, quando h se aproxima de zero ou, usando notação matemática, precisamos calcular o. = lim

Transcrição

1 Capítulo 6 Limite de Funções 6. O conceito de ite No Capítulo 5, determinamos a inclinação da reta tangente à parábola y = f() = a +b +c num ponto ( 0, f( 0 )). O método empregado consistiu em obter esta inclinação a partir das declividades das retas secantes que passam pelos pontos ( 0, f( 0 ))e ( 0 + h, f( 0 + h)), tomando valores arbitrariamente pequenos para h, isto é, fazendo h tender a zero. Este método pode ser empregado para uma função f qualquer. De fato, para determinar a declividade da reta tangente a uma curva qualquer y = f() basta estudar o comportamento do quociente f( 0+h) f( 0 ) h, quando h se aproima de zero ou, usando notação matemática, precisamos calcular o h 0 f( 0 + h) f( 0 ) h = f() f( 0 ) 0 Para que isso seja possível, é preciso aprofundar um pouco mais o estudo do conceito matemático de ite. Começaremos este estudo de maneira intuitiva, por meio de alguns eemplos. Eemplo Vamos estudar o comportamento da função f definida por f() = + para valores de próimos de. A primeira tabela a seguir mostra os valores de f() quando se aproima de por valores menores do que. Neste caso, dizemos que se aproima de pela esquerda. A segunda mostra os valores de f() quando se aproima de por valores maiores do que, isto é, quando se aproima de pela direita. f() Veja este comportamento ilustrado no gráfico abaio: y4 3 0 f() Tanto as tabelas acima quanto o gráfico da parábola mostram que à medida que se aproima de quer pela direita, quer pela esquerda, f() se aproima de 4, ou seja, podemos fazer f() ficar tão perto de 4 quanto quisermos, bastando para isso tomarmos suficientemente próimo de. Para descrever este comportamento matematicamente, usamos a notação (Lê-se: o ite de f(), quando tende a, é 4). ( + ) = 4

2 7 Cap. 6. Limite de Funções De um modo geral, dizer que f() = L significa que, à medida que se aproima de 0, os valores de f() ficam próimos de L, e, mais do que isso, podemos melhorar cada vez mais esta aproimação, isto é, podemos tornar a diferença entre f() e L, em valor absoluto, tão pequena quanto quisermos, bastando para isso escolher suficientemente próimo de 0. Usando as tabelas construídas neste eemplo, verifique quão próimo deve estar de, para que f() 4 < 0, 0. Na definição de ite, dizer que se aproima de 0 significa que, para o cálculo de ites, podemos tomar bem pertinho de 0, sem que seja igual a 0. De fato, para o cálculo de ites não interessa o valor da função no ponto = 0, mas somente como a função f se comporta perto deste ponto. Este fato é ilustrado nos gráficos a seguir. No primeiro deles, f não está definida em = ; no terceiro, f() ; nos dois casos temos que f() = Eemplo Nesse eemplo estudaremos o comportamento da função f() = 3 para valores de próimos de. Graficamente temos: Para observar numericamente o comportamento dessa função, estude as tabelas dadas a seguir. Na primeira, a função f é calculada para uma seqüência de valores de se aproimando de, pela direita. Na segunda, calculamos f() quando se aproima de, pela esquerda

3 W.Bianchini, A.R.Santos 73 O gráfico e as tabelas acima sugerem que ( ) 3 = 8. Eercício Considere a função f() = 3.. Usando o método descrito acima, tente achar um provável valor para 3.. Determine quão próimo deve estar de para que 3 8 <.000. Eemplo 3 Vamos estudar agora o comportamento da função g, cuja definição e gráficos são dados abaio à esquerda, para valores de próimos de. Observe, graficamente, o que ocorre com essa função nas proimidades do ponto no gráfico à direita. > g:=piecewise(<,-,>=,+); { < g := Observe separadamente o comportamento desta função quando se aproima de pela esquerda (primeiro gráfico) e pela direita (segundo gráfico) Observe, agora, numericamente, esse comportamento. Na primeira tabela, se aproima de pela direita. Na segunda, pela esquerda. g() g() Notamos, nesse caso, que o comportamento de g() difere daquele dos eemplos anteriores, pois a função assume diferentes valores quando se aproima de pela direita ou pela esquerda. As tabelas acima sugerem que quando se aproima de pela direita a função g() se aproima de e, quando se aproima de pela esquerda, g() se aproima de. A notação matemática para essa situação é g() = e g() =. +

4 74 Cap. 6. Limite de Funções (Lê-se: o ite de g() quando tende a pela direita é e o ite de g() quando tende a pela esquerda é.) Esses ites são chamados, respectivamente, ite lateral à direita e ite lateral à esquerda. Quando, como nesse caso, os ites laterais são diferentes, dizemos que a função não tem ite no ponto = 0. Assim, o ite de uma função em um ponto 0 eiste, quando os ites laterais eistem e são iguais. Confirme essa afirmação para as funções estudadas nos eemplos anteriores. Eercício Estude o comportamento da função f() = f() e conclua se eiste o 0 0 Sugestão: Qual o valor de f() para > 0? E para < 0? para valores de próimos de zero, isto é, calcule 0 + f() e f(). Como nos eemplos anteriores, faça uma análise gráfica e numérica. Eemplo 4: Uma aplicação Retornemos, agora, ao problema estudado no capítulo anterior, de encontrar a inclinação da reta tangente à parábola y = f() = no ponto 0 =. Como vimos, este problema é equivalente a estudar o comportamento da função g() = f() f( 0), quando se aproima de 0. 0 Como nos eemplos anteriores, faremos uma análise gráfica e numérica. As tabelas a seguir mostram o comportamento desta função quando se aproima de. A tabela da esquerda mostra o comportamento do quociente g() = quando se aproima de pela esquerda, isto é, por valores menores que. A outra tabela mostra este mesmo comportamento quando se aproima de pela direita, ou seja, por valores maiores que. Nos dois casos, à medida que se aproima de os valores do quociente se aproimam de. Observa-se este mesmo comportamento no gráfico da função g mostrado ao lado As tabelas e o gráfico sugerem que g() =. Neste eemplo, este ite representa a declividade da reta tangente à curva f() = no ponto 0 =. Repare, uma vez mais, que ao estudarmos o ite de uma função num ponto 0, estamos interessados em conhecer o que acontece com os valores dessa função nas proimidades do ponto 0. Este comportamento independe do valor da função em 0, visto que esta função, como neste eemplo, nem ao menos precisa estar definida nesse ponto! O ponto (, ) aparece no gráfico anterior marcado por um pequeno disco para enfatizar que o ponto = não pertence ao domínio da função g. Para, temos que g() = + pois, nesse caso, podemos simplificar a epressão que define g e obter = ( + ) ( ) = +. A notação g() = significa que à medida que os valores de se aproimam de quer pela direita, quer pela esquerda, os valores de g se aproimam de, e que podemos tornar a diferença g() tão pequena quanto quisermos, bastando para isso escolhermos suficientemente próimo de, sem nunca, no entanto, alcançar este valor. Repare a mensagem emitida pelo Maple quando tentamos calcular a função g no ponto =. > g(); Error, (in g) division by zero

5 W.Bianchini, A.R.Santos 75 Neste eemplo: - Quão próimo deve estar de 0 para que a distância de g() a seja menor que /00? - Quão próimo deve estar de 0 para que a distância de g() a seja menor que /000? No eemplo acima, vimos que embora g() não esteja definida em 0 =, os valores de g() se aproimam de à medida que se aproima de, e se quisermos tornar a diferença entre g() e menor que /0 basta tornarmos a diferença entre e 0 menor que /0; se quisermos que g() < 00, basta fazermos 0 < 00. Eperimente! Eemplo 5: Limites infinitos Considere agora a função y = f() =. Pode-se concluir imediatamente que y sempre será positivo e que y não está definido quando = 0. Mas o que acontece quando se aproima de zero? Observe as tabelas a seguir. A da esquerda mostra o comportamento desta função para valores de positivos e se aproimando de zero. A da direita, mostra o comportamento desta função para valores negativos de se aproimando de zero Neste caso, notamos que à medida que se aproima de zero, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores correspondentes de f() eplodem, isto é, crescem, sem ite, em valor absoluto. Dizemos, então, que quando tende a zero a função tende a +. Em notação matemática escrevemos f() = ou f() quando 0. 0 Observe esse comportamento no seguinte gráfico (Veja o teto eletrônico): Note que, neste eemplo, à medida que se aproima de zero, os valores de f() não se aproimam de nenhum número, portanto o f() não eiste. A notação f() = serve, somente, para indicar que podemos tornar os 0 0 valores de f() arbitrariamente grandes, bastando para isso tomarmos suficientemente próimo de zero. Na notação usada acima para indicar este comportamento, não estamos considerando como um número, nem afirmando que o ite eiste. Ela serve somente para indicar a maneira especial como a função se comporta perto do zero. Você é capaz de dar outros eemplos de funções que apresentem este mesmo comportamento? Considere a função g() = e analise o seu comportamento quando se aproima de zero. Você poderá verificar que g() decresce sem ite, isto é, tende a. Neste caso escrevemos g() =. 0 Nos dois casos acima, quando se aproima de zero o gráfico da função se aproima da reta = 0. A reta = 0 é chamada de assíntota vertical ao gráfico da função y = g(). Eemplo 6: Limites no infinito

6 76 Cap. 6. Limite de Funções Considerando novamente a função f() =, vamos agora observar o que acontece com os seus valores quando cresce em valor absoluto e se torna muito grande. As tabelas seguintes mostram os valores de f calculados para valores positivos de, sucessivamente crescentes e para valores de sucessivamente decrescentes, respectivamente: Veja no teto eletrônico a animação gráfica correspondente. Nesse caso dizemos que o ite da função é zero quando tende para + ou, isto é, quando cresce sem ite ( + ) ou quando decresce sem ite ( ). Em notação matemática escrevemos: f() = 0 e f() = 0 Novamente, os símbolos + e não são números. Estes símbolos indicam somente que estamos considerando valores de cada vez maiores, em valor absoluto. Observe também que, quando cresce em valor absoluto, isto é, + ou, o gráfico da função se aproima da reta y = 0. Nesse caso, a reta y = 0 é chamada de assíntota horizontal ao gráfico da função f. 6.. Assíntotas ao gráfico de uma função Pelos dois eemplos anteriores, intuitivamente podemos concluir que uma reta é uma assíntota ao gráfico de uma função quando, à medida que um ponto se move ao longo da curva, a distância desse ponto à reta se aproima de zero indefinidamente, sem nunca chegar a zero. As definições a seguir epressam as idéias de assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de uma função y = f() em termos matemáticos mais precisos: Assíntota vertical Dizemos que uma reta = a é uma assíntota vertical ao gráfico de uma função y = f() se uma das condições se verifica: f() =, f() =, f() = ou + + f() =. Assíntota horizontal Dizemos que uma reta y = a é uma assíntota horizontal ao gráfico de uma função y = f() se f() = a ou se f() = a. Você é capaz de definir uma condição que permita determinar quando uma reta y = m + b é uma assíntota inclinada ao gráfico de uma função y = f()? (Veja Problema 9 da Seção Problemas Propostos). É possível determinar uma condição que permita afirmar quando uma função f() se aproima de uma outra função qualquer, não necessariamente uma reta, quando + ou quando? (Veja Projeto: Assíntotas e outras funções itantes).

7 W.Bianchini, A.R.Santos Eercícios. Para a função f cujo gráfico é dado a seguir, estime o valor dos seguintes ites, caso eistam: (a) f() (d) f() (g) f() (b) f() (e) f() (h) f() 0 (c) f() (f) f() 4 3 y Para a função f cujo gráfico é dado a seguir, estime os seguintes ites, caso eistam: (a) f() (c) f() (e) f() π + π (b) f() π (d) π f() π + (f) f() π 6 4 y Determine as equações das assíntotas verticais. se < se < 3. (a) Esboce o gráfico da função g() = 4 se = 4 se > (b) Use o gráfico esboçado no item anterior para estimar o valor dos seguintes ites, caso eistam: i. ii. iii. + iv. v. vi. g() g() 4. Considere a função y =. g() + (a) Qual o seu domínio? (b) Quais suas assíntotas? (c) Qual o comportamento da função quando se aproima de zero pela direita? E quando se aproima de zero pela esquerda? (d) Esboce o gráfico dessa função escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais características. 5. Considere a função y =. (a) Qual o seu domínio? (b) Quais suas assíntotas? (c) Descreva o comportamento da função no ponto =. (d) Esboce o gráfico dessa função escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais características. 6. (a) Determine o domínio, a imagem e as assíntotas da função y = +. (b) Qual o comportamento desta função no ponto = 0? (c) Esboce o seu gráfico.

8 78 Cap. 6. Limite de Funções 6. Definições Na seção anterior, calculamos intuitivamente ites de funções por meio da análise dos seus gráficos e também pela observação de tabelas que listavam valores de pontos do tipo (, f()). Essas pesquisas gráficas e/ou numéricas são úteis para obter informações preinares e nos ajudar a prever um valor para o ite procurado. Embora, na maioria das vezes sugiram o valor correto do ite (veja nas atividades de laboratório alguns eemplos onde este procedimento conduz a conclusões erradas), não constituem uma demonstração no sentido em que os matemáticos a entendem. Para obtermos uma demonstração, no sentido matemático do termo, de uma afirmação envolvendo ites, torna-se necessário definir com rigor e precisão o que significam epressões do tipo à medida que se aproima de o, os valores de f() se aproimam de L ou podemos tornar a diferença entre f() e L, em valor absoluto, tão pequena quanto quisermos, bastando para isso considerar bastante próimo de o, sem no entanto nunca atingir esse valor. Na verdade, o significado preciso de epressões do tipo acima foi alvo de discussões acaloradas e acirradas entre os matemáticos durante séculos. Foi somente no final do século XIX que o matemático alemão Karl Weierstrass (85-897) formulou a definição de ite que usamos nos dias de hoje e que apresentamos a seguir. 6.. Definição : Limite de uma função em um ponto Na seção anterior, concluímos que, dada uma função y = f(), dizemos que L é o ite de f() quando se aproima de 0 ou quando tende a 0, se pudermos tornar a diferença entre f() e L tão pequena quanto quisermos, bastando para isso considerar suficientemente próimo de 0. Nesse caso escrevemos f() = L. O ponto central nessa idéia é o de que podemos obter estimativas do valor ite e que estas estimativas, para qualquer propósito prático, podem estar tão próimas quanto se queira do valor eato. Para isso começamos com uma função m() que nos dá uma família de estimativas. Imagine, por eemplo, uma função m que, para cada valor de, nos dê uma estimativa para a declividade da reta tangente à curva y = f() no ponto 0 = 0, 5. Neste caso, m() = f() f(0, 5) 0, 5 que é a declividade da reta secante que passa pelos pontos ( 0, f( 0 )) e (, f()). Eiste um valor ideal que gostaríamos que assumisse. Neste eemplo, a declividade eata da reta tangente seria obtida quando o segundo ponto (, f()), coincidisse com o primeiro ( 0, f( 0 )) e, conseqüentemente, a reta secante coincidisse com a reta tangente. Este valor ideal na realidade, é impossível de ser atingido. Verifique no eemplo dado, que a função m não está definida para = 0, 5. Na maioria das aplicações práticas, não necessitamos da resposta eata, mas de uma resposta aproimada com um certo erro permitido. A letra grega ε é, tradicionalmente, usada para denotar este erro permitido. Dependendo da situação o erro ε pode ser grande ou muito, muito pequeno. Para cada erro permitido, eiste uma tolerância, de tal maneira que se dista do valor ideal 0 menos do que a tolerância, então a estimativa está dentro do padrão de erro tolerado, isto é, a diferença entre o valor eato e o valor aproimado encontrado, em valor absoluto, é menor do que o erro permitido. Colocando estas idéias em termos matemáticos precisos, temos a definição abaio. Definição: A epressão f() = L significa que para todo erro permitido ε > 0, não importa quão pequeno ele seja, eiste uma tolerância δ > 0, tal que se 0 < 0 < δ então f() L < ε. A figura a seguir ilustra essa definição:

9 W.Bianchini, A.R.Santos 79 y = f() L + ε L L - ε o -δ o o +δ Os pontos do gráfico de y = f() que satisfazem a desigualdade f() L < ε são os pontos que estão entre as duas retas horizontais y = L ε e y = L + ε (por quê?). Este é o afastamento (erro) permitido do valor eato L. Da mesma forma, os pontos desse gráfico que satisfazem a desigualdade 0 < δ são aqueles que estão entre as retas verticais = 0 δ e = 0 + δ. Esta é a faia de tolerância. Dessa maneira, a definição de ite nos diz que: sendo dadas duas retas horizontais y = L ε e y = L + ε (ε > 0), faia de erro permitido, é possível escolher duas retas verticais = 0 δ e = 0 + δ (δ > 0), faia de tolerância, de tal maneira que se estiver dentro da faia de tolerância, f() estará dentro da faia de erro permitido. (Veja a animação no teto eletrônico.) Repare ainda que não importa quão próimas estejam as retas horizontais (isto é, quão pequeno seja ε, o erro permitido), sempre será possível determinar duas retas verticais faia de tolerância tais que sempre que estiver dentro da faia de tolerância, f() estará dentro da faia de erro permitido. Observe a veracidade desta afirmação ilustrada no diagrama a seguir. Eecute a animação correspondente no teto eletrônico. Está claro, agora, para você o significado geométrico da frase: podemos tornar a distância f() L tão pequena quanto quisermos, bastando para isso considerar suficientemente próimo de 0? Repare, mais uma vez, que o valor do ite de uma função f() em um ponto 0 não tem necessariamente relação com o valor desta função neste ponto. Este é um importante aspecto do estudo de ites. Uma função não precisa estar necessariamente definida no ponto 0 para que eista o ite de f() em 0, basta apenas que a função f esteja definida em alguma vizinhança restrita de 0, isto é, em um conjunto obtido de um intervalo aberto contendo 0, ecluindo-se esse ponto. Por eemplo, para estudar o f() basta que f esteja definida em intervalos abertos do tipo ( 0 0.5, 0 ) e ( 0, ) ou ( 0 0., 0 ) e ( 0, ) ou equivalentes. Eemplo Vamos usar a definição acima para provar rigorosamente que = 5. Para isso é preciso descobrir um modo de achar um valor de δ (tolerância) que torne verdadeira a implicação eistente na definição de ite, qualquer que seja o valor de ε (erro permitido) dado. O método de achar δ depende da função f e dos valores de 0 e de L. Dado ε > 0, deve-se achar δ > 0 tal que Ora, (3 4) 5 < ε se 0 < 3 < δ. (3 4) 5 = 3 9 = 3 3. Assim, se tomarmos δ = ε 3, teremos que a desigualdade 3 < ε 3 como queríamos. implicará que (3 4) 5 = 3 9 = 3 3 < 3ε 3 = ε,

10 80 Cap. 6. Limite de Funções Logo, qualquer que seja o número ε > 0 dado a priori, basta escolher δ = ε 3 para obtermos as desigualdades desejadas. Este eemplo ilustra também o fato de que o número δ é, em geral, escolhido em função do número ε. Eercício Tendo em vista a relação obtida acima para o valor de δ, calcule quão perto deve estar de 3 para que 3 4 diste de 5 menos do que Eemplo Vamos provar que = 7. Para isso, dado ε > 0, precisamos achar δ > 0 tal que (3 + 5) 7 < ε toda vez que tivermos 0 < < δ. Como (3 + 5) 7 = 3 4 = 3 +, a idéia é provar que 3 + pode tornar-se tão pequeno quanto se queira, desde que se escolha suficientemente pequeno. Para isso, basta observar que se é suficientemente pequeno, o valor de + = ( ) não pode ser muito grande. Assim, por eemplo, se <, então + < 5, portanto, < (3 + 5) 7 < 5 ( ) Por sua vez, para tornarmos essa última epressão menor do que ε, basta escolhermos < escolhendo δ como o menor dentre os dois números e ε 5, teremos que, se 0 < < δ, então (3 + 5) 7 < 5 < ε, ε 5. Assim, como queríamos demonstrar. Note que a primeira desigualdade vale porque δ < e portanto (*) é verdadeira e a última desigualdade vale porque δ < ε 5, portanto, < ε 5. Eercício Tendo em vista a demonstração anterior, calcule δ para que diste de 7 menos do que Eercício 3 Considere f() = 3. Dado ε =.000 determine 0 < δ que satisfaça a definição de ite para 0 =, isto é, determine quão próimo deve estar de para que 3 8 <.000 Eercício 4 Aplique a definição de ite para mostrar que: (a) = a (b) Se a > 0, = a. Sugestão: Use a identidade a = 6.. Definição : Limites laterais a + a. Da mesma forma, podemos definir em termos matemáticos precisos as noções de ites laterais à direita e à esquerda. Definição.: Limite lateral à direita Suponha uma função f definida no intervalo aberto ( 0, a), a > 0. Dizemos que o número L é o ite lateral à direita de f() no ponto 0, quando podemos fazer os valores de f() tão perto de L quanto quisermos, bastando para isso escolher, no intervalo ( 0, a), suficientemente próimo de 0. Em linguagem matemática, temos + f() = L, se, dado qualquer número ε > 0, não importa quão pequeno ele seja, é sempre possível achar um número δ > 0 tal que f() L < ε para todo que satisfizer as desigualdades 0 < < 0 + δ. Veja a animação no teto eletrônico que ilustra essa definição. Observamos, uma vez mais, que a função f() não precisa estar definida em 0, mas apenas no intervalo ( 0, a). Definição.: Limite lateral à esquerda Suponha uma função f definida no intervalo aberto (a, 0 ), a < 0. Dizemos que o número L é o ite lateral à esquerda de f() no ponto 0 quando podemos tornar os valores de f() tão perto de L quanto quisermos, bastando para isso escolher, no intervalo (a, 0 ), suficientemente próimo de 0.

11 W.Bianchini, A.R.Santos 8 Em linguagem matemática, dizemos que 0 f() = L se, dado qualquer número ε > 0, não importa quão pequeno ele seja, é sempre possível achar um número δ > 0 tal que f() L < ε para todo que satisfizer as desigualdades 0 δ < < 0. Observe a animação correspondente no teto eletrônico. Como no caso anterior, a função f() não precisa estar definida em 0, mas apenas no intervalo (a, 0 ). Repare que quando os dois ites laterais no ponto 0 eistem e são iguais, temos que dado qualquer número ε > 0, não importa quão pequeno ele seja, é sempre possível achar um número δ > 0 tal que f() L < ε para todo que satisfizer as desigualdades 0 < < 0 + δ e 0 δ < < 0 simultaneamente, isto é, para todo tal que 0 δ < < 0 + δ. Esta última desigualdade é equivalente a 0 < δ, portanto, obtemos a definição de f() = L. Por isso, a eistência e igualdade dos ites laterais é uma condição necessária e suficiente para a eistência do ite no ponto. Veja a animação no teto eletrônico que ilustra essa afirmação. Como vimos na seção anterior, quando os ites laterais num ponto 0 qualquer são diferentes, não eiste o f(). Eecute a animação do teto eletrônico para visualizar esta afirmação. Eercício{ 5 + Se f() =, calcule f(), f() e o < f(). + Eercício 6 (a) Calcule 0 +. (b) Eiste o 0? Justifique sua resposta Definição 3: Limites Infinitos Na seção anterior, vimos também que, dada uma função y = f(), se f() cresce sem ite à medida que se aproima de 0, dizemos que f() = +. De um modo mais geral, dado qualquer número positivo N, tão grande quanto quisermos, sempre podemos achar um número positivo δ, tal que, se 0 < 0 < δ, então f() > N Observamos novamente que a função não precisa estar necessariamente definida no ponto 0, mas apenas em um intervalo aberto contendo 0. Eercício 7 Calcule δ para que a função f() = seja maior que toda vez que < δ. Eercício 8 Defina em termos matemáticos precisos o que entendemos por f() = Eercício 9 O que significam precisamente as epressões: + 0 f() = e 0 f() = +. Dê eemplo de uma função que apresente esse comportamento no ponto 0 = 0 e de uma outra função que apresente este comportamento em um ponto 0 qualquer Definição 4: Limites no infinito Na seção anterior, vimos ainda alguns eemplos de funções y = f(), que se aproimavam de um valor L à medida que crescia em valor absoluto. Em notação matemática escrevemos: f() = L ou f() = L. Neste caso, a reta y = L é uma assíntota horizontal ao gráfico da função f. De um modo mais geral, dado qualquer número positivo ε, tão pequeno quanto quisermos, sempre podemos achar um número positivo N, tal que:

12 8 Cap. 6. Limite de Funções f() L < ε sempre que > N. Eercício 0 Calcule N para que a função f() = diste de zero menos que para que < , isto é, diga quão grande devemos considerar 6.3 Teoremas e propriedades operatórias Nas seções anteriores vimos que, para calcular ites, não podemos nos basear, eclusivamente, em estimativas numéricas que apenas sugerem o valor do ite e podem por vezes serem enganosas (veja eemplos desta afirmação nas atividades de laboratório) nem em aplicações diretas da definição de ite para tentar provar o que tais estimativas sugerem, porque essas definições são muito difíceis para serem aplicadas comumente. Para calcular ites com facilidade, precisamos de regras ou leis que simplifiquem o processo de cálculo de ites, tornando-o mais simples. Essas regras são na realidade teoremas que são demonstrados a partir das definições rigorosas de ite, dadas na seção anterior. Uma vez demonstrados, podemos usar estes resultados apropriadamente para calcular ites, o que reduz esse cálculo, como veremos a seguir, a manipulações algébricas, em geral simples. Teorema : Unicidade do ite Se f() = L e f() = L, então L = L. A idéia da demonstração é supor que L L. Se a partir dessa hipótese chegarmos a uma conclusão absurda, teremos provado que não é possível que L L e, portanto, L = L. Demonstração Se L L, podemos considerar o número positivo ε = L L. Como f() = L, sabemos que eiste um número δ tal que se 0 < 0 < δ, então f() L < ε. Além disso, como f() = L, sabemos que eiste, também, um número δ tal que se 0 < 0 < δ, então f() L < ε. Seja δ = min(δ, δ ), isto é, seja δ o menor dentre os números δ e δ. Então f() L < ε e f() L < ε, portanto, Daí, temos L L = L f() + f() L L f() + f() L < ε + ε = ε. L L < L L Como o número L L não pode ser estritamente menor do que ele mesmo, chegamos a um absurdo, portanto, a hipótese que fizemos (supor L L ) não pode ser verdadeira. Assim, temos necessariamente que L = L, o que prova a unicidade do ite. Teorema : Limite da função identidade Se f() =, então f() = 0. Este teorema é inteiramente intuitivo e diz simplesmente que, à medida que se aproima de 0, f() = se aproima, como é óbvio, do mesmo valor. Para demonstrar, rigorosamente, este teorema, basta tomar na definição de ite δ = ε e a conclusão segue trivialmente. Teorema 3: Limite da função constante Se f() = c, onde c é uma constante qualquer, então f() = c. Este é outro resultado bastante intuitivo. Se a função, independente de qual seja o valor de, sempre assume o mesmo valor constante c, não importa quão próimo esteja de 0, o valor de f, e portanto o valor do ite, será sempre igual a c. Usando a definição formal de ite, precisamos mostrar que, para qualquer número positivo escolhido ε, e para qualquer valor de δ (não importa quão próimo esteja de 0 ), se 0 < δ, então f() c < ε. Esta conclusão é verdadeira qualquer que seja o número positivo ε, pois a diferença f() c será sempre zero. Teorema 4: Limite da soma

13 W.Bianchini, A.R.Santos 83 Se f() = L e g() = M, então (f() + g()) = L + M. Este teorema diz, simplesmente, que se f() está perto de L, e se g() está perto de M quando está perto de 0, então f() + g() está perto de L + M quando está perto de 0. Demonstração Seja ε > 0. Como f() = L, eiste um δ tal que (i) se 0 < 0 < δ, então f() L < ε. Além disso, como g() = M, eiste um δ tal que (ii) se 0 < 0 < δ, então g() M < ε. Considere agora δ = min(δ, δ ), então, se 0 < 0 < δ, (i) e (ii) valem simultaneamente, e podemos concluir que que é o resultado desejado. Teorema 5: Limite da diferença (f() + g()) (L + M) f() L + g() M < ε + ε < ε, Se f() = L e g() = M, então (f() g()) = L M. A demonstração desse resultado é análoga à anterior. Tente demonstrá-lo. Teorema 6: Limite do produto Se f() = L e g() = M, então (f() g()) = L M. Este teorema afirma, simplesmente, que podemos fazer o produto f() g() tão próimo de LM quanto quisermos, bastando para isso escolher suficientemente próimo de 0. A demonstração é baseada na observação de como os erros nas medidas do comprimento e da largura de um retângulo afetam a sua área. Suponha que queremos construir um retângulo cujo comprimento seja L e cuja largura seja M. Conseqüentemente, sua área será L M. Se cometermos um erro ao medirmos o comprimento deste retângulo e um outro erro ao medirmos a sua largura, estes erros serão propagados para a área do retângulo. Veja a figura a seguir, onde o erro total cometido na medida da área está representado por linhas pontilhadas. M LM L Como a figura sugere, o erro na área pode ser dividido em três partes. A primeira parte pode ser entendida como o produto do erro cometido no comprimento pela a largura do retângulo original; a segunda é o produto do erro cometido na largura pelo comprimento do retângulo original, finalmente, a terceira pode ser entendida como a área de um outro retângulo cujas medidas dos lados são o erro cometido no comprimento e na largura do retângulo original, respectivamente. Como é possível controlar a área destes três retângulos, controlando o tamanho do erro cometido na medida de L e M, podemos controlar o erro total cometido ao medirmos a área do retângulo original, isto é, o erro total cometido no produto L M.

14 84 Cap. 6. Limite de Funções Demonstração Seja ε > 0. Sabemos que eistem números positivos δ, δ e δ 3 tais que : (i) se 0 < 0 < δ, então f() L <, o que implica f() < L + (ii) se 0 < δ, então g() M < (iii) se 0 < 0 < δ 3, então f() L < ε ( L + ). ε ( M + ). Considere agora δ = min(δ, δ, δ 3 ), então, se 0 < 0 < δ, (i), (ii) e (iii) valem simultaneamente e podemos concluir que o que demonstra o teorema. Teorema 5: Limite do quociente (f() g()) (L M) < f() g() M + ( M + ) f() L < ε + ε < ε, Se f() = L, g() = M e M 0, então ( f() g() ) = L M. Este teorema afirma que se f() está próimo de L e g() está próimo de M quando está próimo de 0, então, desde que M 0, o quociente f() g() está próimo de L M quando está próimo de 0. Demonstração Tendo em vista o teorema anterior, como f() g() = f(), basta provar que g() g() = M. Para isso, devemos mostrar que qualquer que seja o número positivo ε, eiste um número positivo δ, tal que se 0 < 0 < δ, então g() M = g() M M g() < ε. Como g() = M, sabemos que, desde que esteja suficientemente próimo de 0, podemos tornar a diferença g() M tão pequena quanto quisermos. A idéia, então, é mostrar que g() não pode ser muito grande desde que g() M seja pequena. Sejam δ e δ números positivos tais que (i) se 0 < 0 < δ, então g() M < M. Para esses valores de, temos que M < g(), o que é equivalente a g() M M. (ii) se 0 < 0 < δ, g() M < ε M. g() < M, portanto, g() M Considere agora δ = min(δ, δ ). Então, se 0 < 0 < δ, (i ) e (ii) valem simultaneamente e podemos concluir que g() M < ε M M = ε, que é o resultado desejado. =

15 W.Bianchini, A.R.Santos 85 Observe que este teorema não afirma nada sobre o que acontece quando M = 0. De fato, se M = 0, qualquer coisa pode acontecer, mesmo no mais simples dos casos. Seja, por eemplo, f() = k e g() =, onde k é um número qualquer. Então f() g() = k = k para 0 e além disso, o a = 0. f() g() = k, qualquer que seja o valor de 0. Veja esse fato ilustrado no diagrama a seguir para k = e O disco neste gráfico ressalta o fato de que a função não está definida neste ponto; no entanto, seu ite neste e em todos os outros pontos é igual a k, que, nesse eemplo, foi tomado como sendo, mas poderia ser qualquer outro número. Já estudamos uma situação semelhante a esta quando tentamos calcular a declividade m da reta tangente ao gráfico de uma função como o ite das declividades de retas secantes à curva y = f(), isto é, quando calculamos f() f( 0 ). 0 Nesse caso, quando se aproima de 0, tanto o numerador quanto o denominador se aproimam de zero. Este teorema não se aplica a essa situação e nada podemos afirmar quanto ao valor de ites deste tipo. Para buscar soluções para situações como estas, basta observar que o numerador e o denominador desse quociente têm 0 como fator comum, e como estamos interessados no comportamento da função quando os valores de se aproimam de 0, sem nunca chegar a atingir esse valor, podemos simplificar a epressão que define o quociente dividindo numerador e denominador pelo seu fator comum e, depois desta simplificação, calcular o valor do ite. Repare, no eemplo abaio, que o Maple faz essa simplificação automaticamente quando traça o gráfico de funções definidas por epressões deste tipo. > m:=->(^-4)/(-); > plot(m(),=-4..4); m := Eercício Qual o ite da função acima quando? Embora simplificações desse tipo sejam válidas e empregadas normalmente para o cálculo de ites, devemos sempre lembrar que as funções y = + e m = 4 não são iguais, pois seus domínios são diferentes, embora esse fato não seja mostrado no gráfico acima. Eercício Se f() = L, g() = 0, o que se pode afirmar a respeito do ( f() )? Nesse caso, qual o comportamento da função quociente quando 0 g()? Teorema 6: Teorema do Sanduíche Suponha que f() g() e que g() h() numa vizinhança restrita de 0 e que f() = L = h(). Então g() = L.

16 86 Cap. 6. Limite de Funções Este teorema é chamado Teorema do Sanduíche, ou do Confronto, porque diz, simplesmente, que se uma função, numa certa vizinhança de 0 onde estamos interessados em estudar o seu comportamento, está comprimida entre outras duas que tendem ao mesmo ite L, então o seu ite nesse ponto também deve ser L. Veja a idéia geométrica ilustrada a seguir: Demonstração Seja ε > 0 e sejam δ e δ tais que : (i) se 0 < 0 < δ, então f() L < ε, isto é, L ε < f() < L + ε. (ii) se 0 < 0 < δ, então h() L < ε, isto é, L ε < h() < L + ε. Dizer que f() g() h(), numa vizinhança restrita de 0, significa dizer que eiste um número p tal que (iii) f() g() h() para todo pertencente ao intervalo ( 0 p, 0 + p). Seja δ = min(δ, δ, p). Então, se 0 < 0 < δ, (i), (ii) e (iii) valem simultaneamente, e podemos concluir que L ε < f() g() h() < L + ε. Estas últimas desigualdades são equivalentes a afirmar que como queríamos demonstrar. g() L < ε, Os resultados enunciados a seguir, são conseqüência direta dos teoremas anteriores. Deiamos suas demonstrações como eercício para o leitor. Corolário : Mostre que n = a n. Corolário : Se f() = L e C é uma constante qualquer, então C f() = C L. Corolário 3 Sejam a 0, a, a,..., a n constantes quaisquer. Se f() = a n n + a n (n ) a + a 0, então f() = f(a). Corolário 4 Sejam a 0, a, a,..., a n e b 0, b, b,..., b n constantes quaisquer. Considere f() = a n n + a n (n ) a + a 0, g() = b n n + b n (n ) b + b 0 e h() = f() g(). Prove que se a pertence ao domínio de h, então h() = h(a). Os teoremas enunciados nesta seção transformam, na maioria dos casos, o cálculo de ites em simples cálculos algébricos. Eemplos de aplicação dos teoremas no cálculo de ites são mostrados na próima seção.

17 W.Bianchini, A.R.Santos Eemplos de aplicações dos teoremas no cálculo de ites Eemplo Calcule Solução Aplicando a regra da soma, temos: = ( ) + ( 4 ) + ( 4) Pela regra do produto e da multiplicação por constante, temos que: Logo, concluímos que ( 3 ) + ( 3 4 ) + ( 3 4) = ( 3 ) ( 3 ) + ( 3 4) ( 3 ) = (3) + 4 = 5 o que transforma o cálculo desse ite num simples cálculo algébrico. Eemplo Calcule Solução No eemplo anterior, vimos que o , portanto, podemos aplicar a regra do quociente para afirmar que: = [ Eemplo 3 Calcule ( ) 3 + ( 3 + ) 9] = (3) (3) + 4 = 5. Solução [ ( ) 3 + ( 3 + ) 9] [ ] = ( ) 3 + ( 3 + ) 9 [ ] = ( 3 9 ) + (3 + ) [ ] [ ] = = ( ) 3 + ( 3 + ) 9 = 9 = 5. Observação Se f() = , então f(3) = 5 e, no Eemplo, poderíamos ter obtido o valor correto de f() calculando, simplesmente, f(3). Esta mesma observação vale para os Eemplos e 3. As funções dos 3 Eemplos e são polinômios e funções racionais (veja próimo capítulo), respectivamente e, os Corolários 3 e 4 garantem que, se f() é um polinômio ou uma função racional e a pertence ao domínio de f, então f() = f(a). Funções para as quais vale esta propriedade são chamadas de funções contínuas e serão estudadas no Cap. 8. Eemplo 4 Ache. Solução Seja f() =. Neste caso, não podemos calcular o ite simplesmente substituindo = na epressão que define f, pois f() não está definida. Nem podemos aplicar o teorema do Quociente, porque o ite do denominador é zero. A idéia é trabalhar algebricamente com a epressão dada, fazendo algum tipo de simplificação antes de tentar calcular o ite pedido. Assim, ( + ) ( ) =. ( ) O numerador e o denominador têm o fator comum. Quando se aproima de, temos que, então 0. Logo, podemos cancelar o fator comum e calcular o ite como fazemos a seguir. = ( + ) ( ) ( ) = ( + ) = + =.

18 88 Cap. 6. Limite de Funções { + se Eemplo5 Ache o g(), onde g() = π se = Solução Neste eemplo g está definida em = e g() = π, mas, para uma função qualquer, o valor do ite em um ponto independe do valor da função neste ponto. Como g() = + para, g() = ( + ) =. Note que as funções dos Eemplos 4 e 5 são iguais, eceto quando =, portanto, elas tendem para o mesmo ite quando. Veja os gráficos destas duas funções, mostrados a seguir. 4 3 y y (3 + h) 9 Eemplo 6 Calcule. h 0 h Solução Seja F (h) = (3+h) 9 h. Como no Eemplo 4, precisamos simplificar F (h) antes de calcular o ite. Assim, temos F (h) = (9 + 6 h + h ) 9 = 6 h + h = 6 + h. h h (Lembre-se de que quando h 0 estamos considerando h 0, portanto os cálculos algébricos acima estão corretos.) Em vista das igualdades acima, temos que h 0 (3 + h) 9 h = h 0 (6 + h) = 6. Eemplo 7 Calcule t 0 t t. Solução Não podemos aplicar o teorema do quociente imediatamente porque o ite do denominador é zero. Aqui, o algebrismo consiste em racionalizar o numerador para tentarmos algum tipo de simplificação. Assim, t t t t = t t = (t + 9) 9 t ( t ) = t As igualdades acima permitem concluir que t t 0 t = t 0 t = (t + 9) + 3 = t = 6 Para calcular alguns ites, é preciso calcular, separadamente, os ites laterais à esquerda e à direita. Os teoremas da seção anterior para ites, valem, também para ites laterais. Os dois eemplos abaio ilustram casos onde é necessário o cálculo separado dos ites laterais. Eemplo 8 Mostre que 0 = 0. Solução Como =, para > 0, tem-se = Como, =, então 0 = ( ) = 0. 0

19 W.Bianchini, A.R.Santos 89 Conseqüentemente, como os ites laterais eistem e são iguais, então = 0. 0 Eemplo 9 Se f() = { 4 se > 4 8 se < 4. Determine, se eistir, 4 f(). Solução Como f() = 4, para > 4, temos que 4 + Como f() = 8, para < 4 temos que f() = 4 = 4 4 = f() = (8 ) = Como os ites laterais são diferentes, não eiste 4 f(). 6.5 Atividades de laboratório Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo lab.mws da versão eletrônica deste teto. 6.6 Eercícios. Se f() = 4, g() = e h() = 0, calcule os seguintes ites: (a) (f() g()) (b) f() g() (c) (g()) (d) h() f(). (a) O que está errado na identidade + 6 = + 3? (b) Tendo em vista o item anterior, eplique por que a identidade está correta. + 6 = ( + 3) 3. Se (f() + g()) = e (f() g()) =, calcule (f() g()). 6.7 Problemas propostos (a) (b) 4 (c) ( ) 5 (d) + (e) (f() + g()).. Nos ítens a seguir, aplique as propriedades operatórias de ites para calcular os ites que eistam: 9 (e) 3 3 (f) y 3 (g) y 3 y 3 t t + 4 t 4 (h) 0 (i) (j) ( ) (k) 4 6 (l) 0 +. Calcule os seguintes ites: (a) 0 (b) 0 +

20 90 Cap. 6. Limite de Funções (c) Tendo em vista os dois itens anteriores, o que se pode afirmar a respeito do (d) 9 (e) 3 f() f(3) 3. Para cada uma das seguintes funções, ache. 3 3 (a) f() = (b) f() = 3 (c) f() = (d) f() = m, (m=constante) 4. Para as funções do problema anterior, ache f() f( 0 ) 0 (f) 0 f(), onde 0? { f() = se 0 f() = se > 0 (e) f() = (f) f() =, para 0 (g) f() = 3 (h) O que representa geometricamente esse ite? para um ponto 0 qualquer. 5. No capítulo sobre retas tangentes, vimos, geometricamente, que não eiste reta tangente à curva y = no ponto 0 = 0. Usando a definição de declividade de reta tangente e a teoria dos ites desenvolvida nesse capítulo, prove analiticamente esta afirmação. 6. (a) Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salobra contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada para o tanque, a uma taa de 5 l/min. Mostre que a concentração de sal no tanque após t minutos (em g/l) é dada por C(t) = 30 t 00 + t. (b) O que acontece com a concentração quando t. 7. Ache f() se 4 < f() < para todo > Suponha que f() g() para todo. Se g() = 0, calcule f(). 9. O gráfico de uma função y = f() tem uma assíntota inclinada de equação y = m + b se (f() (m +b)) = 0 ou se (f() (m + b)) = 0. (Os valores de m e b podem ser diferentes em cada caso.) (a) Prove que a reta y = é uma assíntota ao gráfico da função y = +. (b) O gráfico da função f() = ( 3 ) ( ) ( 3 ) tem uma assíntota inclinada. Encontre a equação dessa assíntota. f() Sugestão No caso em que +, m = e b = (f() m). Analogamente, se calcula m e b no caso em que. (c) Tendo em vista a definição de assíntota inclinada, por que as epressões acima para m e b são válidas? 0. Dizemos que uma função f() é itada quando eiste um número M tal que f() M, para todo no domínio de f. Suponha que f é itada. Mostre que: (a) f() = 0 0 (b) g() = 0, então g() f() = 0. Dê um contra-eemplo para mostrar que, se f não é itada, essa conclusão não vale. (c) Mostre que se f() = 0, então f() sen() = 0.. Suponha que f() = f(a) > 0. Prove que eiste uma vizinhança de a na qual f() > 0, isto é, prove que eiste um δ > 0 tal que f() > 0 para todo no intervalo (a δ, a + δ). { 0, para irracional. Considere a função f() definida por f() =., para racional Eplique por que qualquer que seja o número real a, o f() não eiste.

21 W.Bianchini, A.R.Santos 9 3. (a) Se f() e g() não eistem, pode eistir o (f() + g())? E o (f() g())? (b) Se f() e (f() + g()) eistem, o que se pode afirmar a respeito do g()? (c) Se f() eiste e g() não eiste, pode eistir o (f() + g())? (d) Se f() e (f() g()) eistem, temos necessariamente que o g() eiste? 6.8 Eercícios adicionais. Calcule os ites abaio: (a) (b) (c) 0 (d) (e) (f) z 4 (g) (h) r z + 3 z r 3 3 r + 4 r 3 4 r + r + (i) (j) [ ] (k) k, k 0 + (l) + + (m) + ( + ) ( 3 ) (n) + ( + ) ( 3 ) (o) + (p) (q) (r) (s) y + 3 y + y y z z 4 z (u 3 + u ) 5 (t) u (u + u 6) 4 (t + ) 5 ( t ) 3 (t + ) (u) t ( t 5) (v) [ y y y + y ]. Calcule os seguintes ites, caso eistam: (a) 0 (b) h 4 + a a, com a, b > 0 + b b (h 8) + h h Calcule os seguintes ites: (a) (b) 5 5 (c) (d) 3 (c) (d) ( ( + ) ) (e) Em cada um dos itens abaio, calcule f() e f(), caso estes ites eistam. + { 3 < { sen() π (a) f() = =, a = (b) f() = 4 < cos() < π, a = π < 4 (c) f() = ( ), a = (d) Em quais dos ítens anteriores eiste o f()? (Justifique a sua resposta.) Neste caso, qual o valor deste ite? 5. Em cada um dos ítens abaio, determine as constantes a e b para que as afirmações sejam verdadeiras: + a 3 + b + + (a) ( (a + b)) = 0 (b) + 3 = +

22 9 Cap. 6. Limite de Funções 6. Encontre as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico das funções abaio: (a) f() = (b) f() = 7. Seja f() = 4 4 ( )( +). (c) h() = 4 (d) f() = (e) f() = (f) f() = ( + ) (a) Encontre o f(). (b) Para cada um dos valores de ε dados abaio, indique um valor de δ que satisfaça a definição formal de ite: i. ε = ii. ε = 0, 4 iii. ε = 0, {, 8. Seja f() = 3, < <. 5, (a) Indique, se eistir, o valor de f(), quando a = ; a =,0000; a =,999998; a =. (b) Nos pontos onde eistir o f(), para qualquer ε > 0, indique um valor de δ > 0 que satisfaça a definição formal de ite. 9. Seja L = f() e ε > 0. Em cada um dos ítens abaio, ache um δ tal que f() L < ε, para todo que satisfaça 0 < < δ. (a) f() = 4 (b) f() = (c) f() = Um pouco de história: Cauchy, Weierstrass e a teoria dos ites Ao estabelecimento das bases do Cálculo, por Newton e Leibniz no século XVII, seguiu-se um período de livre desenvolvimento do assunto no século XVIII. Matemáticos como os irmãos Bernoulli e Euler foram os primeiros a vislumbrar o poder do Cálculo e eplorar as conseqüências dessa nova e maravilhosa teoria matemática, sem, no entanto, grandes preocupações com o rigor matemático nas suas demonstrações. O século XIX, ao contrário, ficou conhecido como a Era do Rigor Matemático. Houve um movimento de retorno aos fundamentos de cada assunto para que os conceitos, agora, fossem baseados em definições cuidadosas e os resultados obtidos provados rigorosamente. À frente deste movimento estava o matemático francês Augustin-Louis Cauchy ( ), que era engenheiro militar antes de se tornar professor de matemática em Paris. Cauchy trabalhou com o conceito de ite, cuja idéia básica havia sido desenvolvida por Newton, tornando-a mais precisa. Sua definição de ite era mais ou menos assim: Quando sucessivos valores atribuídos a uma variável se aproimam indefinidamente de um valor fio e, no fim, diferem deste valor fio por um valor tão pequeno quanto se queira, este último valor é chamado o ite de todos os outros. Usando esta definição em demonstrações e eemplos, Cauchy geralmente usava desigualdades envolvendo epsilons e deltas análogas àquelas que usamos neste capítulo. Uma típica prova de Cauchy começava assim: chame de ε e δ dois números muito pequenos... Ele usava a letra grega ε em razão da analogia com a palavra francesa erreur (erro). Mais tarde, o matemático alemão Karl Weierstrass (85-897) estabeleceu a definição de ite eatamente como a que empregamos hoje. 6.0 Para você meditar: Do nada à criação do universo Desde o primeiro grau sabemos que 0, 9999 =, e nos livros didáticos, em geral, aparece a seguinte demonstração: Seja = 0, 999, então 0 = 9, 999. Daí temos que 0 = 9 =.

23 W.Bianchini, A.R.Santos 93 Este mesmo raciocínio é empregado no segundo grau para deduzir a fórmula para a soma dos termos de uma PG infinita de razão menor que do modo descrito a seguir. Seja S igual a soma dos termos de uma PG cujo termo geral é dado por a n = ( )n. Então S = Daí temos que Logo, S = S S = S =. Vamos agora aplicar este mesmo raciocínio para calcular a soma dos termos da PG infinita cujo termo geral é dado por a n = n. Seja, então, S = Assim, temos que S = S S = S =. Ou seja, acabamos de demonstrar que = Podemos chegar a outros absurdos semelhantes continuando a usar este mesmo raciocínio. Considere, por eemplo, S = Então temos que S = Assim, obtemos que Daí vem que S = S =. S = +... ( S) = Portanto, acabamos de provar que =, pois, agrupando convenientemente os termos da soma S, podemos obter também que S = ( ) + ( ) +... = 0. Esse resultado foi muito usado por teólogos em meados do século XVII para provar que alguma coisa poderia ser criada a partir do nada e que portanto a criação do Universo (a partir do nada) era uma possibilidade cientificamente viável!!!! Eplique por que o raciocínio nos dois primeiros eemplos está correto e por que não pode ser empregado nos dois últimos casos. Sugestão O símbolo 0, 9999 representa o ite da seqüência S n = n i= a i, onde a i = (9) (0) i, para i =,, 3..., e a soma S = representa o S n, onde S =, S =, S 3 = +, n e assim por diante. 6. Projetos 6.. O caso do povo contra a Espertobrás A Espertobrás Ltda., companhia especializada no tratamento de resíduos poluentes, derramou, acidentalmente, uma grande quantidade do Agente Oleoso na Baía Bonita. Feitas medições após o acidente, concluiu-se que a concentração do Agente Oleoso nas águas da baía era de 0 ppm (partes por milhão). Na baía eistem manguezais que, por sua flora e fauna características, são considerados zonas de proteção ambiental. Infelizmente, não é possível remover por meios mecânicos o Agente Oleoso que polui os manguezais: corre-se o risco de causar danos ainda maiores ao ecossistema local. Além disso, a pesca na baía constitui o único meio de sobrevivência para diversas colônias de pescadores que vivem ao seu redor. Devido à contaminação dos peies pelo Agente Oleoso, a pesca na baía foi proibida. Numa tentativa de ressarcir, em parte, os danos causados ao meio ambiente e o prejuízo sofrido pelos pescadores, moveu-se uma ação popular contra a Espertobrás para o estabelecimento de uma multa a ser investida em Programas de Despoluição da baía e em auílio às famílias desempregadas.