Aula 4. Zeros reais de funções Parte 1

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1 CÁLCULO NUMÉRICO

2 Aula 4 Zeros reais de funções Parte 1

3 Objetivo Determinar valores aproimados para as soluções (raízes) de equações da forma: f 0 sendo f uma função real dada. Cálculo Numérico 3/60

4 APLICAÇÃO 1 Você compra um computador servidor para sua empresa por R$ sem entrada, mas com parcela de R$ por ano durante 5 anos. Qual é a taa de juros que você está pagando? A P i1 i n 1 i n 1 onde: A são os pagamentos anuais; P é o valor presente, i é a taa de juros, n é o número de anos. Cálculo Numérico 4/60

5 APLICAÇÃO 2 Uma equipe de engenheiros automobilísticos coreanos desenvolveu um sistema de amortecedores para carros de Fórmula-1. Para dar prosseguimento ao projeto, os engenheiros necessitam do valor numérico da raiz da epressão: f 4 cos Cálculo Numérico 5/60

6 APLICAÇÃO 3 A concentração c de uma bactéria poluente em um lago diminui de acordo com: C 80e 2t 20e 0,1t Determine o tempo necessário para reduzir a concentração de bactéria a 10. Cálculo Numérico 6/60

7 A solução eata de f apenas em alguns casos: 0 pode ser encontrada Polinômios de grau menor ou igual a quatro; Algumas funções trigonométricas. Mesmo quando a solução analítica está disponível, sua determinação pode ser complicada. Cálculo Numérico 7/60

8 Em alguns casos, por eemplo, de equações polinomiais, os valores de que anulam f () podem ser reais ou compleos. Estamos interessados somente nos zeros reais de f (). Graficamente: Os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eio. Cálculo Numérico 8/60

9 Cálculo Numérico 9/60

10 A ideia central dos métodos que iremos aprender é partir de uma aproimação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproimação através de um processo iterativo. Cálculo Numérico 10/60

11 Assim, os métodos constam de duas fases: Fase I: Localização ou isolamento das raízes Consiste em obter um intervalo que contém a raiz. Fase II: Refinamento Consiste em, escolhidas aproimações iniciais para o intervalo da Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproimação para a raiz dentro de uma precisão e pré-estabelecida. Cálculo Numérico 11/60

12 FASE I: Isolamento das Raízes Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f (). O da Fase II depende fortemente da precisão desta análise. Cálculo Numérico 12/60

13 Fase I: Isolamento das Raízes Na análise teórica, usa-se: TEOREMA 1 Seja f () uma função contínua em [a, b]. Se f (a) f (b) < 0, então eiste ponto = ξ entre a e b que é zero de f (). Esta é uma consequência do Teorema do Valor Intermediário. Cálculo Numérico 13/60

14 Fase I: Isolamento das Raízes f () f (b) > 0 TEOREMA 1 f (a). f (b) < 0 f (a) < 0 a b Cálculo Numérico 14/60

15 Fase I: Isolamento das Raízes f () TEOREMA 1 f (a). f (b) < 0 f (b) > 0 a b f (a) < 0 Cálculo Numérico 15/60

16 Fase I: Isolamento das Raízes f () TEOREMA 1 f (a). f (b) < 0 f (a) > 0 a f (b) < b Cálculo Numérico 16/60

17 Fase I: Isolamento das Raízes Sob as hipóteses do Teorema 1, se f () eistir e preservar o sinal em ]a, b[, então este intervalo contém um zero de f (). Cálculo Numérico 17/60

18 Fase I: Isolamento das Raízes f () f '( ) > 0, " Î [ a,b ] a b Cálculo Numérico 18/60

19 Fase I: Isolamento das Raízes f ' ( ) < 0, " Î a,b [ ] Cálculo Numérico 19/60

20 Fase I: Isolamento das Raízes Uma forma de isolar as raízes de f () usando os conceitos anteriores é tabelar f () para vários valores de e analisar as mudanças de sinal de f () e o sinal da derivada nos intervalos em que f () mudou de sinal. Cálculo Numérico 20/60

21 Fase I: Isolamento das Raízes EXEMPLO 1: Seja f () = Vamos analisar o sinal desta função. Construindo uma tabela de valores para f () e considerando apenas os sinais, temos: f() Cálculo Numérico 21/60

22 Fase I: Isolamento das Raízes Sabendo que f () é contínua para qualquer real e observando as variações de sinal, podemos concluir que cada um dos intervalos I 1 = [-5, -3], I 2 = [0, 1], I 3 = [2, 3], contém pelo menos um zero de f (). Como f () é um polinômio de terceiro grau, podemos afirmar que cada intervalo contém um único zero de f () e, assim localizamos todas as raízes de f () = 0. Cálculo Numérico 22/60

23 Fase I: Isolamento das Raízes Se f (a) f (b) > 0: Podemos ter várias situações no intervalo [a, b], conforme mostram os gráficos a seguir. Cálculo Numérico 23/60

24 Fase I: Isolamento das Raízes f () f (a). f (b) > 0 Nenhuma raiz f (a) > 0 f (b) > 0 a b Cálculo Numérico 24/60

25 Fase I: Isolamento das Raízes Várias raízes f () f (a). f (b) > 0 a 1 2 b f (a) < 0 f (b) < 0 Cálculo Numérico 25/60

26 Fase I: Isolamento das Raízes f () f (a) > 0 Uma única f (a). f (b) > 0 raiz f (b) > 0 a 1 b Cálculo Numérico 26/60

27 Fase I: Isolamento das Raízes A análise gráfica da função f () ou da equação f () = 0 é fundamental para se obter aproimações para a raiz. Temos três processos de análise de gráficos. Cálculo Numérico 27/60

28 Processos Gráficos ESBOÇAR O GRÁFICO: Análise do comportamento da função, que envolve: domínio da função, pontos de descontinuidade, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máimo e mínimo, concavidade, ponto de infleão e assíntotas da função. Através da EQUAÇÃO EQUIVALENTE g () = h (): A partir da equação f () = 0, obter a equação equivalente g () = h (), esboçar os gráficos das funções g () e h () no mesmo eio cartesiano e localizar os pontos onde as duas curvas se interceptam, pois neste caso: f ( ) = 0 g ( ) = h ( ). GRÁFICOS COMPUTACIONAIS: Eemplo: uso do Matlab. Cálculo Numérico 28/60

29 Equação Equivalente g() = h() EXEMPLO 2: Suponha f () = log 1, então queremos encontrar tal que: log 1 0 log 1 Chamando: e g h log 1 Cálculo Numérico 29/60

30 Equação Equivalente g() = h() y h() 2 3 g() Verificou-se que [2, 3] Cálculo Numérico 30/60

31 Fase II: Refinamento Veremos vários métodos de refinamento de raízes. A forma como se efetua o refinamento é que diferencia os métodos. Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são eecutadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos. Cálculo Numérico 31/60

32 Início Dados Iniciais Cálculo Iniciais k = 1 Calcular a nova aproimação Essa aproimação está próima o suficiente da raiz eata? Cálculos Intermediários Sim Cálculos Finais Fim k = k+1 Cálculo Numérico 32/60

33 Critério de Parada Nos, uma aproimação atual é feita com base em uma aproimação prévia. Esse processo é realizado repetidamente (iterativamente) para se calcular aproimações cada vez melhores. Cálculo Numérico 33/60

34 Critério de Parada TESTE: k está suficientemente próimo da raiz eata? Eistem duas interpretações para raiz aproimada que nem sempre levam ao mesmo resultado: é raiz aproimada com precisão e se: i) e ou ii) f e Cálculo Numérico 34/60

35 Aproimação para o erro Nos, a grande preocupação é em saber se o valor absoluto percentual é que uma tolerância percentual pré-estabelecida. e a < e s Repete-se, então, os cálculos até que isto ocorra. Cálculo Numérico 35/60

36 Critério de Parada Como efetuar o teste (i) se não conhecemos o valor eato da raiz? Usamos os conhecimentos de erro absoluto e erro relativo para determinarmos o critério de parada. ERRO ABSOLUTO: k k 1 e ERRO RELATIVO: k k 1 k e Cálculo Numérico 36/60

37 Nem sempre é possível ter as eigências (i) e (ii) satisfeitas simultaneamente. Cálculo Numérico 37/60

38 f () Temos f e Mas e f e Cálculo Numérico 38/60

39 f () Temos e Mas f e f e Cálculo Numérico 39/60

40 f () Temos f e e e f Cálculo Numérico 40/60

41 Métodos Iterativos Métodos iterativos para a obtenção de zeros reais de funções reais: Bissecção; Falsa posição; Ponto fio; Newton-Raphson; Secante. Cálculo Numérico 41/60

42 Método da Bissecção Suponha que f () seja uma função contínua definida em [a,b], tal que f (a) f (b) < 0. Então vimos que, eiste pelo menos uma raiz neste intervalo. Vamos supor, para simplificar, que ]a, b[ contenha uma única raiz da equação f () = 0. Cálculo Numérico 42/60

43 Método da Bissecção O objetivo deste método é a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida usando, para isto, a sucessiva. Cálculo Numérico 43/60

44 Método da Bissecção Graficamente: f() f (a 0 ). f (b 0 ) < 0 1 = (a 0 + b 0 )/2 a 0 1 b 0 Cálculo Numérico 44/60

45 Método da Bissecção Graficamente: 2 = (a 1 + b 1 )/2 f() f (a 0 ). f (b 0 ) < 0 f() a 0 = a 1 1 = (a 0 + b 0 )/2 2 1 = b 1 a 0 f (a 1 ). f (b 1 ) < 0 1 b 0 Cálculo Numérico 45/60

46 Método da Bissecção Graficamente: 2 = (a 1 + b 1 )/2 f() f (a 0 ). f (b 0 ) < 0 1 = (a 0 + b 0 )/2 f() a 0 = a = b 1 a 0 1 b 0 f() 3 = (a 2 + b 2 )/2 Repete-se o processo até que o valor de atenda às condições de parada. 2 =a 23 b 1 =b 2 Cálculo Numérico 46/60

47 Cálculo Numérico 47/60 Método da Bissecção As iterações são realizadas da seguinte forma: f b f a f b a f b f a f b a , b a a a , b b a b

48 Método da Bissecção Ao se conseguir um intervalo [a, b] tal que: a,b b a e a, b e e então,,. Portanto, a, b pode ser tomado como. Cálculo Numérico 48/60

49 EXEMPLO 4 Considerando o método da bissecção com e = 0,002 e adotando [2,3] como intervalo inicial, obtenha uma aproimação para a função: f log 1 Cálculo Numérico 49/60

50 EXEMPLO 4 y h() 2 3 g() Verificou-se que [2, 3] Cálculo Numérico 50/60

51 EXEMPLO 4 k a k b k f(a k ) f(b k ) k+1 f( k+1 ) 0 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00136 b - a = 0,01563 f() < e = 0,002 > e = 0,002 2, Cálculo Numérico 51/60

52 EXEMPLO 4 k a k b k f(a k ) f(b k ) k+1 f( k+1 ) 0 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5000 2, , , , , , , , , , , , , , , b - a = 0,00195 < e =0,002 Cálculo Numérico 52/60 2, 50587, 2, 50782

53 Método da Bissecção ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES: Dada uma precisão e e um intervalo inicial [a, b], vamos determinar quantas iterações serão efetuadas pelo método da bissecção até. Cálculo Numérico 53/60

54 Cálculo Numérico 54/60 Método da Bissecção a 0 b 0 a 1 b 1 b 2 a a b a b a b a b a b a b a b a b b 3 a 3

55 Método da Bissecção Então temos que: b k a k b a b k1 k1 0 k 2 2 a 0 Devemos obter o valor de k tal que seja: b k - a k <e, ou b 0 - a 0 2 k < e Cálculo Numérico 55/60

56 Método da Bissecção Portanto, se k satisfaz a relação anterior, ao final da iteração k, teremos o intervalo [a, b] que contém a raiz, tal que:, a b b a e Cálculo Numérico 56/60

57 Podem ocorrer sequências em que as diferenças n n1 convergem para zero, enquanto a própria sequência diverge. Podem ocorrer de f n estar próimo de zero, mesmo quando n for significativamente diferente de. Sem outras informações sobre f ou, o melhor critério é: n n 1 n e por ser o que mais se aproima da ideia de testar o. Cálculo Numérico 57/60

58 Método da Bissecção VANTAGENS: Facilidade de implementação; Estabilidade e convergência para a solução procurada; O número de iterações é dependente da tolerância considerada. Cálculo Numérico 58/60

59 Método da Bissecção DESVANTAGENS: Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f () em um elevado número de iterações); Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível); Compleidade da etensão do método para problemas multivariáveis. Cálculo Numérico 59/60

60 Eercício Seja f () = ; I = [0, 1]; e = 10-3, use o critério f () < e. k a k b k f(a k ) f(b k ) k+1 f( k+1 ) b a ,5-1, ,5 3-1,375 0,25 0, ,5 2 0,25 0,5 0, ,375 0,375-0, ,25 3 0,25 0,375 0, , ,3125 0, , ,3125 0,375 0, , , , , ,3125 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00098 Cálculo Numérico 60/60

61 Referências BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica. São Paulo, SP: Cengage Learning, iii, 721 p. ISBN RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Makron, c1997. vi, 406 p. ISBN CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, p. ISBN Cálculo Numérico 61/60