Lista de Exercícios do capítulo 4

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1 Lista de Eercícios do capítulo 4 1. Eplique a diferença entre um mínimo local e um mínimo absoluto. 2. Nos gráficos abaio, diga se a função tem um máimo local, um mínimo local, um máimo absoluto, um mínimo absoluto ou nem máimo nem mínimo, em cada um dos pontos indicados. 3. (a) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máimo local em = 2 e que seja derivável neste ponto. (b) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máimo local em = 2 e seja contínua, mas não derivável em = 2. (c) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máimo local em = 2 e não seja contínua em = Encontre os pontos críticos das funções (a) h(p) = p 1 p (b) g(y) = y 1/3 y 2/3. (c) f() = 2 ln. 5. Encontre os pontos de máimo e de mínimo absolutos e os valores máimo e mínimo de f no interval dado. (a) f(t) = 2 cos t + sin 2t, (b) f() = ln [ 1 2, 2]. [0, π/2] 6. Demonstre que a função f() = não tem nem máimo nem mínimo local. 7. Suponha que c é um maimizador local de f e que f () 0 para todo c. Mostre que então c é um maimizador global. 8. Verifique que a função f() = , [0, 4] satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle. Então, encontre todos os números c que satifazem a conclusão do Teorema de Rolle. 9. Seja f() = Mostre que não eiste um valor real c (0, 3) tal que f(3) f(0) = f (c)(3 0). Porque isso não contradiz o Teorema do Valor Médio? 1

2 10. Mostre que a equação c = 0 tem no máimo uma raiz no intervalo [ 2, 2]. 11. Mostre que f() = tem uma única raiz em R. 12. Sejam a e b números reais. Use o Teorema do Valor Médio para demonstrar a desigualdade cos a cos b a b 13. Faça um gráfico de f() = 3 2. Esboce a reta r 1 que passa por (2, f(2)) e ( 2, f( 2)). Encontre geometricamente uma reta r 2, tangente ao gráfico de f, que seja paralela à reta r 1. Encontre algebricamente a epressão de r 2. { 1/ se > Seja f() = 1/ e g() = 1 + 1/ se < 0 Mostre que f () = g () em todo seu domínio. Quem é a função f g? Esta função não deveria ser constante, conforme os resultados estudados em classe? 15. Dois corredores iniciaram uma corrida no mesmo instante e terminaram empatados. Demonstre que em algum instatnte durante a corrida eles tiveram a mesma velocidade. 16. Em uma prova olímpica em uma piscina de 50 metros um nadador nadou os 100 metros livres em 48 segundos. Sabendo que ele completou a metade da prova em 24 segundos, considere f 1 (t), f 2 (t) : [0, 24] R sendo as funções que descrevem a distância do nadador à borda de largada em função do tempo respectivamente na ida e na volta da prova. (a) Calcule f 1 (0), f 2 (0), f 1 (24) e f 2 (24). (b) Mostre que em algum instante de tempo em (0,24) a velocidade do nadador em módulo foi igual na ida e na volta. (Dica: considere a função f 1 (t) + f 2 (t).) 17. O gráfico da primeira derivada de f está mostrado na figura abaio. (a) Em que intervalos a f está crescendo? Eplique. (b) Em que valores de a função tem um máimo ou mínimo local? Eplique. (c) Em que intervalos f é côncava para cima ou para baio? Eplique. (d) Quais as coordenadas dos pontos de infleão de f? Por quê? 18. Sejam f() = cos 2 2 sin, [0, 2π] e g() = e, R. Para estas funções, encontre: (a) Os intervalos de crescimento e decrescimento. (b) Os pontos de máimo e de mínimo locais. (c) Os intervalos de concavidade e os pontos de infleão. 19. Clasifique os pontos críticos de: (a) f() = 1 + ( 4) 6 2

3 (b) f() = (c) f(θ) = 4θ tang(θ) (d) f() = ln(), para [ 1 2, 2] 20. Encontre os valores de máimo e mínimo locais de f() = e segunda derivadas. Qual dos métodos você prefere? usando os testes da primeira 21. Esboce o gráfico de uma função f tal que f (1) = f ( 1) = 0, f () < 0 se < 1, f () > 0, se 1 < < 2, f () = 1, se > 2, f () < 0, se 2 < < 0 e tal que f tenha ponto de infleão em (0, 1). 22. Sejam f() = ln( 4 ) e g() = Para cada função: (a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente. (b) Encontre os máimos ou mínimos locais. (c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de infleão. (d) Use as informações obtidas nos itens anteriores para esboçar o gráfico da função. Compare seu resultado com alguma ferramenta gráfica (sugestão: wolfram alpha) 23. A caneca mostrada na figura está sendo enchida com café a uma taa constante (medida em volume por unidade de tempo). Esboce um gráfico da profuundidade do café na caneca como uma função do tempo. Forneça uma emplicação para o formato do gráfico em termos de concavidade. O que siginifica o ponto de infleão neste gráfico? 24. Para quais valores dos números a e b, a função f() = ae b2 tem valor máimo f(2) = 1? 25. Suponha que f e g são funções duas vezes deriváveis e que suas derivadas de ordem 2 nunca se anulem. (a) Mostre que se f e gsão positivas crescentes, côncavas para cima no intervalo I, então a função produto fg é côncava para cima em I. (b) Mostre que a parte (a) permanece verdadeira mesmo que f e g sejam ambas decrescentes. (c) Suponha que f seja crescente e g decrescente. Mostre, dando três eemplos, que fg pode ser côncava pra cima, côncava para baio ou ainda uma função linear. Por que os argumentos usados nas partes (a) e (b) não podem ser usados neste caso? 26. Mostre que a função g() = tem um ponto de infleão em (0, 0), mas g (0) não eiste. 27. Em cada item encontre o ite. Use a regra de L Hospital quando for apropriado. Se eistir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L Hospita não for aplicável, eplique por quê. (a)

4 (b) (c) (d) cos 1 sin. e 3. cos ln( a) a + ln(e e a ) (e) 2 e. (f) 2 +. (g) (h) 1 1 ln. ( ) se a = π/2 e se a (0, π/2). 28. Se um montante inicial de dinheiro A 0 for investido a uma taa de juros i capitalizado n vezes ao ano, o valor do investimento após t anos será A = A 0 ( 1 + i n) nt. Se n, nos referimos à capitalização contínua de juros. Use a regra de L Hospital para mostrar que se os juros forem capitalizados continuamente, então o montante após t anos será A = A 0 e it. 29. Se f for contínua, utilize a regra de L Hospital para mostrar que 30. Esboce o gráfico das seguntes funções: (a) f() = 1. (b) f() = 2 9. (c) f() = 2 2. (d) f() = + cos. (e) f() = f( + h) f( h) = f (). h 0 2h 31. Seja f() = ( 3 + 1)/. Mostre que ± [() 2 ] = 0. Isso mostra que o gráfico de f tende ao gráfico de g() = 2, e dizmos que a curva y = f() é assíntota à parábola y = 2. Use este fato para esboçar o gráfico de f. 32. Um fazendeiro quer cercar uma área de 15000m 2 em um campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma a minimizar o custo da cerca? 33. Um contêiner para estocagem retangular com tampa aberta deve ter um volume de 10 m 3. O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa R$10 e para os lados R$6 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais baratos destes contêineres. 34. Mostre que, entre todos os retângulos (a) com uma área dada, aquelecom menor perímetro é um quadrado. 4

5 (b) com um perímetro dado, aquele com maior área é um quadrado. 35. Encontre o ponto sobre a reta y = que está mais próimo da origem. 36. Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r. Encontre o maior volume possível desse cilindro. 37. Uma lata cilindrica sem o topo é feita para receber V cm 3 de líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fazer a lata. 38. Um aluno do ICT durante suas férias depois do primeiro semestre, está em um ponto A na praia de um lago circular com raio de 3 km e quer chegar ao ponto C, diametralmente oposto a A do outro lado do lago, no menor tempo possível. Ele pode andar a uma taa de 6km/h e remar a um bote a 3km/h. Usando os conhecimentos de cálculo adquiridos durante o primeiro semestre, ele escolhe a melhor maneira de proceder. Qual é essa maneira? 39. Encontre uma equação da reta que passa pelo ponto (3, 5) e que deita a menor área do primeiro quadrante. 40. Um cano de metal está sendo carregado através de um corredor com 3m de largura. No fim do corredor há uma curva em ângulo reto, passando-se para um corredor com 2m de largura. Qual é o comprimento do cano mais longo que pode ser carregado horizontalmente em torno do cano? 41. Uma calha deve ser construída com uma folha de metal de largura 30cm dobrando-se para cima 1/3 da folha de cada lado, fazendo um ângulo θ com a horizontal. Como deve ser escolhido θ de forma que a capacidade de carregar a água da calha seja máima? 42. Um fabricante tem vendido 1000 aparelhos de televisão por semana a 450 dólares cada. Uma pesquisa indica que a cada 10 dólares de desconto o número de aparelhos vendido aumenta em 100 unidades por semana. (a) Encontre a função demanda. (b) Que desconto a companhia deve oferecer para maimizar sua receita? (c) Considere que o custo c de produção em função da quantidade q de equipamentos produzidos seja c(q) = q. Calcule qual deve ser o desconto para que a empresa tenha o maior lucro possível. 5