1. Verifique se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por. + (a + b)x3 3 + abx2 2 + c. + c. + c

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1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Eatas Departamento de Matemática a Lista MAT - Cálculo I 7/II. Verifique se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação: (b) e ln() = + c ( + a)( + b) = + (a + b) + ab + c ( + )( + ) = + + c (d) + = arctan( ) + c (e) sen ( ) = sen () + c (e + e ) = e + + c cos () = sen () + c. Usando o método de substituição verifique as seguintes integrais. ( + 7) = 7 8( + 7) + c 6 sec ( ) (b) = tg ( ) + c + + = arctan( + ) + c (d) = arcsen ( ) + c arcsen () (e) = (arcsen ()) + c sen (ln ) = cos (ln ) + c arctan() = + 8 ln( + ) (arctan())/ + c

2 . Usando o método de integração por partes, verifique: cos () = sen () + cos () + c (b) ln( + ) = ln( + ) + arctan( ) + c ( + + 6)cos () = ( (d) arctan() = arctan() + 6 ln( + ) 6 + c arcsen ( ) (e) = arcsen ( ) + + c ( + )e = e ( + ) + c e (cos () + sen ()) = e cos () + sen () [ + arctan() (h) = + arctan() ln c + (i) (cos () sen ()) = )sen () + ( + )cos () sen () + c sen ()[cos () sen ()] cot() + c sen () cos () ] + c 9. Usando o método de substituição trigonomêtrica, verifique: (6 ) = arcsen ( / 6 ) + c ( ) (b) = [ ln + ] arcsec( ) + c ( + ) = + ( + ) / + c / 97 (d) = [ ] arcsec() + + c (e) = arcsen () + c + 6 = ln c (h) (i) + + ( + ) = = + + = + + ln + + arctan() + c arcsen ( c ) ( + 6 ) + + c

3 . Usando o método de frações parciais, verifique: ( ) = 8 ln + c + 9 (b) = ln ( ) ( ) ( )( + )( ) ( + ) 7 + c = ln + c + (d) + = 8 ln + arctan( ) + c + (e) = + ln + c + 7 ( + )( + ) = + + ln + ln + + c + ( ) = ln ( + ) + c (h) ( + + ) = + ( + + ) + ( + ) ( + + ) + 8 arctan( + ) + c + 9 (i) = ln ( + ) ( ) c 6. Calcule o valor das integrais definidas: a) ( + ) R. 6 f) + R. π b) π 6 R. 8 ln() g) cos αdα R. π + c) e e e π/ R. ( + ) h) sen (ln ) R. d) t t dt R. 6 i) ln ln (e + e ) R. 7. Sem usar integrais, determine o valor de: a) A = b) A = ( + ) R. 9 c) A = 8 ( ) R. 6 d) A = R. 6 t + dt R.

4 8. Calcule a área das regiões definidas pelas curvas dadas: a) y = +, y = + b) y + =, y + = c) y ln =, y = e = e d) + y =, y = e + y = 7 e) y =, y = e y = f) y =, y = e = g) y =, y =, = e = h) y =, =, = e y = 9. Resolva os seguintes problemas: Determine dois números a e b reais positivos cuja soma seja 7 e tal que seu produto é o maior possível. R. a = b = (b) Determine os pontos da curva y = mais próimos da origem. R. (, ) e (, ) Uma caia retangular de base quadrada não tem tampa. A área das faces laterais e do fundo somam 8m. Determinar as dimensões da caia, nestas condições, para que o volume seja máimo. R. = e y = (d) Deseja-se construir um retangulo de 6m de área, de tal maneira que a distância de um de seus vértices ao ponto médio do lado não adjacente ao vértice tomado seja mínima. Determine as dimensões desse retangulo. R. = 8, y = (e) Um tanque cônico de aço, sem tampa, tem capacidade de m. Determine as dimensões do tanque que minimiza a quantidade de aço usada na sua fabricação. () () R. r = 6, h = 6 π π Determinar os pontos da hiperbole y = mais próimos do ponto (, ). R. (, ) e (, ) Uma estátua de 6m de altura tem sua base a m acima da horizontal do olho de um observador. Qual a distancia que deve colocar-se o observador para que o ângulo de observação da estátua seja máimo? R. m (h) Um pescador a km de um ponto A de uma praia deseja alcançar um depósito de combustível no ponto B, a km de A. Sua velocidade na água é de km por hora e na terra é de km por hora. Determine o ponto da praia que deve ser alcançado pelo pescador para chegar ao depósito em tempo mínimo. R. 6 m (i) Se uma droga é injetada na corrente sanguínea, sua concentração t minutos depois é dada por C(t) = k(e t e t ), onde k é uma constante positiva. i. Em que instante ocorre a concentração máima? R. t = ln(/) ii. Que se pode dizer sobre a concentração após um longo período de tempo? R. Diminui até zerar.

5 . Nos itens a seguir, faça o que lhe é solicitado: Determine a área da região limitada por + y = e + y = (b) Determine a área da região limitada por = 8 + y y, =, y = e y = Determine a área da reião limitada pelo gráfico de f() = +, a tangente ao gráfico de f no ponto (, ) e o eio Y. (d) Calcular a área da região limitada pela curva y = ( ). (e) Duas circunferências concêntricas de raios r = e r = 6 são cortadas pelo gráfico de y =. Determine a área de uma das regiões formadas. Determinra a área da região delimitada pelo gráfico de y = e a reta tangente a esta curva que passa pelo ponto (, ). (Obs.: Esta reta não é tangente ao gráfico na origem de coordenadas) Determine m de tal forma que a área da região acima da reta y = m e abaio da parábola y = seja 6m., (h) Determine a área da região limitadas pelas curvas f() = e, < + 8 8, > g() = 6 6, (i) Determinar a área da região limitada pela curva / + y / = a /, a >.. Resolva os seguintes problemas: Ache dois números no intervalo [, ] cuja diferença é e cujo produto é un mínimo. (b) Determine a área do retângulo máimo, com base no eio dos X e vértices superiores sobre a parábola y =. Com uma quantidade A de material dada deve-se construir um depósito de base quadrada e paredes verticais. Determine as dimensões que dão o volume máimo. (d) Uma reta passando por (, ) corta o eio dos X em A = (a, ) e o eio dos Y em B = (, b). Determine o triângulo AOB de área mínima para a e b positivos. (e) Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa h em torno de um de seus catetos, gerando un cone circular reto. Determine o cone de volume máimo. Determine o ponto da curva y = ( ) situado a menor distância da origem. Determine o volume do maior cilindro circular reto que pode ser inscrito numa esfera de raio r. (h) Deseja-se construir uma piscina de forma cilíndrica, com volume igual a πm. Determine os valores do raio r e da profundidade h(altura), de modo que a piscina possa ser construida com a menor quantidade de material posível. (i) Uma janela tem forma de retângulo, tendo acima um triângulo equilátero. Sabendo que o perímetro da janela é igual a metros, determine as dimensões do retângulo que proporciona a área máima para a janela.

6 (j) A taa aeróbica de uma pessoa com anos de idade é dada por T () = (ln() ), sendo. Em que idade a pessoa tem capacidade aeróbica máima? (k) Determinar o maior comprimento que deve de ter uma escada para passar de um corredor de m de largura a outro, perpendicular, de 8m de largura.. Resolva as seguintes integrais. a + b d. p + q + ln() e 8. a + be e. ln(a). ln(ab) cos () 7. sen (). cos () sec () a + btg () ln(cos ()) n ln() 6. cos () ln ( ) 9. + e e 6e +. ( ln () + ln() ) ln. () arccos() 8. arctan () ln() e sen ( ) e cos (e ) 9. sen (a)d. cos (b)d. sen (m)cos (n) ln(ln()) d. e ( d6. e e + ) (a ) a > a, a >. tg () sec () 8. cos (ln())d. sec ()tg () + sec () 7. e / ( + )e 6. ( + ) ( a b ) 9. sen () e (a b ) / e e + e arcsen () sec () ( tg ()) /

7 . Calcule as integrais definidas:. d ( + ) e ( + ). 8.. ( )( ) ( )( + ) π ( sen () + ). π/ sen () cos () 6. 9π/ π/ sen () cos () cos () + 7. π sen ( )cos ( ) 8. /π /π sen ( ) 9. π/ dθ + cos (θ). π/ + cos (). π/ cos () cos () +. 9π/ sen () + cos (). π/ sen () + cos () +. π/ π/ sen ()cos () e + d6. arcsen ( ) d9. + π/ 7. e sen (). e e + e. e arcsen (). ln(). / / cos () ln ( ) + 6. a / + + a ln ( + ) +