma figura, no círculo trigonométrico, que mostre, de forma clara, a relação entre: (a cos θ e cos( θ ; sin θ e sin( θ ; tan θ e tan( θ (b cos θ e cos(θ + π ; sin θ e sin(θ + π ; tan θ e tan(θ + π (c cos θ e cos(π θ ; sin θ e sin(π θ ; tan θ e tan(π θ (d cos θ e cos { (π/ θ } ; sin θ e sin { (π/ θ } ; tan θ e tan { (π/ θ } A relação que você encontrou vale apenas para ângulos do intervalo [ 0, π/ ] ou vale para qualquer ângulo (com ecessão daqueles onde a tangente não está bem definida? 6. Repita o eercício anterior para cotangente, secante e cossecante. 7. Sem usar a fórmula do seno e do cosseno da soma e da diferença, faça uma figura, no círculo trigonométrico, que mostre, de forma clara, a relação entre: (a cos { (π/ + θ } e cos { (π/ θ } ; sin { (π/ + θ } e sin { (π/ θ } ; tan { (π/ + θ } e tan { (π/ θ } (b cos(π + θ e cos(π θ ; sin(π + θ e sin(π θ ; tan(π θ e tan(π θ (c cos { (π/ + θ } e cos { (π/ θ } ; sin { (π/ + θ } e sin { (π/ θ } ; tan { (π/ + θ } e tan { (π/ θ } 8. Considere as aplicações f( = cos, g( = sin vistas como aplicações da reta na reta e onde a variável é dada em radianos. (a Mostre que o gráfico de f é simétrico em relação ao eio definido pela reta de equação cartesiana = π, isto é, prove que f(π + = f(π, para todo R;

2 Números Compleos (b Mostre que o gráfico de g não tem essa propriedade ; (c Mostre que o gráfico de g é simétrico em relação ao eio definido pela reta de equação cartesiana = π/ ; (d Mostre que o gráfico de f não tem essa propriedade ; (e O que se pode dizer da tangente, cotangente, secante e cossecante? simetrias acima consideradas? Seus gráficos têm ou não têm as 9. Calcule seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante para os ângulos abaio, dados em radianos, a menos que não estejam definidos. 8π/ rd 9π/4 rd 80π/6 rd 9π/4 rd 80π/6 rd 9π/4 rd 6π/ rd 9π/4 rd 0. Calcule as funções trigonométricas para os ângulos dados acima, caso elas estejam bem definidas. Os ângulos a seguir são dados em graus, transforme-os em ângulos dados em radianos. 60 o 00 o 94 o 60 o 94 o 060 o. Para cada ângulo dado acima, determine um ângulo, dado em graus, que tenha o mesmo seno e o mesmo cosseno e que seja maior ou igual a zero, e inferior a 60 o.. Sabendo que tan θ = / e que theta é um ângulo do segundo quadrante, determine o valor de : (a sec θ (b sin θ (c cot( θ. 4. Determine os valores de R para os quais as identidades a seguir são verdadeiras: (a tan sin + tan = sec (b tan + tan = sin cos (c sin sin cos = sin cos (d + sin + + sin cos = sec cos (e sin cos + sin = tan (f sin4 cos 4 sin cos =.. Determine os valores de R para os quais a identidade tan ( + cot = 6. Determine os valores de θ R para os quais a identidade 7. Determine os valores de t R para os quais a identidade 8. Calcule cos( o e sin(7 o usando as identidades trigonométricas sin é verdadeira. tan θ cot θ = sec θ csc θ é verdadeira. sin θ cos θ cos t sin t = + sin t é verdadeira. cos t cos( + β = cos cos β sin sin β ; sin( + β = sin cos β + sin β cos. 9. Use o eercício anterior, onde se calculou o seno e o cosseno de π/ radianos, para calcular o seno e o cosseno de π/4 radianos. 0. Um ângulo θ o [π/, π] satisfaz a equação sin θ sin θ + = 0. Determine θ o e cos θ o. Solução. Como θ o satisfaz a equação sin θ sin θ + = 0, segue que sin θ o é raiz do polinômio z z +. Tendo em vista que z z + = ( ( / nós concluimos que sin θ o = ou sin θ o = /. Como sin θ o [, ], concluimos que sin θ o = /. Relembrando que θ o [π/, π] nós obtemos θ o = π π 6 = π 6. Novamente, como θ o [π/, π] segue que cos θ 0 = / e o problema está resolvido.

3 Números Compleos. Mostre que sin( = sin 4 sin, R. Solução. Temos que sin( = sin( + = sin( cos + sin cos( = sin cos + sin (cos sin = sin cos + sin cos sin = sin cos sin, R.. Determine as soluções da inequação sin θ sin θ + < 0 no intervalo [0, π] dado em radianos. Solução. Como θ satisfaz a inequação sin θ sin θ + < 0, segue que sin θ satisfaz a inequação z z + < 0. Por outro lado, temos que z z + = ( ( /. Agora, observamos que sin θ é sempre negativo. Logo a inequação só estará satisfeita para sin θ > /. Como θ [0, π] concluimos que π 6 < θ < π π 6 = π 6. π/6 π/6. Mostre que cos( = 4 cos cos, R. Solução. Temos que cos( = cos( + = cos( cos sin sin( = (cos sin cos sin cos sin = cos sin cos sin cos = cos sin cos = cos ( cos cos = cos cos + cos = 4 cos cos, R. 4. Determine as soluções da inequação sin 4 θ sin θ + 6 cos θ + 0 sin θ > 4, no intervalo [0, π], sabendo que o polinômio tem a seguinte decomposição = ( + ( (. ( Solução. Temos que tendo em vista a decomposição do polinômio (*. sin 4 θ sin θ + 6 cos θ + 0 sin θ > 4 sin 4 θ sin θ + 6( sin θ + 0 sin θ > 4 sin 4 θ sin θ 6 sin θ + 0 sin θ 8 > 0 (sin θ + (sin θ ( sin θ > 0, Como sin θ + > 0 e (sin θ > 0 resulta que a inequação só estará satisfeita quando sin θ > 0, isto é, sin θ > /. Como as soluções que procuramos estão restritas ao intervalo [0, π], segue que θ é solução da inequação em estudo quando π 6 < θ < π π 6 = π 6.

4 Números Compleos 4. Determine as soluções da inequação sin 4 sin + 6 cos + 0 sin < 4 no intervalo [0, π] sabendo que o polinômio tem a seguinte decomposição = ( + ( (. Solução. Temos que tendo em vista a decomposição do polinômio (*. sin 4 θ sin θ + 6 cos θ + 0 sin θ < 4 sin 4 θ sin θ + 6( sin θ + 0 sin θ < 4 sin 4 θ sin θ 6 sin θ + 0 sin θ 8 < 0 (sin θ + (sin θ ( sin θ < 0, Como sin θ + > 0 e (sin θ > 0 resulta que a inequação só estará satisfeita quando sin θ < 0, isto é, sin θ < /. Como as soluções que procuramos estão restritas ao intervalo [0, π], segue que θ é solução da inequação em estudo quando 0 θ < π 6 ou π π 6 = π 6 < θ π isto é, θ [0, π/6 (π/6, π]. 6. Resolva as equações e determine quantos pontos essas soluções definem na circunferência trigonométrica. Marque esses pontos na circunferência trigonométrica. (a cos 6 = cos 4 ; (b sin( π = 7. Resolva: (a cos, R (b < sin <, [0, π] ( π 8. Considere a equação cos =. (a Determine todas as suas soluções ; (b Determine as soluções no intervalo [ π, π]. 9. Responda às questões a seguir: ( π ( π (a cos + sin =? 4 4 (b cos(7 o < cos(4 o? (c Eiste algum ângulo positivo cuja cosseno vale? 0. Considere a equação e a inequação dadas a seguir: ( sin = cos ; 8 sin + cos 9 (. (a Determine todas as soluções de ( e eplicite aquelas que estão no intervalo [ π, π ] ; (b Resolva ( usando as identidades trigonométricas cos = + cos( e sin = cos(. (

5 Números Compleos Solução: Passemos a solução da equação (. (a Para resolver a equação ( elevamos ambos os membros ao quadrado e obtemos a seguinte equação: sin = cos. ( Resolvendo-a, obtemos: sin = cos sin = ( sin sin = sin 4 sin = sin = /4 sin = ± /. Por outro lado, temos que (ai sin = / + kπ = ou β + kπ onde ; sin = / π + kπ = ou π + kπ onde. (aii sin = / γ + kπ = ou δ + kπ onde ; sin = / π + kπ = ou π + kπ onde. γ = π/ δ = π/ γ δ / Portanto, o conjunto solução da equação ( será: { ± π } { + kπ ; ± π } + pπ ; p Z. Agora, precisamos saber quais dessas soluções são soluções de ( pois para passar da equação ( para a equação ( elevamos ambos os membros de ( ao quadrado, o que pode ter introduzido soluções estranhas a equação (. Note que os ângulos da forma π + kπ tem seno positivo e cosseno negativo logo, não podem ser soluções de (. Por sua vez os ângulos da forma π + kπ também não podem ser soluções dessa equação pois possuem um seno negativo e um cosseno positivo. Os outros ângulos, soluções de (, possuem senos e cossenos com o mesmo sinal e portanto são soluções da equação (. Em resumo, o conjunto solução da equação proposta inicialmente será: { π } { + kπ ; π } + pπ ; p Z. Agora que temos todas as solução, podemos determinar aquelas que estão no intervalo [ π, π ] : { } π as do conjunto + kπ ; são : π + π/ (correspondendo a k = { } as do conjunto π + pπ ; p Z são : nenhuma. Nota: Observe que: sin = cos tan =. Assim, resolver a equação sin = cos é o mesmo que resolver a equação tan = cuja solução é muito mais simples que aquela apresentada para a equação sin = cos. (b Passemos agora a solução da inequação 8 sin + cos 9. (

6 Números Compleos 6 Usando as identidades dadas em (4 temos: 8 sin + cos 9 8 cos( + + cos( cos( cos( 9 Consequentemente, cos( cos( / [ ] + kπ, β + kπ k Z [ π + kπ, 4π ] + kπ. k Z 8 sin + cos 9 k Z [ π + kπ, π + kπ ]. β / = π/ β = 4π/. Mostre, através de uma figura, que eiste um ângulo com medida entre π rd e π/ rd cuja tangente vale. Calcule o cosseno e o seno desse ângulo. Indique na figura o que for necessário indicar para que ela se torne clara. Solução: Consideremos o círculo trigonométrico e o eio das tangentes como mostrados na figura ao lado. Marquemos o ponto no eio das tangentes e tracemos a reta que passa por esse ponto e pela origem do sistema de coordenadas. O ângulo mostrado na figura tem sua medida compreendida entre π e π/ radianos. Além disso, sua tangente vale por definição de tangente. Essa construção mostra o que foi pedido na primeira parte da questão. Da identidade + tan = sec segue que: + = cos = cos cos =. Como é um ângulo do terceiro quadrante, concluímos que cos = ou seja cos =. tan = π < < π/ Da identidade cos + sin = segue que sin = cos = = 4. Novamente, como é um ângulo do terceiro quadrante, obtemos: 4 sin = ou seja sin =. Esses cálculos respondem a segunda parte da questão.. Mostre, através de uma figura, que eiste um ângulo com medida entre π rd e 7π/ rd cujo cosseno vale /. Calcule o seno e a tangente desse ângulo. Indique na figura o que for necessário indicar, para que ela epresse suas idéias com clareza.

7 Números Compleos 7 Solução: O ângulo procurado deve satisfazer: < π = π π > 7π = 6π π = π π = π π π. Portanto, trata-se de um ângulo do segundo quadrante. Para mostrar, graficamente, que tal ângulo eiste, consideremos o círculo trigonométrico e marquemos no eio das abcissas (eio dos cossenos o ponto /. Por esse ponto, tracemos a reta vertical (paralela ao eio das ordenadas. Tal reta intersecta o círculo trigonométrico em dois pontos. O ponto que possui ordenada positiva é etremidade de todos os arcos do segundo quadrante (com ponto inicial em (, 0 cujo cosseno vale /. Agora, tracemos a reta passando por esse ponto e pela origem do sistema de coordenadas. O ângulo procurado é mostrado na figura ao lado e tem sua medida compreendida entre 7π/ e π/ radianos. Além disso, seu cosseno vale / por definição de cosseno. Essa construção mostra o que foi pedido na primeira parte da questão. Da identidade sin + cos = segue que: }{{} cos sin = cos = 9 = 8 9 Como é um ângulo do segundo quadrante, concluímos que sin = ±. Da definição de tangente, segue que: sin =. Esses cálculos respondem a segunda parte da questão.. Considere a equação e a inequação dadas a seguir: ( tan = sin cos = ( / =. ( π tan 8 + ( = ; sin 0 8 (a Determine todas as soluções de ( e mostre que todas elas pertencem ao intervalo [, ] ; (b Resolva a inequação ( ; (c Determine o domínio da epressão ( sin. ( Solução: Passemos a solução da equação (. (a Temos que ( π tan 8 + = π = π + kπ 4 8 = π 4 π 8 + kπ 8 = π + kπ 8 8 = π + 8kπ 8 = onde π( + 8k o que responde a primeira parte do item (a. Além disso, temos que < < π( + 8k para todo π/4

8 Números Compleos 8 já que o denominador da epressão acima satisfaz a condição finalizando assim, a solução do item (a. π( + 8k > para todo (b Passemos agora a solução da inequação ( sin 0. Para resolvê-la, façamos: ( ( sin 0 sin [ ] β + kπ, + kπ k Z [ 7π 6 + kπ, π ] 6 + kπ k Z / β Consequentemente, ( sin 0 [ 7π + 6kπ, π ] + 6kπ k Z = π/6 β = 7π/6 o que responde o item (b da questão. O domínio da epressão ( sin é o conjunto dos números reais que satisfazem ao seguinte sistema de inequações { ( sin 0 0 ou seja, é a parte positiva da solução da inequação sin ( / 0. Consequentemente, o domínio da epressão proposta é: { [ [ 0, π/ ] 7π + 6kπ, π ] } + 6kπ já que para cada inteiro k temos que e para k = 0 temos o intervalo [ 7π/, π/ ]. 4. Esboce os gráficos das seguintes epressões: (a cos e + cos ; ( (b cos e cos π 4 ; (c cos e cos. k [ 7π + 6kπ, π ] + 6kπ (, 0 Em cada item, faça os dois gráficos num mesmo quadro. Para itens distintos use quadros distintos. Solução: Vamos construir os gráficos solicitados a partir do gráfico da epressão cos mostrado a seguir:

9 Números Compleos 9 Gráfico de cos π π/ π π/ π/ π π/ π (a O gráfico de + cos é obtido transladando verticalmente de o gráfico do cosseno. Isso é mostrado no quadro a seguir onde apresentamos os gráficos das epressões cos (em vermelho e + cos (em azul. Gráficos de cos e de + cos π π/ π π/ π/ π π/ π ( (b O gráfico da epressão cos π 4 é obtido transladando de π/4 o gráfico de cos na direção do eio das ( abcissas. No quadro abaio mostramos os gráficos de cos (em vermelho e de cos π 4 (em azul. π/4 { }} { Gráficos de cos e de cos ( π/4 π/4 { }} { π/4 { }} { π/4 { }} { π π/ π π/ π/ π π/ π (c Note que { cos quando 0 cos = cos( quando 0 cos = { cos quando 0 cos quando 0 cos = cos para todo número real. Consequentemente, o gráfico da epressão cos coincide com o da epressão cos.. Considere a equação e a inequação dadas a seguir: ( (a Determine todas as soluções de ( ; (b Resolva a inequação (. ( π sin 9 + = ( ; ( tan Solução: Passemos a solução da equação (.

10 Números Compleos 0 (a Temos que: ( π sin 9 + = ( π sin 9 + = π 9 + π/ + kπ = ou π/ + kπ 4π/9 + kπ = ou 7π/9 + kπ = = (8k 4π 9 ou (8k 7π 9 9 (8k 4π ou 9 (8k 7π onde onde onde onde β / = π/ β = π/ o que responde o item (a. Note que o denominador não se anula para nenhum valor de. (b Passemos agora a solução da inequação ( tan. Para resolvê-la, podemos fazer: β ( tan [ π 4 + kπ, π + kπ k Z k Z [ π 8 + kπ, π 4 + kπ = π/4 β = π/ 6. Mostre, através de uma figura, que eiste um ângulo com medida entre π rd e π/ rd cuja tangente vale eatamente. Calcule o cosseno e o seno desse ângulo. Indique na figura o que for necessário indicar para que ela se torne clara. Solução: Consideremos o círculo trigonométrico e o eio das tangentes como mostrados na figura ao lado. Marquemos o ponto de abcissa no eio das tangentes e tracemos a reta que passa por esse ponto e pela origem do sistema de coordenadas. O ângulo mostrado na figura tem sua medida compreendida entre π e π/ radianos. Além disso, sua tangente vale por definição de tangente. Essa construção mostra o que foi pedido na primeira parte da questão. Da identidade + tan = sec segue que: + = cos = cos cos =. Como é um ângulo do terceiro quadrante, concluímos que cos = ou seja, cos =. tan = π < < π/ Da identidade cos + sin = segue que sin = cos = = 4.

11 Números Compleos Novamente, como é um ângulo do terceiro quadrante, obtemos: 4 sin = ou seja sin =. Esses cálculos respondem a segunda parte da questão. 7. Considere a equação e a inequação dadas a seguir: ( sin = cos ; 8 sin + cos 9 (. (a Determine todas as soluções de ( e eplicite aquelas que estão no intervalo [ π, π ] ; (b Resolva ( usando as identidades trigonométricas cos = + cos( Solução: Passemos a solução da equação (. e sin = cos(. (4 (a Para resolver a equação ( elevamos ambos os membros ao quadrado e obtemos a seguinte equação: Resolvendo-a, obtemos: sin = cos. ( sin = cos sin = ( sin sin = sin 4 sin = sin = /4 sin = ± /. Por outro lado, temos que (ai sin = / + kπ = ou β + kπ onde ; sin = / π + kπ = ou π + kπ onde. (aii sin = / γ + kπ = ou δ + kπ onde ; sin = / π + kπ = ou π + kπ onde. / β = π/ β = π/ γ = π/ δ = π/ γ δ / Portanto, o conjunto solução da equação ( será: { ± π } { + kπ ; ± π } + pπ ; p Z. Agora, precisamos saber quais dessas soluções são soluções de ( pois para passar da equação ( para a equação ( elevamos ambos os membros de ( ao quadrado, o que pode ter introduzido soluções estranhas a equação (. Note que os ângulos da forma π + kπ tem seno positivo e cosseno negativo logo, não podem ser soluções de (. Por sua vez os ângulos da forma π + kπ também não podem ser soluções dessa equação pois possuem um seno negativo e um cosseno positivo. Os outros ângulos, soluções de (, possuem senos e cossenos com o mesmo sinal e portanto são soluções da equação (. Em resumo, o conjunto solução da equação proposta inicialmente será: { π } { + kπ ; π } + pπ ; p Z. Agora que temos todas as solução, podemos determinar aquelas que estão no intervalo [ π, π ] :

12 Números Compleos as do conjunto as do conjunto { } π + kπ ; são : π + π/ (correspondendo a k = { } π + pπ ; p Z são : nenhuma. Nota: Observe que: sin = cos tan =. Assim, resolver a equação sin = cos é o mesmo que resolver a equação tan = cuja solução é muito mais simples que aquela apresentada para a equação sin = cos. (b Passemos agora a solução da inequação Usando as identidades dadas em (4 temos: 8 sin + cos 9. (6 8 sin + cos 9 8 cos( + + cos( cos( cos( 9 Consequentemente, cos( cos( / [ ] + kπ, β + kπ k Z [ π + kπ, 4π ] + kπ. k Z 8 sin + cos 9 k Z [ π + kπ, π + kπ ]. β / = π/ β = 4π/

13 UFF - GMA- Lista8 - Pré-Cálculo 00- LISTA 8. Quando o sol está a 60 acima do horizonte, qual é o comprimento da sombra projetada no solo por um edifício de 7m de altura?. Um avião voando a uma velocidade constante de 60 km/h, subindo a um ângulo de 0, passa por um ponto P que está no solo, a uma altura de km. Determine a distância de P ao avião, minuto após o avião passar sobre o ponto P.. Para determinar a largura aproimada de um rio, sem atravessá-lo, um engenheiro procedeu da seguinte maneira: construiu um plano vertical imaginário contendo uma reta horizontal na direção perpendicular ao rio e de forma que mirando o topo de uma árvore na margem oposta, esse topo seja um ponto P do plano vertical. de um ponto A da margem, na direção da mesma perpendicular ao rio, avistou o topo P da árvore sob um ângulo de 8 com a horizontal. recuando m na mesma direção perpendicular ao rio, até um ponto B, visou novamente o topo da árvore, registrando 6 com a horizontal. Com esses dados ele fez os cálculos necessários. Qual a largura do rio? 4. Uma esfera de raio r é colocada no interior de uma cavidade cônica. sabe-se que o raio da base da cavidade é cm e o ângulo entre as geratrizes da cavidade situadas em um plano vertical à essa cavidade é de 60. (a Calcular a distância aproimada do centro da esfera de raio r ao vértice do cone, se r = 4 cm. (b Qual deve ser, aproimadamente, o raio da esfera para que o topo da mesma seja o centro da base do cone?. Calcule o valor da epressão = tan + cot sec + csc, sabendo que sen + cos =. 6. Calcule o valor da epressão = sen ( se sen + cos =, 0 π. 7. Calcule o valor de, se = cos 7 + cos. 8. Determine m para que eista, em cada caso: (a cos = m 8 (b cos = 7m 4 (c sen + = m 9. Prove que cada identidade é verdadeira para todo R: (a sen 4 cos 4 + cos = 0 (b (cos + sen + (cos ( + sen ( = 0. Simplique as epressões: (a cos ( π sen ( π cos(π + sen (π cos( π cos ( π + (b tan + cot csc. Resolva e marque a solução no círculo trigonométrico. (a cos = (b cos 4 cos = 0 (c sen = (d sen cos = 0 (e cos θ + 6 cos θ cos θ = 0 (f sen cos = (g sen (h cos cos < 0 (i cos 4 sen 4 = (j sen + sen 4 = 0 (k sen sen, para 0 < < π, π, π (l 4 sen < cos, para 0 π, π, π

14 UFF - GMA- Lista8 - Pré-Cálculo 00- (m sen sen > 0, sen para 0 π, π 6, π 6 (n cos 4 = (o ] sen sen 0. Esboce os gráficos passo a passo. (a f( = cos (b f( = cos( π 4, 0 π (c f( = sen ( π (d f( = sen (e f( = tan( π 4 (f f( = cos(π (g * f( = sen cos, 0 π (h * f( = sen, π π (i *f( = cos ( (j f( = arctan( + *Use primeiro alguma identidade trigonométrica.. Calcule: (a arcsen ( (b arctan( (c arccos( 4. Prove que cos( arcsen =, [, ]. Determine o domínio das funções a f( = 4 sen cos. b f( = sen c f( = sen + cos sen

15 Lista 8 de Pré-Cálculo 00- (RESPOSTAS RESPOSTAS DA LISTA 8 - Trigonometria. 9 m. h = 6 7 km., 4 m 4. (a 8 cm (b cm. (d = π + kπ, ou = 4π + kπ, ou = π + kπ, (a m 7 ou 7 m (b m (c m (e = π + kπ, ou = π + kπ, 0. (a cot (b tan. (a = π 6 + kπ, ou = 7π 6 + kπ, (f = π + kπ, ou = arctan 4 + kπ, (b = π 4 + kπ, ou = π 4 + kπ, ou = π + kπ, (c = π 6 + kπ, ou = π 6 + kπ, (g π 6 π + kπ < < π 6 π + kπ, ou π 6 + kπ < < 7π 6 + kπ,

16 (l ( 0, π ( π, π ( π, 7π ( π, π Lista 8 de Pré-Cálculo 00- (RESPOSTAS 4 (h π + kπ < < π + kπ, ou π + kπ < < π + kπ, (i = π + kπ, (m [ 0, π ( 6 π 6, π ou = π + kπ, (j = π + kπ, ou = kπ, (n = kπ 4, (k [ π 6, π ( π, π ] 6 (π, π (o π 4 + kπ π 4 + kπ,

17 Lista 8 de Pré-Cálculo 00- (RESPOSTAS. (a (b (h (c (i (d (j (e. (a π (b π 4 (c π (f (g 4. Queremos calcular cos( arcsen. Considere θ = arcsen. Nesse caso, sabemos que π θ π, cos θ 0, = sen θ. Queremos calcular cos θ. Mas, cos θ = sen θ = cos θ = ± sen θ. Como cos θ 0, cos θ = sen θ Como = sen θ, cos θ =, Como θ = arcsen, cos( arcsen =.