AULA 1 Introdução aos limites 3. AULA 2 Propriedades dos limites 5. AULA 3 Continuidade de funções 8. AULA 4 Limites infinitos 10

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2 Índice AULA 1 Introdução aos limites 3 AULA 2 Propriedades dos limites 5 AULA 3 Continuidade de funções 8 AULA 4 Limites infinitos 10 AULA 5 Limites quando numerador e denominador tendem a zero 12 AULA 6 Limites no infinito 13 Limites 2

3 Introdução aos limites Limite de uma função AULA 1 No estudo dos limites, o limite de uma função nos fornece o comportamento dessa função quando sua variável tende para um determinado valor. Não importa o que acontece com a função nesse exato valor (ela nem precisa estar definida para ele), mas sim o que acontece com valores próximos a ele. Exemplo: Observe o gráfico da função f: R R, definida por = x + 1. Limites laterais Observe mais um exemplo: x, se x 3 Dada a função = { x + 2, se x > 3, cujo gráfico está representado abaixo, encontre, se existir, lim x 3. Note que conforme os valores de x se aproximam de 2 tanto pela direita quanto pela esquerda, os valores de se aproximam de 3. A tabela a seguir fornece mais precisamente alguns valores para os valores de x correspondentes: x 1,8 1,9 1,99 2,01 2,1 2,2 2,8 2,9 2,99 3,01 3,1 3,2 Podemos tornar os valores de tão próximos de 3 quanto quisermos, ao tornar x suficientemente próximo de 2. Portanto, dizemos que o limite de quando x tende a 2 é igual a 3, e escrevemos: lim = 3 De maneira geral, utilizamos a notação: lim = L Significa que os valores de ficam cada vez mais próximos do número L à medida em que x se aproxima do número a, por qualquer lado, mas x a. Veja que quando x tende a 3 pela esquerda, tende a 3, significa que estamos considerando somente valores de x próximos a 3 que são menores que 3. Já quando x tende a 3 pela direita, tende a 5, porque agora consideramos somente valores de x próximos a 3 que são maiores que 3. Assim, dizemos que o limite à esquerda de quando x tende a 3 é igual a 3, e escrevemos: lim = 3 x 3 Da mesma maneira, o limite à direita de quando x tende a 3 é igual a 5, e escrevemos: lim = 5 x 3 + Esses são os chamados limites laterais. Se eles resultassem valores iguais, esse seria o limite de para x tendendo a 3, mas como eles resultaram valores diferentes, não existe o limite de quando x tende a 3. Dessa maneira, temos que: lim = L lim = L e lim se e somente se = L + Limites 3

4 EXERCÍCIO RESOLVIDO x 1 x 3 c) lim x 3 + O gráfico de uma função g é apresentado abaixo. d) lim x 3 e) f(3) f) lim x 2 g) lim x 2 + h) lim x 2 i) f( 2) 2 - Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se existir. Com base no gráfico, encontre, caso existam, os seguintes limites: d) lim x 5 + e) lim x 5 + c) lim f) lim x 5 x 3 x 1 c) lim x 3 EXERCÍCIOS d) lim e) lim + f) lim 1 Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se existir. 3 - Determine o valor do limite, se existir, a partir do gráfico dado. Limites 4

5 x 1 c) lim 5) d) lim x 2 e) lim x 1 f) lim x 1 4 Dada a função x + 1, se x > 2 = { x 2 + 1, se x 2 e x 1 Represente graficamente e encontre, se existirem, os limites: x 2 c) lim x 1 ANOTAÇÕES d) lim e) lim + f) lim 5 - Esboçe o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas. lim x 3 + = 4, lim x 3 = 2, lim x 2 = 2, f(3) = 3 e f( 2) = 1. GABARITO 1) a) 3 b) 2 c) 2 d) Não existe e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 3 2) a) 2 b) 1 c) 1 d) 1 e) 2 f) Não existe 3) a) 0 b) Não existe c) 1 d) 0 e) 1 f) Não existe 4) a) 5 b) 1 c) 2 d) 5 e) 3 f) Não existe Limites 5

6 AULA 2 Propriedades dos limites Na aula anterior vimos o que significa o limite de uma função e observamos como encontrar os limites basicamente pelos gráficos. Veremos agora como calcular alguns limites algebricamente usando as propriedades dos limites, que vamos admitir como verdadeiras sem demonstrá-las. Propriedade da substituição direta Se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f, então: lim = f(a) Isso quer dizer que nas funções com essa propriedade, para encontrar o limite da função quando x tende a a, basta calcular o valor da função quando x vale a. Exemplos: lim x 1 (2x 5 x 3 + 4x 3) = 2 ( 1) 5 ( 1) 3 + 4( 1) 3 = 2 ( 1) ( 1) 4 3 = = 8 lim ( x2 +2x 3 3x 4 ) = = = 5 2 As funções com essa característica são chamadas de contínuas em a, o que veremos melhor na aula seguinte. Mas não se preocupe em verificar se a função se encaixa ou não na propriedade, você pode sempre tentar a substituição direta, a única coisa que acontece nos casos onde ela não pode ser utilizada é chegaremos nos problemas algébricos de divisão por zero ou indeterminação 0/0. Observe um exemplo: lim x 1 x 2 1 x 1 = = 0 0 Note que a função é racional mas x tende a 1, valor que não faz parte do domínio da função, então, ela não se encaixa na propriedade, logo, fazendo a substituição direta chegamos na indeterminação 0/0. Veremos como contornar esses problemas e resolver limites assim nas aulas seguintes. Demais propriedades Para as demais propriedades, consideramos as funções e, definidas num domínio D, onde lim e lim existem e c é uma constante real. Assim, é válido que: 1) lim c = c 2) lim ± = lim ± lim 3) lim = lim lim 4) lim c = c lim lim 5) lim = lim, lim 0 6) lim[] n = [lim ] n n 7) lim n = lim EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Use as propriedades dos limites e os gráficos da figura abaixo para calcular os seguintes limites, se eles existirem. Limites 6

7 x 2 [ + 5] x 1 [] c) lim [ ] 1 a 5 Calcule o limite. EXERCÍCIOS 1) lim (5x 2 2x + 3) 2) lim x 3 (x 2 + 2)(x 2 5x) 3) lim x 1 x 2 x 2 + 4x 3 4) lim ( x4 + x x 1 x 4 + 2x + 3 ) 5) lim x 2 (t + 1) 9 (t 2 1) 1) 3 2) 66 3) 1/2 4) 4/9 5) 3 6) a) -6 b) -8 c) 2 d) -6 e) Não existe f) 0 GABARITO ANOTAÇÕES 6 Dado que lim = 4 lim encontre, se existir, o limite. [ + 5] [] 3 = 2 lim = 0 c) lim d) lim 3 e) lim h(x) f) lim h(x) Limites 7

8 AULA 3 Continuidade de funções Na aula anterior, vimos alguns limites que quando x tende a a podem ser encontrados apenas calculando o valor da função em a. As funções com essa propriedade são chamadas de funções contínuas em a. Veremos agora quais as condições necessárias para que uma função seja contínua em um número a. A ideia de continuidade em funções é muito próxima da que empregamos no uso comum da palavra continuidade. Uma coisa contínua é uma coisa que acontece sem interrupções. Observe abaixo o gráfico das funções f, g e h, respectivamente: A função f é a única que não é interrompida para x = a, seu gráfico não tem buracos, pode ser desenhado de uma só vez, sem levantar a ponta do lápis do papel. Dizemos então que a função f é contínua para x = a. Já as funções g e h são interrompidas em x = a, existem buracos, seus gráficos não podem ser desenhados sem levantar a ponta do lápis do papel. Assim, dizemos que as funções são descontínuas em x = a, e que a é um ponto de descontinuidade dessas funções. De maneira mais precisa, para que uma função seja contínua em número a, é necessário primeiro que f(a) exista, ou seja, que a esteja no domínio de f, é necessário ainda que o limite de quando x tende a a exista, e por fim, esse limite deve ser igual ao valor da função em a. Assim, chegamos na definição de função contínua em um número a: Uma função definida em um intervalo I com a I, é dita contínua em x = a, se: lim = f(a) EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Verifique a continuidade da função em: a) x = 2; b) x = 3. = 2x + 1 x 2 Limites 8

9 EXERCÍCIOS GABARITO 1 Observe abaixo o gráfico de uma função f. 1) a) Descontínua, f(1) não está definido. b) Contínua, para x = 2 o gráfico não é interrompido. c) Descontínua, pois lim x 3 d) Descontínua, pois lim x 5 f(5) 2) Descontínua, pois f(2) não está definido. 3) Contínua, pois lim x 5 = f(5) 4) é descontínua em x = 3 pois f(3) = 7 e lim x 3 = 5, logo, lim x 3 f(3) Verifique a continuidade da função em: 5) m = 2/3 a) x = 1; b) x = 2; c) x = 3; d) x = 5. ANOTAÇÕES 2 e 3 Verifique se a função é contínua ou descontínua no número dado, justificando sua resposta. x + 5 2) = x 2 + 3x 10, x = 2 3) = 1 + x 2 9, x = Mostre que a função x + 2, se x 3 = { 7, se x = 3 é descontínua em x = 3. 5 Determine m R de modo que a função = { x2 5x + 6, se x 4 3m, se x = 4 seja contínua em x = 4. Limites 9

10 AULA 4 Introduzimos agora nos limites o elemento infinito, que representamos por. Esse símbolo não representa um número, assim não podemos efetuar com ele as operações que fazemos com números reais. Limites infinitos Observe o gráfico da função = 1 x 2. um número é negativo grande estamos dizendo que ele é negativo, mas seu valor absoluto (em módulo) é grande. Esse limite é representado por: lim ( 1 x2) = Significa que o limite de quando x tende a zero é menos infinito, ou seja, decresce ilimitadamente quando x tende a zero. Assíntotas verticais Agora, vamos encontrar lim 1 x2. Para resolver esse limite, não podemos utilizar a substituição direta que vimos nas aulas anteriores porque a função não está definida para x = 0, pois se x for zero, temos 1/0. Porém, o limite serve justamente para isso, não importa o que acontece com a função quando x é exatamente zero mas sim o que acontece quando x assume valores próximos a zero. Observe que quando x se aproxima de zero tanto pela esquerda quanto pela direita a função cresce ilimitadamente, assim, usamos a notação: lim 1 x 2 = Dizemos que o limite de, quando x tende a zero, é infinito. Significa que podemos fazer os valores de ficarem arbitrariamente grandes (tão grande quanto quisermos) tornando x suficientemente próximo de zero, mas não igual a zero. Imagine agora que precisamos encontrar lim ( 1 x2). Esse é um limite análogo, a diferença é que a função decresce ilimitadamente. Da mesma maneira que o limite anterior, à medida que x se aproxima de zero, os valores de ficam arbitrariamente grandes, porém negativos agora. Quando dizemos que A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = quando uma das seguintes condições é satisfeita: lim = lim = lim + = lim = lim = lim + = Ou seja, a curva se aproxima muito de sua assíntota vertical mas nunca a toca, pois a função não existe quando x é exatamente a. Em geral, o conhecimento de assíntotas verticais é muito útil no esboço de gráficos. Observe o gráfico da função abaixo: Veja que x = a é uma assíntota vertical da curva y =, pois lim =. Encontre, se existir, EXERCÍCIO RESOLVIDO lim x 3 2x x 3, e indique uma assíntota vertical a essa função. Limites 10

11 EXERCÍCIOS ANOTAÇÕES 1 - Para a função f cujo gráfico é mostrado, determine o seguinte: x 3 x 7 c) lim x 4 e) lim x 9 + d) lim x 9 f) As equações das assíntotas verticais. 2 a 5 Determine o limite infinito. 2) lim ( 2 x 4) 3) lim x 3 1 (x 3) 8 4) lim x 4 + x 1 x 2 5x + 4 5) lim x 1 + x + 1 x sen(πx) GABARITO 1) a) b) c) d) e) f) x = -9, x = -4, x = 3 e x = 7 2) 3) 4) 5) Limites 11

12 AULA 5 Limites quando numerador e denominador tendem a zero Na aula anterior vimos como resolver os limites que por meio da substituição direta resultam em um número dividido por zero, que são os limites infinitos. Nessa aula veremos como resolver os limites onde a substituição direta nos leva a zero dividido por zero, ou seja, o numerador e o denominador tendem a zero. O cálculo desses limites se resume a simplificar a expressão, onde encontramos uma nova expressão para a função que é igual a inicial para todos os pontos onde a função está definida, assim, basta aplicar a substituição direta na expressão simplificada. Vamos aos exemplos. 4) lim x 1 x 3 5x 2 6x x 2 5x 6 5) lim x 2 x 2 + 4x + 4 x + 2 6) lim x 1 x 2 2x + 1 (x 1)(x + 1) 7) lim x 2 + 5x 14 x 2 8) lim x 2 3x + 2 2x 2 5x + 2 9) lim x 4 x 2 x 4 10) lim x 9 x 3 x 2 9x EXERCÍCIOS RESOLVIDOS GABARITO 1 a 4 - Calcule o valor do limite. 1) lim x 2 + x 4x 2) lim x 1 x 2 1 x 1 3) lim x 5 x 2 10x + 25 x 5 1) -1 2) -5 3) -10 4) -1 5) 0 6) 0 7) 9 8) 2 9) 1/4 10) 1/54 4) lim x 2 x 2 ANOTAÇÕES EXERCÍCIOS 1 a 10 Calcule o valor do limite. 1) lim x 2 x x 2) lim x 5 x 2 + 5x x + 5 3) lim x 5 x 2 25 x Limites 12

13 AULA 6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Limites no infinito Finalizando nosso estudo sobre os limites, a última aula traz o cálculo dos limites de funções quando x tende a ±. Observe o gráfico da função = 1 x. 1) lim 2x 3 5x 2 + 2x 1 2) lim x 2x 2 5x + 1 4x 2 + 3x 7 3) lim x + 1 x EXERCÍCIOS 1 a 9 Calcule o valor do limite. Quando x tende a ±, tende a zero, assim, dizemos que: 1 lim x = 0 e lim 1 x x = 0 Em geral, sempre que o numerador tende a um número e o denominador tende a ±, o limite é igual a zero. Nas demais situações, precisamos fatorar e/ou simplificar a expressão para fugirmos de indeterminações envolvendo. Veremos isso melhor com os exercícios resolvidos. Assíntotas horizontais A reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = quando: lim x ± = L 1 1) lim 2x + 3 2) lim 3x 4 x ) lim x 2 x 4) lim 8x + 1 4x 5 5) lim x 6) lim x 2 + x 3 x 3x + 2 x 2 5x + 6 7) lim 6x 2 5x 2x 2 5 8) lim ( 9x 2 + x 3x) 9) lim ( x 2 x + 1 x) 10 Encontre uma equação para uma função que tenha como assíntota horizontal a reta y = 2. GABARITO Na função = 1 do exemplo inicial, o x eixo x (reta y = 0) é uma assíntota horizontal da função. 1) 0 2) 3) 4) 2 5) 0 6) 7) 3 8) 1/6 9) -1/2 10) Basta que lim x ± = 2. Um exemplo é = 8x+1, como vimos no item 4. 4x 5 Limites 13

14 REFERÊNCIAS GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa, vol. 3. 2a. ed. São Paulo, FTD. STEWART, James. Cálculo, vol.1. 7a. ed. São Paulo, Cengage Learning. ANOTAÇÕES Limites 14

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