Limites, derivadas e máximos e mínimos

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1 Limites, derivadas e máimos e mínimos

2 Psicologia eperimental

3 Definição lim a f ( ) b

4 Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2.

5 Propriedades dos Limites Se L, M, a, c são números reais e n inteiro e lim f ( ) L g( ) M, a lim a

6 Regra da soma(subtração): Regra do Produto: Regra da multiplicação por escalar: Regra do quociente: M L g f g f a a a ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim L M g f g f a a a. ) ( ).lim ( lim ) ( ). ( lim c L f c f c a a. ) (.lim ) (. lim M L g f g f a a a ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim

7 Regra da potencia: Regra da raíz n n a n a L f f )) ( (lim ) ( lim n n a n a L f f ) ( lim ) ( lim

8 Regra do logaritmo: lim log a log c c L ( f ( )) se lim a log ( ) Regra do seno(o mesmo vale para o cosseno) lim sen a f ( ) Regra da eponencial: lim c a f ( ) c f c sen(lim lim a f ( ) a (lim a f c 0 f ( )) L ( )) sen L

9 Limites de Funções Polinomiais Teorema 2 Os Limites de Funções Polinomiais podem ser obtidos por Substituição: Se ) ( a a a P n n n n então.... ) ( ) ( lim a c a c a c P P c n n n n

10 Eemplo Limite de Uma Função Polinomial ) ( 3 2 2) ( 2) ( 2) ( 4 2) ( lim 2

11 Limites de Funções Racionais Teorema 3 Os Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por Substituição, caso o limite do denominador não seja zero: P () Q() Q( c) 0 Se e são polinômios e, então lim c P( ) Q( ) P( c) Q( c)

12 Eemplo Limite de Uma Função Racional ( 1) 3 4( 1) lim ( 1)

13 Eemplo 3 Cancelando um Fator Comum 2 2 lim 1 2 Solução: Não podemos substituir = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também é zero em = 1. Também é, portanto apresenta o fator ( 1) em comum com o denominador. Cancelar o ( 1) resulta em uma fração mais simples, com os mesmos valores da original para 1: 2 2 ( 1)( 2) 2 2 ( 1) Se 1

14 Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores quando 1 por substituição: lim lim

15 Teorema Teorema do Confronto Suponha que g( ) f ( ) h( ) para qualquer em um intervalo de aberto contendo c, eceto possivelmente em = c. Suponha também que lim c g( ) lim c h( ) L Então lim c f ( ) L

16 Limites Laterais Para ter um limite L quando se aproima de a, uma função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores f() devem se aproimar de L quando se aproima de a de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais. Se f não tem um limite bilateral em a, ainda pode ter um limite lateral, ou seja, um limite cuja aproimação ocorre apenas de um lado. Se a aproimação for feita pelo lado direito, o limite será um limite à direita. Se for pelo lado esquerdo, será um limite à esquerda.

17 Definições: Limites Laterais à Direita e à Esquerda. Seja f() definida em um intervalo (a, b), onde a > b. Se f() fica arbitrariamente próimo de L conforme se aproima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à direita L em a e escrevemos lim f ( ) L a

18 Seja f() definida em um intervalo (c, a), onde c < a. Se f() fica arbitrariamente próimo de M conforme se aproima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à esquerda M em a e escrevemos lim f ( ) M a

19 Teorema 5 Relação entre os Limites Lateral e Bilateral Uma função f() terá um limite quando tende a c se e somente se tiver um limite lateral à direita e um à esquerda e os dois limites laterais forem iguais: e

20 Limites Fundamentais Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de 0 indeterminações do tipo 0 / 0, 1 e. Proposição 1: Proposição 2: lim0 sen 1 lim (1 1/ ) e Onde e é o número irracional neperiano cujo valor aproimado é 2,

21 Continuidade Uma função y = f() é contínua em um ponto interior c de seu domínio quando: lim c f ( ) f ( c). Etremidades: Uma função y = f() é contínua na etremidade esquerda a ou é contínua na etremidade direita b de seu domínio quando: lim a f ( ) f ( a) ou f ( ) f ( b) lim b respectivamente

22 Teste de Continuidade Uma função f() será contínua em = c se e somente se ela obedecer às três condições seguintes: 1. f(c) eiste (c está no domínio de f) lim f ( ) 2. eiste (f tem um limite quando c ) c lim f ( ) f ( c) 3. (o limite é igual ao valor da função) c

23 Teorema Propriedades de Funções Contínuas Se as funções f e g são contínuas em = c, então as seguintes combinações são contínuas em = c. 1. Somas: f + g 2. Diferenças: f - g 3. Produtos: f. g 4. Constantes Múltiplas: k. f, para qualquer número k 5. Quocientes: f / g, uma vez que g(c) 0

24 Teorema Composta de Funções Contínuas Se f é contínua em c e g é contínua em f(c), então a composta g f é contínua em c.

25 Teorema do Valor Intermediário

26 Eercícios

27 3. Eiste algum número que somado a 1 é eatamente igual ao seu cubo?

28 Derivada reta tangente

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33 Regras de derivação

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36 Taa de variação

37 Eercícios

38 Como classificar os máimos e mínimos

39 Definição - Etremos Absolutos Seja f uma função de domínio D. Então f(c) é: (a) o máimo absoluto de f em D se e somente se f () f (c) para qualquer que seja em D. (b) o mínimo absoluto de f em D se e somente se f () f (c) para qualquer que seja em D.

40 Eemplo 3 - Encontrando Etremos Absolutos (a) Função Domínio D Etremos Absolutos em D y 2 (, ) Ausência de máimo absoluto. Mínimo absoluto 0 quando = 0. (b) (c) (d) y y y 2 [0, 2] Máimo absoluto 4 quando = 2. Mínimo absoluto 0 quando = 0. 2 (0, 2] Máimo absoluto 4 quando = 2. Ausência de mínimo absoluto. 2 (0, 2) Ausência de etremos absolutos.

41 Teorema 1 - O Teorema de Valor Etremo para Funções Contínuas Se f é contínua para todos os pontos do intervalo fechado I, então f assume tanto um valor máimo M como um valor mínimo m em I. Ou seja, há números 1 e 2 em I tais que f ( 1 ) = m e f ( 2 ) = M e m f() M para qualquer outro valor de em I. (Figura abaio)

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43 Definição - Etremos Locais Seja c um ponto interior do domínio da função f. Então f (c) será (a) um valor máimo local em c se e somente se f () qualquer em um intervalo aberto que contenha c. f (c) para (b) um valor mínimo local em c se e somente se f () qualquer em um intervalo aberto que contenha c. f (c) para Teorema 2 - Etremos Locais Se uma função f possui valores máimo ou mínimo locais em um ponto c interior de seu domínio e se f eiste em c, então f (c) = 0.

44 Definição - Ponto Crítico Um ponto de uma função f onde f = 0 ou f não eiste é um ponto crítico de f. Eemplo 5 - Encontrando os Etremos Absolutos em um Intervalo Fechado Determine os valores máimo e mínimo absolutos de f () = 10(2 - ln ) no intervalo [1, e 2 ]. Solução: A figura 3.6 (próimo slide) sugere que f tem seu valor máimo absoluto próimo de = 3 e que, quando = e 2, seu valor mínimo absoluto é 0.

45 Os valores etremos de f () = 10(2 - ln ) ocorrem quando = e e = e 2.

46 Calculamos a função nos pontos críticos e nas etremidades e, dentre os valores obtidos, tomamos o maior e o menor. A primeira derivada é 1 f '()10(2ln)10 10(1ln). O único ponto crítico no domínio [1, e 2 ] é o ponto = e, onde ln = 1. Os valores de f nesse único ponto crítico e nas etremidades são Valor no ponto crítico: Valores nas etremidades: f( e) 10 e f(1) 10(2ln1) fe () 10(22ln) ee 0 A partir dessa lista podemos ver que o máimo absoluto dessa função 10e 2,72. Que ocorre no ponto crítico interior = e. O mínimo absoluto é 0 e ocorre na etremidade direita, quando = e 2.

47 Como Determinar os Etremos Absolutos de uma Função Contínua f em um Intervalo Fechado Passo 1: Calcule f em todos os pontos críticos e etremidades. Passo 2: Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos. Eemplo 6 - Determinando Etremos Determine os valores etremos de 1 f () 4 2 Solução: A função f possui um mínimo absoluto de aproimadamente 0,5 quando = 0. Também parece haver haver dois máimos locais quando = -2 e = 2. No entanto, nesses pontos a função não está definida e não parece haver nenhum outro valor máimo.

48 A função f está definida apenas para 4-2 > 0, portanto seu domínio é o intervalo aberto (-2, 2). O domínio não tem etremidades, logo todos os etremos da função deverá ocorrer em pontos críticos. Rescrevemos a fórmula de f para determinar f. Assim, 1 f () (4 ) f '() (4)(2) (4) O único ponto crítico no domínio (-2, 2) é = 0. Portanto, o valor f(0) É a única possibilidade de valor etremo.

49 Para determinar se 1/2 é um valor etremo de f, eaminamos a fórmula 1 f () 4 2 À medida que se afasta de 0 para ambos os lados, os valores de f aumentam e o gráfico sobe. Temos um valor mínimo quando = 0, e o mínimo é absoluto. A função não possui máimos, nem locais nem absolutos. Isso não vai contra o Teorema 1 (Teorema do Valor Etremo), pois aqui f é definida em um intervalo aberto. Para que haja pontos etremos, o Teorema 1 eige um intervalo fechado.

50 Eemplo 7 - Pontos Críticos não Precisam Gerar Valores Etremos Embora os etremos de uma função possam ocorrer apenas em pontos críticos e etremidades, nem todo ponto crítico ou etremidade indica a presença de um valor etremo. Pontos críticos sem valores etremos: (a) y = 3 2 é 0 quando = 0, mas y = 3 não possui nenhum etremo nesse ponto. (b) y = (1/3) -2/3 não é definida quando = 0, mas y = 1/3 não possui nenhum etremo nesse ponto.

51 Teorema 3 - O Teorema de Rolle Suponha que y = f() seja contínua em todos os pontos de [a, b] e derivável em todos os pontos de (a, b). Se f() af() b0 Então há pelo menos um número c em (a, b) onde f (c) = 0. O Teorema de Rolle diz que uma curva derivável tem ao menos uma tangente horizontal entre dois pontos quaisquer onde a curva cruza o eio. Essa curva tem três.

52 Teorema 4 - O Teorema do Valor Médio Suponha que y = f() seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b). Então há pelo menos um ponto c em (a, b) em que fb () fa () fc '() ba Geometricamente, o Teorema do Valor Médio diz que, em algum lugar entre A e B, a curva apresenta pelo menos uma tangente paralela à corda AB.

53 Corolário 1 - Funções com Derivadas Nulas são Funções Constantes Se f () = 0 em todos os pontos de um intervalo I, então f () = C para qualquer em I, onde C é uma constante. Definições - Função Crescente, Função Decrescente Seja f uma função definida em um intervalo I. Então, 1. f é crescente em I se, para todos os pontos 1 e 2 em I, f () f () f é decrescente em I se, para todos os pontos 1 e 2 em I, f () f ()

54 Corolário 3 - Teste da Primeira Derivada para Crescimento e Decrescimento Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Se f > 0 em todos os pontos de (a, b), então f é crescente em [a, b]. Se f < 0 em todos os pontos de (a, b), então f é decrescente em [a, b]. O Teste da Primeira Derivada para Etremos Locais 1. Se f é negativa à esquerda de c e positiva à direita de c, então f possui um mínimo local em c. 2. Se f é positiva à esquerda de c e negativa à direita de c, então f possui um máimo local em c. 3. Se f possui o mesmo sinal em ambos os lados de c, então c não é um etremo local de f.

55 O gráfico de f () = 3 é côncavo para baio em e côncavo para cima em (0, ). (, 0)

56 Definição - Concavidade O gráfico de uma função derivável y = f () é (a) côncavo para cima em um intervalo aberto I, se y é crescente em I. (b) côncavo para baio em um intervalo aberto I, se y é decrescente em I. Eemplo 3 - Aplicando o Teste de Concavidade A curva y = 2 é côncava para cima em qualquer intervalo, pois sua segunda derivada y = 2 é sempre positiva.

57 Definição - Ponto de Infleão Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é um ponto de infleão. Teorema 5 - O Teste da Segunda Derivada para Etremos Locais 1. Se f (c) = 0 e f (c) < 0, então f possui um máimo local quando = c. 2. Se f (c) = 0 e f (c) > 0, então f possui um mínimo local quando = c.

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59 Aplicações 1. O problema da indústria de óleo de soja Um fabricante tem de fazer uma lata cilíndrica para armazenar 1,5 litros de óleo de soja. Determine as dimensões da lata de forma a minimizar a quantidade de material utilizado em sua construção. 2. O problema de fornecimento de energia Duas fábricas estão localizadas nas coordenadas (, 0) e (-, 0) com a sua fonte de energia localizada no ponto (0, h) de um plano cartesiano (veja figura abaio). Encontre y tal que a distância total da linha de alimentação da fonte de alimentação para as fábricas seja mínimo.

60 3. Investindo em imóveis Um escritório imobiliário administra 80 unidades de apartamentos. Quando o aluguel é de R$ 600 por mês, todas as unidades estão ocupadas. No entanto, para cada aumento de R$ 20 no aluguel, uma das unidades torna-se vaga. Cada unidade ocupada requer uma média de R$ 30 por mês para o serviço e reparos. Que aluguel deve ser cobrado para que se tenha o maior lucro?