Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I

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1 Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I 27 de Março de 26 Questão [8 pontos] Determine, quando eistir, cada um dos limites abaio. Caso não eista, eplique por quê c ) lim 2 ( 2) 2 2 e ) lim g) lim sen 2 (2) b) lim d) lim sen( ) 2 ( ) f ) lim cos h) lim sen 2 (2) Questão 2 [ ponto] Mostre com um eemplo que lim[f() + g()] pode a eistir mesmo se lim f() e lim g() não eistirem. a a Questão 3 [ ponto] Mostre que n 2 n = 2 n n.

2 Segundo Teste de Cálculo Infinitesimal I 2 de Abril de 26 Questão [4 pontos] Determine, quando eistir, cada um dos limites abaio. Caso não eista, eplique por quê c ) lim b) lim d) lim + sen Questão 2 [2 pontos] Calcule a derivada de cada uma das funções abaio. a) f() = sen b) f() = sen 2 + cos 2 Questão 3 [2 pontos] Esboce o gráfico de f() = , eplicitando as raízes, os intervalos onde f é positiva e aqueles onde ela é negativa, as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais. Questão 4 [2 pontos] Determine, pela definição, a derivada de f() = 2. Qual é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (, )?

3 Primeira Prova de Cálculo Infinitesimal I 28 de Abril de 26 Questão [2 pontos] Determine, quando eistir, cada um dos limites abaio b) lim h sen(π + h) sen(π) h Questão 2 [2 pontos] Calcule a derivada de cada uma das funções abaio. a) f() = cos( 2 ) b) f() = sen( ) Questão 3 [2 pontos] Para construir um galinheiro retangular, utilizaremos rolo de 25m de alambrado Gerdau de altura m, para fazer 3 lados, e um muro longo para o quarto lado (veja figura abaio). Determine as dimensões do retângulo de modo que a área do galinheiro seja máima. Cerca Muro Questão 4 [2 pontos] Determine a(s) reta(s) tangente(s) à parábola de equação y = e que passam pelo ponto (, ). Questão 5 [2 pontos] A função parte inteira de, denotada por é definida como sendo o único inteiro n tal que n < n +. Eemplos:, 5 =, = e, 5 = 2. Determine o limite abaio. lim +.

4 Terceiro Teste de Cálculo Infinitesimal I 9 de Maio de 26 Questão [6 pontos] Determine, quando eistir, cada um dos limites abaio. tan sen 3 c ) lim sen(sen ) cos + 2 e ) lim + sen b) lim + cos d) lim sen sen 2 3 f ) lim + cos sen Questão 2 [2 pontos] Seja f uma função derivável tal que f () = f(), para todo R, e lim f() = +. Mostre que + lim + f() = + n N. n Questão 3 [2 pontos] Seja f uma função duas vezes derivável com f () >, para todo R, e seja r uma reta tangente ao gráfico de f. Mostre que a) O gráfico de f intersepta r apenas no ponto de tangência; b) O gráfico de f está acima de r; c) lim f() = + ou lim f() = + ; + d) f tem no máimo um mínimo local e nenhum máimo local.

5 Quarto Teste de Cálculo Infinitesimal I 9 de Junho de 26 Questão [6 pontos] Calcule as integrais abaio a) 2 (2 3) 2 d b) e d c ) e 2 d d) 3 e 2 d e ) d f ) d Questão 2 [2 pontos] Encontre a área da região limitada à esquerda por = y 2 e à direita por = 3 2y 2. Questão 3 [2 pontos] Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y = 2 e = y 2 em torno do eio.

6 Segunda Prova de Cálculo Infinitesimal I 23 de Junho de 26 Questão [6 pontos] Calcule cada uma das integrais abaio a) d b) d c ) 3 2 d d) ( + ) 2 e ) cos 3 d f ) 3π/2 4 4 sencos d d Questão 2 [2 pontos] Mostre que π/2 sen n d = n n Use este resultado para mostrar que π/2 sen n 2 d n 2. π/2 sen 2m+ d = m 2m + m N. Questão 3 [2 pontos] Determine para que valores de p > a integral imprópria abaio é convergente. p d.

7 Prova Final de Cálculo Infinitesimal I 3 de Junho de 26 Questão [2 pontos] Calcule os limites abaio b) lim e 2 Questão 2 [2 pontos] Calcule as derivadas das funções abaio. 2 a) f() = ln ( 2 + cos(s 2 ) ) ds b) f() = e sen Questão 3 [2 pontos] Calcule as integrais abaio. e (sen cos) a) sen 2 d b) sen d Questão 4 [2 pontos] A base de um sólido é a região limitada pela parábola y = 2 e a reta y =. Encontre o volume do sólido, dado que as seções transversais perpendiculares ao eio são quadrados. Questão 5 [2 pontos] Determine as dimensões (raio da base e altura) do cilindro de máimo volume inscrito em uma esfera de raio r.

8 Segunda Chamada de Cálculo Infinitesimal I 7 de Julho de 26 Questão [3 pontos] Calcule: b) d d [ ] ln 2 2 c) 2 2 d Questão 2 [3 pontos] Esboce o gráfico da função f() = eplicitando: a) raízes; b) assíntotas horizontais; c) assíntotas verticais d) pontos de máimo local; e) pontos de mínimo local; f) intervalos onde f é crescente; g) intervalos onde f é decrescente. Questão 3 [2 pontos] Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y = 2 e y = + 2 em torno do eio. Questão 4 [2 pontos] Copos de papel cônicos são normalmente feitos de tal maneira que a profundidade é 2 vezes o raio da borda. Mostre que este desenho requer a menor quantidade de papel por unidade de volume.