FICHA 11 - SOLUÇÕES. b a f(x)g(x)dx b a g(x)dx M,

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I - o Sem 07/8 - LEGM, MEC FICHA - SOLUÇÕES a = f/; b = f; c / = f/ Começe por aplicar o Teorema de Weierstrass a f em [a, b] para garantir a eistência de m = min f[a, b] e M = má f[a, b] Obtenha as desigualdades m b a fgd b a gd M, e aplique o Teorema do Valor Intermédio Teorema de Bolzano para obter o resultado pedido a sen, b cos c e 4 e d e 4 e e 4 sen sen, f cos t dt + cos 4 Verifique que está nas condições de aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo, apliqueo para obter ψ e verifique que pode voltar a usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter ψ Como f é diferenciável, e portanto contínua, podemos derivar ambos os membros usando o Teorema Fundamental do Cálculo para concluir que f = 0, para 0, ou seja, que f é constante em ]0, + [ e em ], 0[ Da continuidade de f em R conclui-se então o resultado 6 Use o Teorema Fundamental do Cálculo em conjunto com a regra de derivação da função composta para obter ψ = 0, para ]0, π/[ 7 Use a regra de Cauchy e o Teorema Fundamental do Cálculo: a 4, b sen π 4, c 8 Em R \ {0}: F é o produto de duas funções diferenciáveis justifique! e, logo, contínuas Em 0, usando a regra de Cauchy e o Teorema Fundamental do Cálculo, prove que F é contínua Mostre, igualmente recorrendo à regra de Cauchy e ao Teorema Fundamental do Cálculo, que F é diferenciável em 0 se e só se f é diferenciável em 0, caso em que, F 0 = f 0 9 Da continuidade de u e v, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar os integrais indefinidos e provar que u = v 0 a D f = R ; f é estritamente crescente em [0, + [ e estritamente decrescente em ], 0] note que f é par ; tendo um mínimo em 0 b D g =], + [ ; g é estritamente crescente em ], + [, pelo que não tem etremos c D h = R ; h é estritamente crescente em ], + [ e estritamente decrescente em ], [, tendo um mínimo em a Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de derivação da função composta para obter g e g e com base no estudo do sinal destas funções obtenha que: g é crescente em ], [, decrescente em ], + [, tendo máimo em, e a concavidade do gráfico de g está virada para baio

2 b É majorada: R, g g Obtenha lim + g lim + f0 4+ =, o que lhe permite concluir que g não é minorada a ln ; b ln; c 0; d 0; e ; f /; g / e; h π /4 = π / Todos com integração ou primitivação por partes: a ln + π sh/ c + π ; d ln 4 = ln ; b ; e 4 Uma vez que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, F = e, aplicando o método de integração por partes a 0 F d obtem o resultado desejado a [arctgt] = π [ ] ; b ln t t + = ln + ln = ln ; + [ c ] t + arcsen t = + π [ ] 0 6 ; d ln t t + = ln ln = ln ; e [ ln t + ] ln + t + arctg t = 0 8 π+log 4; f [ 8 ln t 4 ln + t ] / = / 8 ln / 8 ln/ 4 ln7/4 + 4 ln/4 = 4 ln/7 6 a Fazendo a substituição = t = t, com > 0 e t > 0, temos verifique + t = + t = ln + + arctg ln + + t + b = arctg c Fazendo a substituição + = t = t, com > e t > 0, temos verifique = + t = ln d Fazendo a substituição = t 6 t = 6, para > 0, t > 0, temos 6t 6t = + t + t = = t + t t + t + Logo, = ln 6 + e Fazendo a substituição 4 + = t = t 4, com > e t > 0, temos 4t 4t 4 = + t 4 t 4t = t 4 = t t + t +

3 e assim verifique, 4 = ln arctg 4 + e / f, = arcsen e pode fazer também t = e / - mais simples e e g e + e = 4 ln e e + + e h Fazendo a substituição t = + e = lnt, para R, t >, temos t = + e t t = t t + e assim verifique = ln + e + e + e + i Fazendo a substituição ln = t = e t, para R + \ {e, e }, t ±, temos 4 ln = e t 4 t et = t + t e assim verifique 4 ln = 4 ln + ln ln j Fazendo a substituição ln = t = e t, para R + \ {, e}, t R \ {0, }, temos = = ln ln ln ln t t ln k Fazendo a substituição sen = t = arcsen t, para ] π, π [, 0, obtém-se verifique cos sen = cos sen sen = t t Logo verifique sen = cos sen + ln + sen sen l Fazendo como na alínea anterior verifique cos sec = sen = t = ln + sen sen = ln sec + tg

4 m sec = 4 ln + sen sen + 4 sen 4 + sen = ln + sen cos + sen cos = ln sec + tg + sec tg cos cos n + sen cos = sen + sen = ln sen + sen o Temos sen sen sen sen = + cos cos = + cos cos cos + Fazendo a substituição t = cos = arccos t, com ]0, π[, temos sen cos = cos + t t + e assim verifique sen sen = ln cos + cos cos sen p cos + cos = sen + cos = arctgcos q Fazendo a substituição t = sen = arcsen t, com ] π, π [, temos e assim cos sen = cos + sen sen = = cos sen 4 ln + sen sen + sen + t t r Como na alínea anterior, fazendo a substituição t = cos = arccos t, com ]0, π[, temos sen = sen + cos cos + cos = t + t e obtém-se verifique = sen + cos 4 ln cos cos cos ch s = ch + sh = arctgsh usando ch sh = t = + tg + t + t = + t + t + + t = ln + tg 0 ln + tg + 4

5 u Fazendo a substituição = sen t t = arcsen, com t ] π, π [, temos = cos t = cos t + = 4 sent + t = sent cost + t ou por partes Logo, notando que cosarcsen =, temos = + arcsen v Fazendo a substituição = cos t t = arccos, com t ]0, π[, t π/, temos 4 = sen t cos 4 = tg t t cos = t tg t Logo, notando que se t = arccos então de + tg t = cos t vem tg t = cos t = temos 4 = / w = cos t = com = sec t = arcsen y Fazendo = tg t, temos = sec t = ln + + da alínea l + z Fazendo = sec t, temos = sec t = + ln + da alínea m 7 b = ln tg + sen + cos ln + tg, sen = sen tg/