MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

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1 MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

2 Generalidades Aplicação: integrais cujos integrandos são compostos de: produtos; funções trigonométricas; funções exponenciais; funções logarítmicas. Exemplos: x e x ; x 2 sen x ; arctg x ; ln x 2 +.

3 Fórmula Considere a função y = u v Diferenciando a função acima obtemos: dy = du v + u dv Integrando membro a membro, resulta: Assim, dy = v du + u dv, y = v du + u dv, u v = v du + u dv u dv = u v v du

4 Exemplo: Integre xe x. Análise: Note que no integrando temos um produto de funções e uma delas é uma função exponencial. Vamos utilizar a integração por Partes.. u dv = u v v du

5 Exemplo: Integre xe x. 2. Escolha de u e de v. Escolhemos dv em primeiro lugar (pois deve ser uma diferencial de integração imediata.) dv = x e u = e x. Assim u = e x du = e x dv = x dv = x v = 2 x2

6 Exemplo: Integre xe x. 3. Substituição da fórmula u dv = u v v du e x x = 2 ex x 2 2 x 2 e x Note que a integral resultante é mais complicada que a integral proposta.

7 Exemplo: Integre xe x. 2. Nova escolha de u e de v. u = x du = dv = e x dv = e x v = e x 3. Substituição da fórmula u dv = u v v du x e x = x e x e x x e x = x e x e x + C x e x = e x x + C

8 Exercício : Integre x sen x.. Escolha de u e de v. u = x du = dv = sen x dv = sen x v = cos x 2. Substituição da fórmula u dv = u v v du x sen x = x cos x cos x x sen x = x cos x + cos x x sen x = x cos x + sen x + C

9 Exercício 2: Integre x 3 e x2.. Vamos reescrever a integral como: x 2 x e x2 2. Escolha de u e de v. u = x 2 du = 2x w = x 2 dw = 2x dv = x e x2 dv = x e x2 v = d x x ex2 d x = 2 ex2 2x d x = 2 ex2 d x 2 = 2 ex2 v = 2 ex2

10 Exercício 2: Integre x 3 e x2. Assim, u = x 2 du = 2x dv = x e x2 v = 2 ex2 3. Substituição da fórmula u dv = u v v du x 2 x e x2 = x 2 d x 2 2 ex2 2 ex2 2x x 3 e x2 = 2 x2 e x2 2 ex2 + C x 3 e x2 = 2 ex2 x 2 + C

11 Exercício 3: Integre I = ln x Escolha de u e de v. ln(w) = w w u = ln x 2 + du = x 2 + 2x 2. Substituição da fórmula dv = dv = v = x u dv = u v v du ln x 2 + = ln x 2 + x x ln x 2 + = x ln x x 2 + x 2 x 2 + 2x

12 Exercício 3: Integre I = ln x Considere x 2 x 2 + denominador (m = p), assim: x 2 + 0, note que o grau do numerador é igual ao grau do x 2 + x 2 então x 2 = x Voltando ao cálculo da Integral I ln x 2 + = x ln x ln x 2 + = x ln x 2 + ln x 2 + = x ln x x 2 x 2 + x 2 + ln x 2 + = x ln x x 2 + x 2 + x 2 + x 2 + x 2 + ln x 2 + = x ln x 2 + 2x + 2 arctg x + C

13 Exercício 4: Integre arcsen x.. Escolha de u e de v. u = arcsen x du = arcsen(w) = x 2 w w 2 dv = dv = v = x 2. Substituição da fórmula u dv = u v v du

14 Exercício 4: Integre arcsen x. 2. Substituição da fórmula u dv = u v v du arcsen x = arcsen x x x x 2 arcsen x = x arcsen x x 2 2 x z = x 2 dz = 2x arcsen x = x arcsen x x 2 arcsen x = x arcsen x 2 2 x x d x x arcsen x = x arcsen x + 2 x 2 2 d x 2 arcsen x = x arcsen x + x 2 + C

15 Exercício 5: Integre x n ln x, com n. Escolha de u e de v. u = ln x du = x dv = x n dv = x n v = xn+ 2. Substituição na fórmula: u dv = u v v du n+ ln x x n = ln x xn+ n+ xn+ n+ x x n ln x = xn+ n+ x n ln x = xn+ n+ x n ln x = xn+ n+ ln x ln x n+ ln x n+ x n xn+ n+ n+ + C