= 6 lim. = lim. 2x + 2 sin(x) cos(x) 4 sin(4x) 2 x cos(x) = lim. x + ln(x) cos ) ] 3x. 3 ln. = lim x 1 x +

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1 UFRGS - PAG Cálculo - MAT05-0/ Lista 5-04/05/0 - Soluções.a ln ln = =.b sin8 0 sin4 = 0 8 cos8 4 cos4 =.c.d + sin 0 cos4 = 0 + sin cos 4 sin4 = 0 + cos sin 6 cos4 = sin e cos = 0 + e = 0.e tan ln = sin ln ln = cos π cos π = cos ln + sin π sin = π.f Quando tentamos calcular +, nos deparamos com uma indeterminação + do tipo. Para resolver esta indeterminação, utilizamos uma das propriedades dos logaritmos para desenvolver a solução: = + ln = + ln + ln = + = + [ + ] + = ln + + = + 6 = = e 6 Observe que este ite também pode ser calculado lembrando do ite fundamental + a + a = e, a 0

2 Logo, + = = = e 6.a Precisamos estudar o sinal de f = e = e. Como e > 0, o sinal de f será o sinal de. Mas, o gráco de é uma parábola côncava para baio, com raízes e. Portanto, > 0 para < <, e < 0 para < ou >. Então, como f é contínua sempre, concluímos que f é crescente no intervalo [, ] e decrescente nos intervalos, ] e [, +..b Pelos intervalos de crescimento e decrescimento obtidos no item.a, concluímos que o gráco de f é o que aparece na gura A. Pelo sinal de f, concluímos que o gráco de f é o da gura B..c Como o gráco da gura C é côncavo para cima no intervalo,, devemos ter f > 0 neste intervalo..a Seguindo os passos do roteiro para f =, temos: Domf =, +. Para determinar onde o gráco de f intercepta o eio, calculamos f0. Obtemos f0 = 0. Portanto, intercepta o eio na origem. Para determinar onde intercepta o eio, determinamos onde = f = 0. Neste caso, f = 0 apenas quando = 0, portanto a origem é o único ponto onde o gráco intercepta o eio. A simetria não será analisada. 4 Assíntotas Horizontais : f = + + = + f = = portanto concluímos que f não tem assíntotas horizontais. Como f é contínua em todo seu domínio, não há assíntotas verticais. 5 Precisamos estudar o sinal de f =. O gráco de f é uma parábola côncava para cima, com raízes e. Portanto, f < 0 para < <, e f > 0 para < ou >. Então, como f é contínua sempre, concluímos que f é decrescente no intervalo [, ] e crescente nos intervalos, ] e [, +. 6 f possui pontos críticos, = e =, que acontecem quando a derivada é nula. De acordo com os itens 4 e 5, = é um ponto de máimo local e tem valor f =, e = é um ponto de mínimo local com valor f =. Não há mínimo e máimo absolutos. 7 Precisamos estudar o sinal de f = 6. O gráco de f é uma reta que passa pela origem, portanto f > 0 para > 0 e f < 0 para < 0. Então, podemos concluir que o gráco de f é côncavo para baio no intervalo, 0 e côncavo para cima no intervalo 0, +. Como em = 0 há mudança de concavidade e neste ponto f é contínua, temos uma ineão no gráco de f neste local. 8 Na Figura temos o gráco da f, que pode ser esboçado com as informações obtidas

3 O Figura : =..c Seguindo os passos do roteiro para f = e 4, temos: Domf =, +. Para determinar onde o gráco de f intercepta o eio, calculamos f0. Obtemos f0 = 0. Portanto, intercepta o eio na origem. Para determinar onde intercepta o eio, determinamos onde = f = 0. Neste caso, f = 0 apenas quando = 0, portanto a origem é o único ponto onde o gráco intercepta o eio. A simetria não será analisada. 4 Assíntotas Horizontais : f = + + e 4 = + f = e 4 = e 4 = + 4 e 4 = 0 portanto f tem uma assíntota horizontal de equação = 0. Como f é contínua em todo seu domínio, não há assíntotas verticais. 5 Precisamos estudar o sinal de f = 4 e 4. Como e 4 é sempre positivo, o sinal de f é igual ao sinal de 4. Portanto, f > 0 se < 4 e f < 0 se > 4. Então, como f é contínua sempre, concluímos que f é decrescente no intervalo [4, + e crescente no intervalo, 4]. 6 f possui apenas um ponto crítico, = 4, que acontece quando a derivada é nula. De acordo com o item 5, concluímos que ocorre um máimo absoluto em = 4 de valor f4 = 4. Não há mínimo relativo nem mínimo absoluto. e 7 Precisamos estudar o sinal de f = 6 e 4.Como e 4 é sempre positivo, o sinal de f é igual ao sinal de 6. Portanto, f > 0 se > 8 e f < 0

4 se < 8. Então, podemos concluir que o gráco de f é côncavo para baio no intervalo, 8 e côncavo para cima no intervalo 8, +. Como em = 8 ocorre mudança de concavidade e neste ponto f é contínua, então ali ocorre uma ineão no gráco. 8 Na Figura temos o gráco da f, que pode ser esboçado com as informações obtidas - - O Figura : = e 4..d Seguindo os passos do roteiro para f = ln, temos: Domf =, 0, +, pois devemos ter > 0 para que Domf. O gráco de f não intercepta o eio, pois = 0 não pertence ao domínio da f. Para determinar onde intercepta o eio, determinamos onde = f = 0. Neste caso, f = 0 apenas quando = e 0 =, ie, quando = 0. Aplicando a fórmula de Baskara nesta equação, encontramos = + 5 ou = 5. A simetria não será analisada. 4 Assíntotas Horizontais : f = + + ln = + f = ln = + pois o comportamento de + é o mesmo de, e + quando + e, portanto, ln +. O mesmo ocorre quando. Portanto concluímos que f não tem assíntotas horizontais. Como f é contínua em todo seu domínio, ali não há assíntotas verticais. Mas devemos analisar o que ocorre quando 0 e quando +, que são os etremos do intervalo onde f não está denida. Observamos que, quando 0, então > 0 e 0, logo ln =. O mesmo ocorre quando +. Portanto, as retas verticais 0 4

5 = 0 e = são assíntotas verticais do gráco de f. 5 Precisamos estudar o sinal de f =. Como é sempre positivo Domf, o sinal de f para Domf é igual ao sinal de. Portanto, f > 0 se > e f < 0 se < 0. Então, concluímos que f é decrescente no intervalo, 0 e crescente no intervalo, +. 6 Como f 0 e eiste Domf, f não possui pontos críticos. Portanto, de acordo com esta análise e com o item 4, não há mínimos ou máimos relativos nem mínimos ou máimos absolutos. 7 Precisamos estudar o sinal de f = +. Como o denominador é sempre positivo, o sinal de f é igual ao sinal do numerador, que nunca se anula, portanto possui sempre o mesmo sinal, qualquer que seja o. Para determinar este sinal basta vericar que, para =, o sinal do numerador é negativo, portanto f < 0 Domf. Então, podemos concluir que o gráco de f é côncavo para baio no intervalo, e também no intervalo, +. Como não há mudança de concavidade, não ocorrem ineões no gráco de f. 8 Na Figura temos o gráco da f, que pode ser esboçado com as informações obtidas O Figura : = ln..e Seguindo os passos do roteiro para f = 5, temos: Domf =, 5], pois devemos ter 5 0 para que Domf. Para determinar onde o gráco de f intercepta o eio, calculamos f0. Obtemos f0 = 0. Portanto, intercepta o eio na origem. Para determinar onde intercepta o eio, determinamos onde = f = 0. Neste caso, f = 0 quando = 0 ou = 5, portanto o gráco intercepta o eio nestes pontos. A simetria não será analisada. 5

6 4 Assíntotas Horizontais : f = 5 = Não estudamos f porque f não está denida para > 5. Portanto concluímos + que f não tem assíntotas horizontais. Como f é contínua em todo seu domínio, não há assíntotas verticais. 5 Precisamos estudar o sinal de f 0 =. Como o denominador é sempre positivo 5, 5, o sinal de f é igual ao sinal do numerador, 5. Portanto, f > 0 se < 0 e f < 0 se 0 < < 5. Então, concluímos que f é crescente no intervalo, 0 ] [ ] 0 e decrescente no intervalo, 5. 6 f possui apenas um ponto crítico, = 0, que acontece quando a derivada é nula. De acordo com os itens 4 e 5, concluímos que ocorre um máimo relativo que também é absoluto em = 0 0, de valor f = 0 5. Não há mínimo relativo nem mínimo absoluto. 7 Precisamos estudar o sinal de f = Como o denominador é sempre positivo, o sinal de f é igual ao sinal do numerador, que nunca se anula e é negativo, 5. Então, podemos concluir que o gráco de f é côncavo para baio em todo seu domínio. Como não há mudança de concavidade, não ocorrem ineões no gráco de f. 8 Na Figura 4 temos o gráco da f, que pode ser esboçado com as informações obtidas O Figura 4: = 5. Obs.: O eercício.b foi cancelado. 6