Cálculo I 3ª Lista de Exercícios Limites

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1 Cálculo I ª Lista de Eercícios Limites Calcule os ites: a ( b + 5 c ( d e f 6 4 Resp. : a b 0 c /8 d / e 9 5 f Calcule os ites abaio: a 4 b + c d e f Resp.: a b4 c 7/ d / e f Calcule: a 4 ( b + ( c ( d e f g h Resp.: a + b + c d + e f g h

2 4 Calcule os ites: a + (+ b ( 4 5 c ( d ( 4 e ( 4 + Resp.: a+ b+ c+ d e 5 Calcule os ites: a + b ( j + d + ( ( ( e + ( ( 4 + f Resp.: a b c0 d e/5 f g h / g 6 ( ( h

3 Eercícios Complementares. Calculando-se, obtém-se a 0. b. c. d 4. e 6.. O é igual a a /9. b /7. c /4. d /4. e /54.. O valor de é a 0. b. c. d. e. 4. vale a 7e b e 7 c 7 e d 7 + e e 7 e 5. Julgue as afirmações abaio e marque a alternativa correta.

4 4 a I, II e III são falsas. b Apenas as afirmações I e II são falsas. c I, II e III são verdadeiras. d Apenas as afirmações I e III são falsas. e Apenas as afirmações II e III são falsas. 6. Calculando-se, obtém-se a /4. b /5. c /6. d /7. e /8. 7. Seja. O valor de k para oqual f( é contínua em = 4 é a. b 4. c 6. d 8. e Sobre a função foram feitas as afirmações abaio, sendo apenas uma verdadeira. Assinale-a: a Seu gráfico tem a reta = 4 como uma assíntota vertical. b Seu gráfico tem a reta y = 0 como uma assíntota vertical. c Seu gráfico passa pelo ponto (0,0. d e 9. é igual a a. b 0. c. d -. e Observando o gráfico correspondente à função f(, assinale a única alternativa incorreta:

5 5 a b c d e f( = Gabarito E E B D E C D C A C EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 4 Não eiste pois e EXERCÍCIOS ESPECIAIS a RESP 0 b RESP - c RESP / d RESP /

6 6 e RESP A a f RESP X g RESP h RESP / i RESP j RESP k RESP -/56 l RESP m RESP / n RESP -/ X o RESP p RESP : q RESP r RESP -/ LIMITES ENVOLVENDO INFINITOS Seja a função polinomial f( = a n n + na - n a + a + a 0 n Lim f ( = Lim an ± ± Para o cálculo de ite com ± toma-se o termo de maior grau da função e aplica-se o ite. Eemplos : Lim( + = Lim = Eercícios complementares:

7 Lim Lim Lim + 8 R 0 R 4/ R 4 Lim 4 + R ½

8 8 LIMITES DE FUNÇÕES Seja f ( uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a`, eceto possivelmente no próprio a`. Então, diz-se que o ite de f ( quando tende a a` ( a é L, e representa-se por f ( =L a se 0< a <δ para todo ε>0 há um número correspondente δ>0 tal que f ( L <ε sempre que 0< a <δ, isto é, se 0< a <δ f ( L <ε. Eemplo: Provar que ( 4 5 =7 Solução: (a Encontrar um valor para δ : Uma análise preinar do problema indica que se ε>0, deve encontrar-se um δ tal que ( <ε sempre que 0< <δ, mas ( = 4 =4 4 <ε sempre que 0< <δ, isto é, < ε 4 sempre que 0< <δ, logo δ= ε 4. (b Prova: Por tanto, dado ε>0, escolhe-se δ= ε 4, e se 0< <δ, então, ( = 4 =4 4 <4δ=4 ( ε 4 =ε Assim ( <ε sempre que 0< <δ, por tanto ( 4 5 =7 Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é, donde ( 4 5 = 4 5 = 5 =7 Eemplos:

9 9 a = =9 b (5+7 =5 4+ 7=7 4 c Em alguns eemplos o ite não é tão evidente. Seja a função f ( = 4 4, com, isto é, 4 4 f ( = = 0 0 Indeterminação, estudando-se esta função, tem-se que o domínio de f ( abrange todos os números reais, com eceção de = que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. Porém, ao se utilizar Baskara no numerador, ou seja, a +b+c=0 = b ± b 4 ac. a Assim, = 4 ± = 4 ± { = = / f ( = 4 4 ( + ( = = + 8 Y X f ( =+ Ponto (, 8 deve ser ecluído do gráfico, pois naquele ponto a função é indefinida. O gráfico mostra que para aproimando de, f ( se aproima de 8, mas se substituir-se = na a epressão, f ( não está definida naquele ponto.

10 0 Desta forma, tem-se que f ( = 4 4 = ( + ( = + =8, Eercícios: = 0 0 Indeterminação, onde substituição direta novamente anula o denominador e o numerador, e a função é indefinida neste ponto. Porém, obtendo-se as raízes do numerador, ou seja, ( 4( + 4 =( + 4 =8 y=+4 4 ( 4 4 Em f ( = +4, o ponto ( 4, 8 deve ser ecluído do gráfico, pois 4, pois o domínio de f ( é: D: { R / (,4 ( 4, } e tem como imagem I : { y R / (,8 (8, }.. - Propriedades dos Limites a a a [u±v ]= a (u± ( v para u=u ( e v=v ( a [C (u ]=C (u para u=u ( e C é uma constante a [u v ]= a (u (v para u=u ( e v=v ( a 4 a[ (u (u (v ] = a ( v a para u=u ( e v=v (

11 5 a (u m = [ (u a ] m para u=u ( 6 m u= m (u para u=u ( a a 7 a (log a u=log a [ (u para u=u ( a ] 8 a (u v = [ a (u ] (v a para u=u ( e v=v ( 9 0 =0, 0 + =0, 0 =+, (+ + =+, e (+ =0, ( ± +k =±, ( ± k =0 0 Indeterminações de ites:, 0, 0 0,, 0, 0 0, ± Eemplos: = + = 9 4 = +4 + = 0 0 Indeterminação Como toda indeterminação deve ser levantada, tem-se Solução: Deve-se, primeiramente, encontrar as raízes do polinômio superior, isto é, 4 ± +4 +=0 = 6 (Baskara = 4 ± { = = a +b+c=( ( +4+=( + ( + donde,

12 ( z + ( z + z (z Então, deve-se encontrar as raízes do polinômio inferior, isto é, z =0 z = z=± z =( z ( z+ assim, ( z + ( z + ( z (z + = ( z + ( z = = z z = 0 0 ( ( = ( = = 0 0 Indeterminação Neste caso, para einar a indeterminação 0 0 (a+b (a b =a b. Desta forma, tem-se:, se deve racionalizar o numerador, isto é, 0 4+ = = 0 [ 4+ ] [ 4++] = = 4 ++ = Limites Notáveis Um ite considerado notável é o do seno, que ocorre porque quando o ângulo (ou arco α tende a diminuir, o valor do sen (a tende a ficar igual a este arco, em valor, de forma que o seu quociente tenda para, e o ite notável no caso é.. - Limite do seno sen ( α α s, se

13 6 Calcular sen (5 0 faz-se 5=t = t 5, para 0 t 0 sen (t t 0 t /5 = t 0 sen ( 7 0 sen ( = 0 5 sen (t t sen ( sen ( sen (t =5 =5 ( =5 t 0 t = ( ( ( ( = tan ( 8 = 0 0 ( sen ( cos ( ( = sen ( 0 0 ( cos ( =( ( = Limite que define o número e O número "e", usado como base do logaritmo natural é obtido pela epressão abaio. y= ( + =e y 0,597 00, , ,78 e=, 7888 Eemplo: ( + a =e a põe-se a = z =az para z

14 4 ( + a = z ( + z =[ az z ( + z z] a =e a Limites infinitos de funções racionais Se a função for do tipo y= [P ( /Q( ], isto é, y= ( a n n +a n n +a n n + +a +a +a 0 m + m + m + +b +b +b =, 0 que é uma indeterminação. E para resolver esta indeterminação, basta dividir o numerador e o denominador pela variável independente elevada à maior potência que aparecer na fração. Assim, se n>m, tem-se: an y= ( n +a n n +a n n + +a +a +a 0 n m + m + m + +b, +b +b 0 n n an ( n y= + a n n n m + n n m + a n n n + n m + + a + a n + a 0 n n + + b + b n + b, 0 n n y= ( a n + a n + a n + + a a n + + a 0 n n n m + n m+ + n m b n + b e passando ao ite, tem-se: y= a n = a n 0 =. + b 0 n n,

15 5 an Se m>n, tem-se: y= ( n +a n n +a n n + +a +a +a 0 m m + m + m + +b, +b +b 0 m n an ( m y= + a n n m m + m m m + a n n m + m m + + a + a m + a 0 m m + + b + b m + b, 0 m m y= n an ( + a n m n + a n n m+ + + a a n m + m + a m + 0 m b + b b m m + 0 m e passando ao ite, tem-se: y= = 0 =0. Se n=m, tem-se:, an y= ( n +a n n +a n n + +a +a +a 0 n m + m + m + +b, +b +b 0 n an y= ( n +a n n +a n n + +a +a +a 0 n b n n +b n n +b n n + +b, +b +b 0 n

16 6 n an ( n y= + a n n n b n n + b n n n n + a n n n + b n n n + + a + a n + a 0 n n + + b n + b + b, 0 n n a n+ y= ( a n + a n + + a + a n + a 0 n n b n + b n + b n + + b + b n b n + 0 n, e passando ao ite, tem-se: y= a n b n = a n b n. Desta forma, pode colocar-se a regra geral: Independente de qual dos três casos for considerado, todos os ites menos os de maior epoente, tanto no dividendo quanto no divisor irão anular-se, ou seja, y= ( a n n +a n n +a n n + +a +a +a 0 m + m + m + +b +b +b 0 y= ( a n n m = ( a n n m ( n m = a n b. m Assim, se n>m Eemplos: ( y=, se n=m y= a n e se m>n y=0. 5, o resultado daria (indeterminação Aplicando a técnica eposta anteriormente se tem: ( 5 ( = 5 = 5 ( = 5 0 =5,

17 7 ou simplesmente 5 ( = ( 5 = 5 Calcular o ite ou ( + = ( ( + ( + + = ( + ( = = = Calcular o ite ou ( ( ( = ( = = 5 7 = ( =5 (= = ( + = ( 5 ( 7 5 (7 + = = 0 = = 5 7 ( = 5 7 = 5 7 ( = Calcular o ite (7 + = [ ( 7 + ] = [ ( 7 ] + = [ (0+ ]

18 8 [ (0+ ]= ( = = ( = ( ou simplesmente (7 + =7 ( + ( = + = Limites Laterais a Definição: Diz-se que o ite esquerdo de f ( quando tende a a (ou que o ite de f ( quando tende a a pela esquerda é L e representa-se por f ( =L a se for considerado que tende a a pela esquerda, isto é, <a. Eemplo: π [tan ( ]= π [ sen ( sen ( cos ( ] π = cos ( π = +0 =+ 0 =+ b Definição: Diz-se que o ite direito de f ( quando tende a a (ou que o ite de f ( quando tende a a pela direita é L e representa-se por f ( =L a + se for considerado que tende a a pela esquerda, isto é, <a. Eemplo: π + [ tan ( ]= π +[ sen sen ( ( cos ( ] π = cos ( π + + = 0 = 0 =

19 9 EXERCÍCIOS: Resolver os ites abaio: (+h 9 6. h 0 h h h 0 h (+ y / y y 0 5. ( (+ay / y y 0 0 (7 +