Integração Numérica. Cálculo Numérico

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1 Cálculo Numérico Integração Numérica Pro. Jorge Cavalcanti MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG -

2 Integração Numérica Em determinadas situações, integrais são diíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. Eemplo: o valor de é conecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conece a epressão analítica de, não é b possível calcular a d Forma de obtenção de uma aproimação para a integral de num intervalo [a, b] Métodos Numéricos.

3 Integração Numérica Idéia básica da integração numérica substituição da unção por um polinômio que a aproime razoavelmente no intervalo [a, b]. Integração numérica de uma unção num intervalo [a,b] cálculo da área delimitada por essa unção, recorrendo à interpolação polinomial, como, orma de obtenção de um polinômio p n. 3

4 Integração Numérica Fórmulas de Newton-Cotes São órmulas de integração do tipo: b a i d [a,b],i A,,...,n Fórmulas de integração órmulas de quadratura: I n n i A,..., n - pontos conecidos, pertencentes ao intervalo [a, b] nós de integração. A,..., A n - coeicientes a determinar, independentes da unção pesos. A i i... A n n, 4

5 Integração Numérica O uso desta técnica decorre do ato de: Por vezes, ser uma unção muito diícil de integrar, contrariamente a um polinômio; Conecer-se o resultado analítico do integral, mas, seu cálculo é somente aproimado; A única inormação sobre ser um conjunto de pares ordenados. 5

6 Integração Numérica Métodos de integração numérica mais utilizados Fórmulas de Newton-Cotes Fecadas Regra dos Trapézios. Regra /3 de Simpson Fórmulas de Newton-Cotes Abertas os i têm de pertencer ao intervalo aberto de a até b 6

7 Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Simples - consiste em considerar um polinômio de primeiro grau que aproima uma unção, ou seja, n=. Este polinômio terá a orma y=a + a e trata-se da equação que une dois pontos: a= e b=. 7

8 Regra dos Trapézios Simples Área do trapézio: A=. t+t / - altura do trapézio t - base menor T - base maior p De acordo com a igura: = b a = t= a = T = b = P a = = b-a b = Logo, d 8

9 Regra dos Trapézios Eercício: Estimar o valor de: Pela regra dos trapézios simples e depois veriicar o valor eato da integral. a Pela Regra dos Trapézios Simples: I = / [ + ] = = 3,6 3, =,6 = /, = /3 e = /3,6 I=,6/ /3 + /3,6 =,8333 b Pelo Cálculo Integral: 3,6 I 3,6 d 3, d I = ln = ln 3,6 ln 3, =,83 3, 3,6 3, 9

10 Regra dos Trapézios Simples Intervalo [a, b] relativamente pequeno Aproimação do valor do integral é aceitável. Intervalo [a, b] de grande amplitude Aproimação deasada. Pode-se subdividi-lo em n subintervalos, e em cada um a unção é aproimada por uma unção linear. A amplitude dos subintervalos será =b-a/n. A integral no intervalo é dado pela soma das integrais deinidas pelos subintervalos. Regra dos trapézios simples aplicada aos subintervalos. Uso da Regra dos Trapézios Composta Repetida: soma da área de n trapézios, cada qual deinido pelo seu subintervalo.

11 Regra dos Trapézios Composta Repetida Intervalo [a, b] de grande amplitude. Soma da área de n trapézios, cada qual deinido pelo seu sub-intervalo.

12 A Regra aproima pequenos trecos da curva y = ƒ por segmentos de reta. Para azer uma aproimação para a integral de de a até b, somamos as áreas assinaladas dos trapézios obtidos pela união do inal de cada segmento com o eio. É interessante observar que aproimar a área sob a unção pela soma de áreas de trapézios é o equivalente a: Realizar interpolação linear de, ou seja, ligar os pontos n, y n com retas.

13 3 Fórmula: Só os termos e n não se repetem, assim, esta órmula pode ser simpliicada em:... N N d m N N N d... Regra dos Trapézios Composta Repetida

14 Regra dos Trapézios Composta Repetida Eercício: Estimar o valor de: Pela regra dos trapézios repetida, subdividindo o intervalo em 6 subintervalos. I 3,6 d 3, =/ 3., ,35 3., ,33 a=3,; b=3,6; = / = b-a/n = 3,6 3,/6 =,6/6 =. I TR = / [ + [ ]+ 6 ] I TR =, ,94 3.5, ,778 4

15 Regra dos Trapézios Eemplo: Estimar o valor de para pontos Trapézio Simples, 3 e 9 pontos Repetida 4 / d Regra dos Trapézios Simples - pontos =. e =4., =4 I=/ + = =.4858 Regra dos Trapézios Composta - 3 pontos =., =., =4., =b-a/n = I=/ + + = =.369 Regra dos Trapézios Composta - 9 pontos =., =., =4., =b-a/n =.5 I=.5/ =.936 A aproimação para 9 pontos é melor, dado que o valor real é.947. y=+² -/

16 Regra de /3 de Simpson b Seja I= d. Para este caso vamos considerar a novamente uma subdivisão do intervalo [a,b] em um número de subintervalos n par. A Regra de Simpson az aproimações para pequenos trecos de curvas usando arcos parabólicos. 6

17 Regra de /3 de Simpson Podemos usar a órmula de Lagrange para estabelecer a órmula de integração resultante da aproimação de por um polinômio interpolador de grau. Seja p que interpola nos pontos: = a = + = + = b 7

18 8 O Polinômio de Lagrange de grau que estabelece a unção de interpolação de nos pontos [ i, i ] será: Regra de /3 de Simpson P =L + L + L L L L = a; = + ; = + = b - = a a+ = - = a a+ = - = a+ - a = = a+ a+= - = a+-a = = a+-a+ =

19 9 O Polinômio será: Regra de /3 de Simpson P S b a I d d d d p d Então se P :

20 Regra de /3 de Simpson As integrais podem ser resolvidas, por eemplo, usando a mudança das variáveis = z. Assim, = + z, então = + z + = z = + z + = z e, para =, z = ; =, z = ; =, z = ; Após essas mudanças, com d = dz : I S z z dz z z dz z z dz

21 Regra de /3 de Simpson Resolvendo as integrais, obtemos a Regra de /3 de Simpson: 4 3 d ] [ ] [ s 4 3 I

22 Regra de /3 de Simpson Eercício: Estimar o valor de: Pela Regra de /3 de Simpson com dois intervalos e comparar com o valor eato da integral. a Pela Regra de /3 de Simpson: I S = /3 [ ] = / = 3,6 3, =,6/ =,3 = /; = /3,; = /3,3 e = /3,6; I S =,3/3 /3 +4*/3,3 + /3,6 =,83 b Pelo Cálculo Integral: 3,6 I 3,6 d 3, d I = ln = ln 3,6 ln 3, =,83 3, 3,6 3,

23 Regra de /3 de Simpson Repetida Pela Regra de Simpson, oram necessários 3 pontos para a interpolação de Lagrange, o que signiicou a divisão do intervalo de integração em subintervalos. A Regra de Simpson Repetida consiste em subdividirmos o intervalo [a, b] em n subintervalos de amplitude, onde n é um número par de subintervalos, pois cada parábola utilizará 3 pontos consecutivos. 3

24 4 Regra de /3 de Simpson Repetida Aplica-se então a regra para cada 3 pontos, isto é, a cada subintervalos obtendo: m k b a k k m d d d m m m SR m m m I d m

25 Eemplo Calcular 5 lnd usando sub-intervalos. m m 5, 4 d 4 d, ,35 usando a regra de Simpson, A m m m 4,47 A A,,,,4,3365 4,3459,8,5878,756,, ,538,6,9555,9 3,, ,3944 3,4,38,4476 3,8, ,34 4,,435,87 4,6,56 4 6,4 5,,694,694 A 3,35 5

26 Eercício Calcular 3 e d Simpson, para, 4 e 6 sub-intervalos. usando a regra de 6