Limites: Noção intuitiva e geométrica

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1 Eemplo : f : R {} R, f sen a Gráfico de f b Ampliação do gráfico de f perto da origem Limites: Noção intuitiva e geométrica f Apesar de f não estar definida em, faz sentido questionar o que acontece com os valores de f, quando move-se ao longo do eio na direção do ponto zero. Profa. Magda Cálculo A Eemplo : f : R {} R, f sen Profa. Magda Cálculo A Eemplo : f : R {} R, f sen O que acontece com os valores de f, a quando aproima-se de zero pela direita por valores maiores que zero? O que acontece com os valores de f, b quando aproima-se de zero pela esquerda por valores menores que zero? f f Dizemos que o ite à direita de f, quando aproima-se de zero por valores positivos, é. Denotamos sen. + }{{} ite lateral de f em zero Dizemos que o ite à esquerda de f, quando aproima-se de zero por valores negativos, é. Denotamos sen }{{} ite lateral de f em zero Profa. Magda Cálculo A 3 Profa. Magda Cálculo A 4

2 Eemplo : f : R {} R, f sen Como os ites laterais eistem e são iguais, dizemos que o ite de f, quando aproima-se de zero, é e, denotamos por: sen }{{} ite de f em zero. Note, que apesar de f não estar definida em, fez sentido investigar o que acontece com os valores de f, quando move-se ao longo do eio na direção do ponto zero. Os ites calculados, neste eemplo, foram baseados em evidências numéricas a partir de valores selecionados de. Pode ocorrer que diferentes escolhas de conduzam a diferentes conclusões para o valor do ite. Vamos ver o próimo eemplo. Profa. Magda Cálculo A 5 Eemplo : f : R {} R, f sen π π Vamos ver que nem mesmo eiste sen. Para isso, considere para + cada n par, o valor de correspondente a esse n como sendo n n +. Estes valores são mostrados na tabela abaio. /5 /9 /3 f Por outro lado, considerando para cada n ímpar, n n +, temos: Eemplo : f : R {} R, f sen f.5. Os valores calculados na Tabela acima podem nos conduzir a concluir que π π sen + sen. Mas, pelo gráfico de f, isso é incorreto pois os valores de f oscilam entre e, conforme aproima-se de zero. Profa. Magda Cálculo A 6 Apesar de evidências numéricas poderem nos conduzir a conclusões errôneas sobre ites, os cálculos numéricos podem ser utéis como um ponto de partida para o estudo de ites. π /3 /7 / f Então, quando aproima-se de zero pela direita, os valores de f não se aproimam de valor algum. Ou seja, o ite lateral à direita não eiste, o mesmo ocorre com o ite lateral à esquerda. Consequentemente, também não eiste o ite, quando tende a zero. Profa. Magda Cálculo A 7 Profa. Magda Cálculo A 8

3 Atividade Atividade Observe a Figura e responda: Observe a Figura e responda: y y 5 y f f 3 f não está definida em 3! f f f 9 5 y f f 3 9 f f f Profa. Magda Cálculo A 9 Atividade 3 Profa. Magda Cálculo A Observe a Figura e responda: f Observe que pelas atividades e, que quando aproima-se de 3, o valor do ite não depende do valor da função nesse ponto. 3.5 y f 3 4 f.5 + f 3 f f Este ite não eiste! Profa. Magda Cálculo A Profa. Magda Cálculo A

4 Atividade 4 Atividade 5 Observe a Figura e responda: Observe a Figura e responda: f f 3 y f 3 y f f f f não está definida em! + f 3 f + f 3 f f Este ite não eiste! f Este ite não eiste! Profa. Magda Cálculo A 3 Profa. Magda Cálculo A 4 Observe que: também, pelas atividades 3, 4 e 5, que quando aproima-se de, o valor do ite não depende do valor da função nesse ponto. f L, se e somente se f L e a a + f L. a Limite: Definição, Eistência e Unicidade Profa. Magda Cálculo A 5 Profa. Magda Cálculo A 6

5 Definição de Limite Definição de Limite Laterais Definição Seja I um intervalo aberto de R, a I. Seja f função definida em I, eceto possivelmente em a. Dizemos que o ite de f, quando aproima-se de a, é L, e escrevemos f L, a se para todo ɛ >, eiste um δ > tal que se < a < δ então f L < ɛ. Definição: ite lateral à direita Dizemos que um número L é o ite lateral à direita de f, quando aproima-se de a pela direita, e escrevemos f L, a + se para todo ɛ >, eiste δ > tal que se a < < a + δ então f L < ɛ. Definição: ite lateral à esquerda Dizemos que um número L é o ite lateral à esquerda de f, quando tende a a pela esquerda, e escrevemos f L, a se para todo ɛ >, eiste δ > tal que se a δ < < a então f L < ɛ. Profa. Magda Cálculo A 7 Eistência e Unicidade do Limite Profa. Magda Cálculo A 8 Eistência do ite Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, eceto possivelmente em a. Dizemos que: a f L, se e somente se a f L e f L. + a Propriedades do Limite e ites básicos Unicidade do Limite Se a f L e a f L, então L L. Profa. Magda Cálculo A 9 Profa. Magda Cálculo A

6 Propriedades Consequências Suponha que a f e a g eistam. a c c, onde c é uma constante real. a a 3 a f + g a f + a g 4 a f g a f a g 5 a f f g a a g, desde que a g a f + f + + f n a f + a f + + a f n a f f f n a f a f a f n n. n 3 f n f Logo, n a n a a a a 4 a k f a k a f k a f. 6 n f n f, se f > e n é um inteiro ou se a a a f < e n é um inteiro positivo ímpar. a Profa. Magda Cálculo A Profa. Magda Cálculo A Teorema: Para qualquer função polinomial e qualquer número real a, p b + b + b + + b n n p pa. a Demonstração: p a b + b + b + + b n n a b + b + b + + b n n a a a a b + b + b + + b n n a a a b + b a + b a + + b n a n pa Calcule: Profa. Magda Cálculo A 3 Profa. Magda Cálculo A 4

7 Calcule: Calcule: Profa. Magda Cálculo A 5 Profa. Magda Cálculo A 6 Calcule: Limites de funções partidas 7 a 3 + b 3 a + ba ab + b a 3 b 3 a ba + ab + b Profa. Magda Cálculo A 7 Profa. Magda Cálculo A 8

8 Calcule os ites laterais e o ite de f, caso eistam, no ponto a indicado. f + 3, a 3 Note que não eiste lateral à esquerda, ou seja, não eiste f, pois 3 3 não é um número real se < 3. Vamos, então, calcular apenas 3 + f Calcule os ites laterais e o ite de f, caso eistam, no ponto a indicado., f, a, Temos que f + f Logo, como f f, segue que não eiste f. + Profa. Magda Cálculo A 9 Tarefa Profa. Magda Cálculo A 3 Calcule os ites laterais e o ite de f, caso eistam, no ponto a indicado. { 4, 3 f +, >, a Temos que: f + f Logo, como f f, segue que f 3. + Calcule: a 3 + h b h h + c Profa. Magda Cálculo A 3 Profa. Magda Cálculo A 3

9 TAREFA Calcule os ites laterais e o ite de f, caso eistam, no ponto a indicado. +, < a f,, a 9, > b f 3 3, a 3 Respostas TAREFA a 3 3 3, R, >, pois Profa. Magda Cálculo A 33 Respostas TAREFA Outra Profa. Magda Cálculo A 34 Respostas TAREFA + h b h h a 3 3 { } t 6. Logo, qdo, segue que t 6. Ou seja, t t t t 3 3 Tarefa: Finalize o eercício! + h h h h + h + h h h h + h h h h + h h h + h h + h h + Profa. Magda Cálculo A 35 Profa. Magda Cálculo A 36

10 Respostas TAREFA c Profa. Magda Cálculo A 37