Método da Secante Para Resolução de equações do tipo f(x)=0

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1 Método da Secante Para Resolução de equações do tipo 0 Narã Vieira Vetter Guilherme Paiva Silva Santos Raael Pereira Marques naranvetter@walla.com guilherme.pss@terra.com.br rp_marques5@yahoo.com.br Associação Educacional Dom Bosco AEDB, Faculdade de Engenharia de Resende - Resende, RJ, Brasil Associação Educacional Dom Bosco AEDB, Faculdade de Engenharia de Resende - Resende, RJ, Brasil Associação Educacional Dom Bosco AEDB, Faculdade de Engenharia de Resende - Resende, RJ, Brasil RESUMO Este trabalho apresenta o método chamado de método da secante para a resolução de equações do tipo 0, resolver equações desse tipo signiica obter as raízes reais de uma unção, ou seja, o ponto onde a unção é nula. Esse método utiliza uma estratégia parecida com a do método de Newton Raphson para resolução da equação, o que o dierencia é a substituição da derivada por um quociente de dierenças. Para melhor visualização desse recurso, apresenta-se um eemplo de resolução de sistemas pelo método da secante. O algoritmo do método da secante é uma saída para o método de Newton em sistemas de equações cuja resolução da derivada eige uma elaboração maior. Isso muitas das vezes acarreta uma maior necessidade de tempo para eecução do programa e resolução do sistema. Devido a isso o método da secante substitui a derivada por um quociente de dierença e torna mais rápida a convergência para raiz nesses casos. Trata-se de um sistema com uma seqüência de passos elementares para desenvolver um algoritmo para programação desse método, que necessita não de uma aproimação inicial como no método de Newton, mas de duas aproimações, uma vez que a reta secante corta a unção em dois pontos, já a reta tangente utilizada no método de Newton corta a unção em apenas um ponto. A ordem de convergência do método da secante não é quadrática como a do método de Newton, mas também não é apenas linear. Os critérios para convergência são os mesmos do método de Newton porém acrescenta-se que não seja aplicável devido a aproimação da derivada por um quociente de dierenças. O método da secante az convergir para um valor tal que seja igual a zero, ou seja, a partir de um processo de iterações sucessivas e duas aproimações - e, o ponto é obtido como sendo a abscissa do ponto de interseção do eio o e da reta secante que passa por -, - e,. Ressalta-se que um programa em MatLab oi desenvolvido para solucionar os sistemas de equações propostos. Palavras-Chave: Método da secante. Sistemas não Lineares. Iterações. MatLab. INTRODUÇÃO Segundo CHAPRA e CANALE 00 um problema em potencial ao se implementar o método de Newton-Raphson é a necessidade de se obter a derivada da unção avaliada. Embora isso não seja inconveniente para unções polinomiais e muitas outras, eistem unções das quais a derivada é etremamente diícil ou inconveniente de se calcular. Para casos assim, a derivada é substituída por um quociente de dierença. Assim é o método da secante, uma aproimação do método de Newton, ao invés de se utilizar a derivada na unção

2 de iteração, utiliza uma razão incremental, o que leva a necessidade de duas aproimações iniciais. Trata-se de um sistema com a seguinte seqüência de passos : a Deinir a unção a ser avaliada; b Deinir a aia onde se quer pesquisar as raízes; c Veriicar se nesta aia há pelo menos uma raiz real, isso se veriica se nesse intervalo a unção vai de valores positivos para negativos ou vice-versa; d Deinir as aproimações iniciais; e Veriicar condições de convergência; Fazer iterações com o algoritmo do método da secante até que haja convergência. OBJETIVOS Desenvolver programação em MatLab; Aprender um novo método para resolução de Sistemas não lineares; Elaborar um programa com método da Secante que resolva os sistemas propostos. TÉCNICA DO MÉTODO DA SECANTE Visto que o método da secante é uma aproimação do método de Newton Raphson, o que o dierencia é a substituição da derivada por um quociente de dierença, não é diícil obter a unção de iteração. Do método de Newton Raphson temos que: ' Para a aproimação da derivada temos que: ' Onde e - são duas aproimações para raiz. Então a unção de iteração para o método da secante ica: 4

3 Desta orma deinimos a seguinte unção de iteração para o método da secante: 5. Interpretação Geométrica A partir de duas aproimações - e, o ponto é obtido como sendo a abscissa do ponto de intersecção do eio o e da reta secante que passa por -, - e,. A reta secante passando pelas aproimações iniciais 0 e intercepta o eio o em, que é a primeira estimativa para raiz. O valor buscado na unção e veriicado se torna a unção nula nesse ponto, conorme Figura. Não satisazendo esta condição, é necessário azer mais iterações, e isso é eito até que se veriique que um valor de torne a unção nula. Figura.Gráico da técnica do método da secante. Obtenção da Função de Iteração pela Interpretação Geométrica Graicamente temos a unção cortada pela reta secante, e azendo as considerações geométricas temos que dois triângulos semelhantes são ormados na Figura.

4 Figura. Interpretação geométrica da unção de iteração Pela semelhança de triângulos temos que: Desta orma chegamos a seguinte unção de iteração: 9 De modo que o método da secante é uma aproimação para o método de Newton, as condições para convergência do método são praticamente as mesmas, porém acrescenta-se que não seja aplicável e que o método pode divergir se -. A ordem de convergência do método da secante não é quadrática como a do método de Newton, mas também não é apenas linear. Sendo assim, podemos dizer que o objetivo principal do método da secante é azer iterações para encontrar um valor tal que 0.

5 4 ALGORITMO PARA PROGRAMAÇÃO EM MATLAB Passo Dados iniciais: i 0 e : aproimações iniciais; ii ξ : precisão; Passo Condição para eecução do programa i Como o método pode divergir se - criamos uma estrutura para impedir esta indeterminação. ii Se 0 pare, não eecute as iterações. Passo i Iter ii Número máimo de iterações iii erro valor absoluto - 0 Passo 4 i Enquanto Erro > ξ aça 0 0 ; 0 0 ii erro ; iii erro valor máimo absoluto erro- ; iv iter iter; Passo 5 Passo 6 i 0 e ; ii Volte ao passo 4 Como o programa busca as raízes reais de uma unção, e algumas unções podem não ter raízes reais, o programa pode eecutar iterações ininitamente, para que isso não ocorra é preciso estabelecer um número máimo de iterações. Passo 7 i Se iter número máimo de iterações, pare o método está divergindo; ii Veriique se a unção possui raízes reais; i Quando Erro < ξ imprima a raiz real da unção; ii iii Imprima o número de iterações iter-; FIM

6 4. Eemplo Resolvido Passo Passo Consideremos ² 6 Aproimações iniciais: 0.5 e.7 Precisão: ξ 0,0 Iter Enquanto Erro > ξ azer iterações erro,7 erro -0,7-,5 0, Erro > ξ Primeira iteração: 0 0 0,5,4,7,5,057,4,5 Passo erro,057 erro,057-, Erro > ξ Segunda iteração: 0 Cálculo,057², ,798 4

7 ,70,798,057,4, ,798,4 Passo 4 erro,99774 erro,99774,057-0,0797 Erro > ξ terceira iteração: 4 6 Cálculo,99774², ,0 7,057 0,0,997740,798 4, ,0 0,798 Passo 5 erro,99999 erro,99999, ,005 Erro < ξ raiz encontrada Passo 6 Imprimir resultados Valor convergido:,99999 Número de iterações: O valor de uma das raízes da unção é a convergência para o valor,99999 oi devido à precisão. Aumentando-se a precisão o valor convergido seria.

8 5 CONCLUSÕES Neste trabalho apresentamos o algoritmo para resolução de equações do tipo 0 usando o método da secante. Deste modo, solucionamos o problema da determinação da raiz real proposto, através de um programa desenvolvido em MatLab. Percebemos que através deste método podemos determinar uma raiz real de uma unção, ou seja, através de iterações sucessivas utilizando a unção de iteração do método da secante podemos encontrar um valor para tal que seja nulo. Vale ainda ressaltar algumas considerações importantes: O método da secante é uma saída para o método de Newton quando se quer escapar do cálculo da derivada. Em comparação com o método de Newton, isso o torna melhor? Às vezes sim e às vezes não, para a comparação devemos levar em conta os principais critérios de avaliação: garantias de convergência, rapidez de convergência e esorço computacional. Observamos que o único dado que o programa nos ornece quanto a sua eiciência é o número de iterações eetuadas, o que não nos permite tirar conclusões sobre o tempo de eecução do programa, pois o tempo gasto a cada iteração varia de método para método, de unção para unção e de aproimação para aproimação. O esorço computacional é medido através do número de operações eetuadas a cada iteração, da compleibilidade destas operações, do número de decisões lógicas, do número de avaliações de unção a cada iteração e do número total de iterações. Tendo isso em mente, percebe-se que é diícil tirar conclusões gerais sobre a eiciência computacional de um método em relação a outro. Por eemplo, apesar do método de Newton Raphson requerer cálculos mais elaborados, porque eige o cálculo da unção e da derivada a cada iteração, ele pode convergir com um número menor de iterações em relação ao método da secante. Considerando que o método ideal seria aquele em que a convergência estivesse assegurada, a ordem de convergência osse alta e os cálculos por iterações ossem simples, o método de Newton é o mais indicado sempre que or ácil veriicar as condições de convergência e que o cálculo da derivada não seja muito elaborado. Nos casos em que é trabalhoso obter e/ou avaliar a derivada, é aconselhável utilizar o método da secante visto que este converge mais rapidamente que outros métodos. Outro detalhe importante na escolha é o critério de parada, pois se o objetivo or reduzir o intervalo que contém a raiz, não se deve usar o método da secante que apesar de trabalhar num intervalo, pode não atingir a precisão requerida. Após estas considerações, podemos concluir que a escolha do método está diretamente relacionada com a equação que se quer resolver, no que diz respeito ao comportamento da unção na raiz eata, às diiculdades com o cálculo da derivada, ao critério de parada, entre outros. Apesar do método de Newton apresentar condições mais restritas para convergência, ele pode ser mais rápido uma vez que estas condições são satiseitas. Finalizamos lembrando que o método da secante depois do de Newton é que apresenta mais rapidez de convergência.

9 REFERÊNCIAS CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Numerical methods or engineers: international edition. 4. ed. New Yor: McGraw-Hill, 00. KREYSZIG, Erwin. Advanced engineering mathematics. 8. ed. Indianapolis: Wiley & Sons, 999. RUGGIERO, M. A. G. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais.. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 996. SOUZA, M.J.F. Departamento de computação,ufop. Disponível em: < Acesso em: 0 ago QUEIROZ, B.C.N. Departamento de sistemas e computação CCT,UFCG. Disponível em: < Acesso em: 0 ago. 006.