LIMITES E CONTINIDADE

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1 MATEMÁTICA I LIMITES E CONTINIDADE Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

2 Parte 1 Parte 2 Limites Infinitos Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função real com uma variável real Teorema da existência do ite Limite de funções elementares (polinomiais, potência, n-ésima raiz, exponencial, logarítmica e trigonométrica) Propriedades de ites Indeterminações Continuidade de Funções Definição Tipos de Descontinuidade Propriedades Limites Infinitos Definição Assíntotas: horizontal e vertical Limites Fundamentais

3 LIMITE DE UMA FUNÇÃO No cálculo e em suas aplicações, é comum estudar o comportamento de uma função y = f x quando x está numa vizinhança de um valor a, mesmo que a D f.

4 DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE Sejam a R e δ > 0 (suficientemente pequeno). Dizemos que x está na vizinhança (próximo) de a se x a < δ. O valor a é dito ite da variável x. Notação: x a. Exemplo. 0, ,999 1 então, 1 0,999 < δ

5 DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE No caso de uma variável real x, a aproximação do número a pode ser feita de duas maneiras: à direita e à esquerda. Limite à direita de a (valores maiores que a). Notação. x a + Limite à esquerda de a (valores menores que a). Notação. x a

6 LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM UMA VARIÁVEL REAL Seja a função f x = x + 4 definida para todo x R. Analisemos o comportamento de f x quando x assume valores próximos de 2, porém diferentes de 2. x f x x f x 1 3,00 3 1,00 1,5 2,50 2,5 1,50 1,7 2,30 2,3 1,70 1,9 2,10 2,10 1,90 1,99 2,01 2,01 1,99

7 LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM UMA VARIÁVEL REAL Note que na função f x = x + 4, quanto mais aproximamos x do valor 2 as diferenças x 2 e f x L se tornam suficientemente pequenas. Neste caso, x 2 f x = f 2 x 2 x + 4 = 2 y x

8 LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM UMA VARIÁVEL REAL Se a variável x se aproxima de a e os valores y = f x se aproximam de um valor real L, dizemos que: a função y = f x tem ite L ou tende a L, quando x tende para a. Notação: f x = L L f x 1 y y = f x Note que, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x a < δ e x x 0 f x L < ε a x 1 x

9 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DO LIMITE Dada uma função y = f x, dizemos que existe o ite de f x quando x tende ao ponto a, se existirem e forem iguais os ites laterais à direita e a esquerda de a, isto é: f x = L f x = + f x = L L

10 LIMITE DE FUNÇÃO Exemplo 2. Considere a função f(x) = 2x + 3. Determine, caso exista, x 0 f x. f x = x 0 x 0 2x + 3 = 3 y f x = x 0 + x 0 + 2x + 3 = 3 x Portanto x 0 f x = 3

11 LIMITE DAS FUNÇÕES ELEMENTARES Se m, a ε R, então mx + b = m a + b Portanto, para calcular o ite da função linear, f(x) = mx + b, quando x a, basta substituir a variável x pelo valor aproximado a. Observações: a) Fixando m = c uma constante e b = 0 temos: cx + 0 = cx = c a cx = c a b) Fixando m = 0 e b = k, k é uma constante, temos: 0x + k = k = k k = k o ite da constante é a própria constante.

12 Se n ε N, então Exemplos: LIMITE DA POTÊNCIA f x n = f a n a) Seja f x = x 2, quando x 3 temos que: x 3 x2 = 3 2 = 9 b) Seja f x = 3x 1 3, quando x 2 temos que : 125 x 2 3x = = 1

13 LIMITE DA N-ÉSIMA RAIZ Dada a função y = n f x, se n é par e f a > 0, ou n é ímpar, então: Exemplos: n f x n = f a a) Seja f x = x 2 + 5, quando x 2 temos que: x 2 x = = = 9 = 3 3 b) Seja f x = 3x 2 1, quando x 0 temos que : x 0 3 3x = = 1 = 1

14 LIMITE DA EXPONENCIAL Seja b R + e b 1, então: bf x = bf a Em particular, se b = e = 2,71, temos: Exemplos: ef x = f a e a) Seja f x = 2 3x 1, quando x 1 temos que: x 1 23x 1 = = = 2 2 = 4 b) Seja f x = e 3x 1, quando x 1 3 x 1/3 e3x 1 temos que : = e = e 1 1 = e 0 = 1

15 Seja b R + e b 1, então, se f x > 0: log b f x = log b f a, f a > 0 Em particular, se a base b = e = 2,71 (n. de Euler), temos: Exemplos: ln f x = ln f a, f a > 0 a) Seja f x = log x 2, quando x 10 temos que: x 10 log x 2 = log 10 2 = log 10 = 1 b) Seja f x = ln 5x 4, quando x 1 temos que : ln 5x 4 = ln = ln 1 = 0 x 1 LIMITE DO LOGARITMO

16 Função Seno: LIMITE DAS TRIGONOMÉTRICAS sen f x = sen f a Função Cosseno: cos f x = cos f a Função Tangente: tg f x = tg f a, com f a π + kπ 2

17 LIMITE DE POLINÔMIOS Para o polinômio de grau n, n N, dado por: p n x = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 temos que: p n x = p n a

18 PROPRIEDADES DE LIMITES LIMITE DA SOMA E DIFERENÇA f ± g x = f x ± g x LIMITE DO PRODUTO f g x = f x g x LIMITE DO QUOCIENTE f f x g x =, g x g x 0

19 INDETERMINAÇÕES Calcule o ite da função f x x 1. = 2x 2 x 1 quando Solução: x 1 2x 2 x 1 = x 1 2 x 1 x 1 = 2 Para tratar as indeterminações, pode-se manipular algebricamente e simplificar as expressões einando as indeterminações.

20 Parte 1 Parte 2 Limites Infinitos Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função real com uma variável real Teorema da existência do ite Limite de funções elementares (polinomiais, potência, n-ésima raiz, exponencial, logarítmica e trigonométrica) Propriedades de ites Indeterminações Continuidade de Funções Definição Tipos de Descontinuidade Propriedades Limites Infinitos Definição Assíntotas: horizontal e vertical Limites Fundamentais

21 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES No cotidiano, para descrever um fato que ocorre ou ocorreu sem interrupção, geralmente, usamos o termo Contínuo. o Ex.: medicamento de uso contínuo. Na matemática, usamos a expressão Contínua para funções e neste caso a noção é um pouco diferente da usada no cotidiano.

22 INDETERMINAÇÕES Uma função y = f(x) é dita contínua num ponto a se, e somente se, satisfaz às três condições simultaneamente: Se uma função não satisfaz todas as condições acima no ponto a, a função é dita descontínua (no ponto a) e a é um ponto de descontinuidade da função.

23 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Intuitivamente, dizemos que uma função é descontínua num ponto a se o seu gráfico tiver salto, degrau ou ruptura ao passar pelo ponto (a, f(a)). Essa função não é contínua, pois f a Essa função não é contínua, pois f x

24 TIPOS DE DESCONTINUIDADE a) Descontinuidade removível: as descontinuidades são criadas a partir da remoção de f(a). b) Salto: o gráfico salta ao passar a. c) Descontinuidade infinita: quando x a f x

25 PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS Se f e g são funções contínuas em a, então: i) (f + g)(x) = f(x) + g(x) é contínua em a. ii) (f g)(x) = f(x) g(x) é contínua em a. iii) (f g)(x) = f(x) g(x) é contínua em a. iv) f g (x) = f(x) g(x), g(a) 0, é contínua em a.

26 PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS Observação 2: Para calcular o ite das funções elementares contínuas, quando x tende ao ponto a, basta substituir x por a na expressão f(x), respeitando D f.

27 LIMITES INFINITOS Considere as funções com comportamento iitado quando x tende a a. Seja y = f(x) uma função definida por: y = 3 x 2 2 descontínua em x = 2. Qual o comportamento de y = f(x) na vizinhança de 2? y 2 x

28 ASSÍNTOTA VERTICAL A reta vertical x = a é chamada assíntota vertical do gráfico de uma função y = f(x), se y ± quando x a ou x a +. y y a x a x y y a x a x

29 LIMITES INFINITOS Seja y = f(x) uma função definida por y = 2x2 y x 2 +1 Note que, neste caso, temos uma assíntota horizontal em y = 2, assim: n 2x x = 2 x

30 ASSÍNTOTA HORIZONTAL A reta horizontal y = L é chamada assíntota horizontal do gráfico de uma função y = f(x), se y L quando x ou x. L L L L

31 DEFINIÇÃO DE LIMITES INFINITOS Se o ite de uma função cresce (ou decresce) iitadamente, quando x se aproxima de um valor a, dizemos que o ite é infinito (ou menos infinito). Notação: f x = ou f x =. Assim, temos uma descontinuidade infinita.

32 LIMITES INFINITOS Para f(x) = 3 x 2 2 temos que pois f x = x 2 + x 3 2,5 2,33 2,25 2,1 2,01 2,001 y Analogamente, f x x 2 =, pois x 1 1,5 1,66 1,75 1,9 1,99 1,999 y

33 LIMITES INFINITOS São considerados ites infinitos no infinito qualquer um dos 4 casos: y quando x y quando x y quando x y quando x

34 sen x LF1. x 0 x LIMITES FUNDAMENTAIS = 1 y x LF2. x ± 1 + k x se k = 1, x ± x = e k x x = e a LF3. x 1 = ln a x 0 x e se a = e, x 1 x 0 x = 1

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