Universidade Federal de Viçosa

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1 Universidade Federal de Viçosa Ciências Eatas e Tecnológicas Departamento de Matemática MAT 4 - Lista - 07/. Determine o domínio a imagem as raízes e o estudo de sinal das funções a seguir: (a) f() = 4 (c) f() = Dê o domínio os zeros o conjunto imagem e esboce o gráfico de cada função abaio: (a) f() = + (c) f() = + (d) f() = (e) f() = (f) f() = { se se > { se > se.. Determine o domínio das seguintes funções: (a) f() = (c) f() = + 5 (d) f() = (e) f() = sen() (f) f() =. 4. Use a equação y = para responder as seguintes questões. (a) Para quais valores de vale y = 0? (b) Para quais valores de vale y = 0? (c) Para quais valores de vale y 0? (d) y possui valor máimo e mínimo? Se sim determine-os. 5. Em cada item obtenha as leis que definem f g e g f. + se (a) f() = se < < e g() =. 4 se se < 0 se 0 0 se > 6. Considere as funções f() = e g() = se 0 se 0 < se > se < 0 0 se 0 se > e g() =.

2 (a) Faça um esboço do gráfico de f (b) Determine o domínio de g f (c) Encontre (g f)(). 7. Classifique cada uma das funções abaio como par ímpar ou nenhum desses casos. (a) f() = (c) f() = + (d) f() = cosh() (e) f() = senh(). 8. Seja f : R R uma função. Determine se cada uma das funções a seguir pode ser classificada como par ou ímpar. Justifique sua resposta. (a) g() = f()+f( ) (b) h() = f() f( ) (c) Mostre que f pode ser escrita como soma de uma função par e uma função ímpar. 9. Determine o domínio e o contradomínio para que cada uma das funções a seguir seja inversível e obtenha a epressão para a inversa: (a) f() = a + b a 0 (c) f() = 4 (d) f() = (e) f() = (f) f() =. 0. Dadas as funções a seguir verifique se são inversíveis e em caso afirmativo determinar sua inversa. { se 0 (a) f() = se < se (c) f() = se < < { se 0 se < 0 4 se.. Suponha que f seja inversível e crescente. Sua inversa é crescente ou decrescente?. Determine o período a imagem e construa o gráfico de cada uma das funções abaio: (a) f() = + sen() cos() (c) f() = cos(4) (d) f() = cos( ) (e) f() = sen( π) (f) f() = cos( π) (g) f() = tg( + π) 6 (h) f() = cotg( π) (i) f() = sec() (j) f() = cossec( + π). 4. Determine o domínio o conjunto imagem e esboce o gráfico das funções a seguir: (a) f() = arccos() arctg( ) (c) f() = arcsen().

3 4. Costruir os gráficos das funções definidas por: (a) f() = e (c) f() = ( ) (d) f() =. 5. Usando a técnica de translação de gráficos faça os gráficos das seguintes funções: (a) y = (b) y = ( + ) (c) y = (d) y = + (e) y = (f) y = + 5 (g) y = + (h) y = + π (i) y = ( ) (j) y = Demonstre as seguintes identidades: (a) senh( + y) = senh()cosh() + senh(y)cosh(y) (b) cosh( + y) = cosh()cosh(y) + senh()cosh(y) (c) +tgh() tgh() = e (d) cosh () senh () =. 7. Prove usando a definição que: (a) lim 7 = 7 (b) lim 4 ( + ) = 9 (c) lim ( + ) = 5 (d) lim + = (e) lim 5 ( ) = 0 (f) lim ( + ) = 7 (g) lim = + (h) lim 6 ( ) = (i) lim = 0 (j) lim +4 = (k) lim + 6 = 8. Determine os seguintes limistes: (a) lim (b) lim 0 (+) 4 6 (c) lim (d) lim (e) lim 5 (f) lim + ( + ) (g) lim + ( + ) (h) lim + ( + (i) lim + ( + ) + + (j) lim + + (k) lim + (l) lim (m) lim + (n) lim (o) lim Use a definição de limite para provar que se lim a f() = L e lim a g() = M então lim[f() g() = L M. a

4 0. Em cada item determine o limit se eistir. Se não eistir indique a razão disto. (a) lim (b) lim + sen() (c) lim h 0 f(+h) f() h onde f() =.. Verifique se as seguintes funções possuem assíntotas horizontal e vertical em caso positivo determine as assíntotas. (a) f() = + (c) f() = + (d) f() = (e) f() = ln 0.. (a) Mostre que mesmo que = 0 anule o denominador de + a reta = 0 não é uma assíntota vertical da função f() = +. (b) Mostre que apesar de 0 não anular o denominador + de + + a reta = 0 é uma assíntota vertical da função g() = Verifique se a função é contínua em a justifique sua resposta. Faça também um esboço do gráfico da função. (a) f() = + a = + 6 a = { se (c) f() = + 0 se = a = { + se (d) f() = se = a = 4 se < (e) f() = 4 se = a =. 4 se > 4. Em cada item defina f g e determine os números nos quais f g é contínua. (a) f() = e g() = 9 e g() = + (c) f() = e g() =. 5. Determine os valores das constantes C e K que tornam a função contínua em ( + ) e faça um esboço do gráfico da função resultante. { se 8 se (a) f() = C + K se < < 4 C se =. se 4 6. Se f() = + 0sen() mostre que eiste um número c tal que f(c) = Mostre que a equação + + = 0 possui uma raiz entre e. 8. Suponha f contínua em [ 5] e que as únicas soluções da equação f() = 6 são = 4 e =. Se f() = 8 eplique por que f() > Calcule os seguintes limites se eistirem. 4

5 sen(4) (a) lim 0 (b) lim 0 sen() (c) lim 0 sen(9) sen(7 (d) lim 0 sen 5 () Encontre os seguintes limites. (e) lim 0 cos() (f) lim 0 4 (g) lim 0 cos () (h) lim 0 + sen() (i) lim 0 ( ) (j) lim + ( + ) (k) lim 0 e (l) lim 0 +. (a) lim 0 cos( ) (b) lim g() se g() + 4 ( ) 4 para todo (c) lim [( ) sen( ) (d) Se f() K a para todo a onde K é uma constante prove que lim a f() = 0. 5