1 Definição de Derivada

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1 Departamento de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de 2014 Lista 5 Derivada 1 Definição de Derivada Eercício 1. O que é f (a)? Eplique com suas palavras o que significa dizer que y = f () é diferenciável em a. Dê eemplos de funções que não são diferenciáveis e eplique porque isso acontece. Eercício 2. O deslocamento ( em metros ) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação s(t) = t 2 8t + 18, onde t é medido em segundos. Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo [3,4], [3.5, 4], [4, 5] [4, 4.5]. Encontre a velocidade instantânea quando t = 4. Faça o gráfico de s como função do tempo e desenhe as retas secantes, cujas inclinações são as velocidades médias pedidas e a reta tangente ao gráfico no ponto (4,2). Eercício 3. Uma bola move-se, na vertical, onde sua posição é 15+10t 5t 2 m acima do solo no instante t segundos. Pergunta-se: a) Qual a velocidade da bola, na subida, no instante t = 0? b) Quando é que sua velocidade, na subida, é igual a zero? c) Qual a altura máima que a bola atinge? Eercício 4. O deslocamento ( em metros ) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação do movimento s(t) = 4t 3 + 6t + 2, onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade da partícula no instante t = a, t = 1, t = 2 e t = 3. Eercício 5. Um objeto é lançado verticalmente do chão para cima com velocidade inicial de 112 m/s e a altura atingida no instante t segundos é f (t) = 112t 16t 2 m. Pergunta-se: a) Quais as velocidades do objeto nos instantes t = 2, t = 3 e t = 4 segundos? b) Em que instante o objeto alcança a altura máima? c) Em que instante o objeto atinge o chão? d) Com que velocidade o objeto atinge o solo? Eercício 6. Em cada um dos itens abaio, encontre, se eistir, a equação da reta tangente ao gráfico da função y = f () nos pontos especificados: a) f () = 5 + 4, P 1 = (2, 14) e P 2 = (1, 9) b)f () = , P 1 = (0, 4) e P 2 = (1, 2) c) f () = sen, P = (0, 0) d) f () = cos, P = (π/2, 0) Eercício 7. Encontre a derivada da função dada usando a definição. domínio da função e da derivada: a) f () = b) f () = c) f () = 1 2 d) f () = 3 Estabeleça o 1

2 Eercício 8. Se f for uma função diferenciável e g() = f (), use a definição de derivada para mostrar que g () = f () + f (). Eercício 9. Seja f () = 3. Se a 0, encontre f (a). Mostre que f (0) não eiste e esboce o gráfico de f. Eercício 10. Esboce o gráfico de f () =. Para que valores de, f é diferenciável? Encontre uma fórmula para f. Eercício 11. Determine se eiste ou não f (0): sen(1/), 0 2 sen(1/), 0 a) f () = b) f () = 0, = 0 0, = 0 Eercício 12. Prove que a derivada de uma função par é ímpar e que a derivada de uma função ímpar é par. Eercício 13. Suponha que f é uma função que satisfaz f ( + y) = f () + f (y) + 2 y + y 2 f (), para todos os números reais e y. Suponha também que lim 0 = 1. Encontre f (0) e f (), R , 1 Eercício 14. Mostre que a função f () =, não é derivável em p = , > 1 Esboce o gráfico de f , < 1 Eercício 15. Mostre que a função f () =, é derivável em p = , 1 Esboce o gráfico de f. Eercício 16. Seja r a reta tangente ao gráfico de f () = 1/ no ponto de abscissa p. Verifique que r intercepta o eio no ponto de abscissa 2p. Eercício 17. Determine a reta que é tangente ao gráfico de f () = 2 e é paralela à reta y = Derivadas Eercício 18. Calcule f (): a)f () = b)f () = c)f () = d)f () = 3 + e)f () = f )f () = 2 3 g)f () = h)f () = i)f () = j)f () = 3 + k)f () = l)f () = Eercício 19. Calcule a derivada das seguintes funções. a)f () = d)f () = + 1 b)f () = e)f () = c)f () = f )f () =

3 Eercício 20. Seja g() = (i) Determine os pontos do gráfico de g em que as retas tangentes, nestes pontos, sejam paralelas ao eio. (ii) Estude o sinal de g (). (iii) Calcule lim g() e lim g(). + (iv) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de g. Eercício 21. Seja f () = (i) Estude o sinal de f (). (ii) Calcule lim f () e + informações acima, faça um esboço do gráfico de f. lim f (). (iii) Utilizando as Eercício 22. Calcule a derivada das seguintes funções. a) cos() b) cos() d) 2 tg() e) + 1 tg() g) sec() j) sen() Eercício 23. Derive as seguintes funções abaio. c) sen() f ) 3 sen + cos h) cos() + ( 2 + 1)sen() i) sec() k) 2 + 3tg() l) + sen() cos() a) sen(4) b) cos(5) c) sen( 3 ) d) (sen() + cos()) 3 e) f ) g) sen(cos()) h) ( 2 + 3) 4 i)cos( 2 + 3) j) tg(3) k) sec(3) l) sen(2 ) sen 2 () 3

4 Eercício 24. Derive as funções abaio. 1) + 1 2) ) ) sen( 5 2 ) 5) 2 cos() ( 4 + tg 2 + 1) 2 6) tg 2 () + cossec() 7) ) sec( 2 + 1) 9) 2 tg() sec() 10) sen() cos() 11) 13) ( + 2) ) ) cotg( ) 15) 16) 3 sec()tg() ( 2 + 1) cos() 17) cos()cotg() sec() cos() 18) 1 sen( sen()) 2 sen() cos() 2 cos() ) arcsen( 2 ) 20) (arcsen()) 2 21) (1 2 )arctg() 22) arccos() ) cos(ln()) 24) ln 25) ln(e + e ) 26) ln() (1 ) 27) e 28) sen(e ) 29) arcsen(e ) 30) ln(arctg()) 31) e 1/ ) ln(e + 1) 33) e cos(3 ) Eercício 25. Encontre y e y para a) y = ln() b) y = log 10 () c) y = ln(1 + e 2 ) d) y = e 3+1 ln( 2 2) Eercício 26. Use diferenciação logarítmica para encontrar a derivada de : a)f () = (2 + 1) 5 ( 4 3) 6 b)f () = c)f () = sen() 1 d)f () = (ln ) e)f () = esen(2) f )f () = e 2 ( 2 + 1) 10 Eercício 27. Dê uma fórmula para f (n) () se f () = ln( 1). Eercício 28. Mostre que eistem eatamente duas retas tangentes ao gráfico de y = ( + 1) 3 que passam pela origem. Escreva suas equações. Eercício 29. Seja f : R R uma função diferenciável em um ponto a R. Calcule, em termos de f f () f (a) (a), o limite lim. 0 a Eercício 30. Sejam as funções f e g deriváveis em R tais que f (g()) =, para todo R. Sabendo que f (1) = 2 e g(0) = 1, calcule g (0). Eercício 31. Encontre em cada um dos itens abaio dy, onde y = y() é dada d implicitamente pelas equações, a) cos 2 ( + y) = 1/4 b) y 3 = y + y c) (y 2 9) 4 = ( ) 2 d) y 2y 2 + y 3 1 = 0 e) sen(y) + y 2 = 0 f ) y + 16 = 0 4

5 15. Determine a equação da reta tangente à curva dada, no ponto indicado, a) y 2 = 3 (2 ), ponto (1, 1) b) 2( 2 + y 2 ) 2 = 25( 2 y 2 ), ponto (3, 1). 16. Calcule a derivada segunda das funções abaio, a) y = 1, b) y = Sejam f () = e + ln() e h() = f 1 (). Ache h (e). Eercício 32. Mostre que se f é par, então f () = f ( ). (Sugestão: considere g() = f ( ), encontre g (); logo lembre que outra coisa poderia ser g. Um desenho pode ajudar!) Eercício 33. Mostre que se f é impar então f () = f ( ) (Faça um desenho!). Eercício 34. Se f n () = n, e 0 k n, mostre que 1 f (k) n () = n! (n k)! n k = k! ( ) n n k. k Eercício 35. Seja f () = 3. (i) Encontre f (). (ii) Sera que f () eiste para tudo R? (iii) Considere agora a função g() = 4 para 0 e g() = 4 quando g() 0. Repeta a analise em (i) e (ii) para g. Eercício 36. Seja g() = n para 0 e g() = 0 quando 0. Mostre que g (n 1) eiste, embora g (n) (0) não eiste. Respostas 20. O grafico de g é, y /( 2 + 1) O grafico de f é, ( ) 1 n n! Lembre que corresponde ao coeficiente Binomial, onde n! = n (n 1) (n 2) (n k k!(n k)! n + 1). Estes coeficientes determinam o número de combinações que podem ser formadas ao escolher k elementos de um total de n. 5

6 y