Autores: Interpolação por Spline Cúbica e Método de Integração de Simpson para Cálculo de Campo Magnético PLANO BÁSICO: MÉTODOS NUMÉRICOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC CENTRO DE TECNOLOGIA CT DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DEE PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - PET PLANO BÁSICO: MÉTODOS NUMÉRICOS Interpolação por Spline Cúbica e Método de Integração de Simpson para Cálculo de Campo Magnético Orientadores: Lucas Chaves Gurgel Janailson Rodrigues Lima Tutor: José Carlos Teles Campos Autores: Ítalo Rolim Nogueira e Janaína Esmeraldo Rocha

2 Índice Histórico Motivação Interpolação Interpolação polinomial Método de Lagrange Método de Newton Funções spline Spline cúbica Integração numérica Métodos de integração Regra do Trapézio Regra de Simpson Aplicação em eletromagnetismo

3 Histórico O nascimento do eletromagnetismo se deu no século XIX, com a clássica experiência do físico dinamarquês Hans Christian Oersted ( ). Em 1820, ele verificou que, ao colocar um bussola sob um fio onde passava uma corrente elétrica, verificava-se um desvio na agulha dessa bússola. A partir dessa experiência, Oersted estabeleceu uma relação entre as propriedades elétricas e magnéticas, dando origem ao eletromagnetismo.

4 Histórico E assim influenciou os futuros trabalhos de seus contemporâneos como Michael Faraday, Joseph Henry, André-Marie Ampère, Jean-Baptiste Biot, Félix Savart, Carl Friedrich Gauss, Samuel Morse, Heinrich Lenz e James Clerk Maxwell, entre outros. Hans Christian Oersted

5 Motivação Lei de Biot-Savart: Onde: é uma constante relacionada ao meio i é a corrente constante que percorre o fio r é a distância do ponto onde será calculado o campo magnético ao ponto do fio que causa o mesmo é um infinitesimal do comprimento do fio por onde passa a corrente é um vetor unitário na direção do ponto do fio ao ponto onde será calculado o campo magnético

6 Motivação Cálculo do campo magnético para um fio retilíneo finito:

7 Motivação Cálculo do campo magnético para um fio retilíneo finito:

8 Motivação Cálculo do campo magnético para um fio nãoretilíneo finito:

9 Motivação Cálculo do campo magnético para um fio nãoretilíneo finito: Onde:

10 Motivação Cálculo do campo magnético para um fio nãoretilíneo finito:

11 Interpolação Interpolar uma função é aproximá-la por meio de outra.

12 Para quê interpolar? Conhecemos apenas valores numéricos de uma função, e precisamos calcular valores de pontos não tabelados. A função estudada é demasiado trabalhosa para certos cálculos (diferenciação e integração, por exemplo).

13 Tipos de interpolação Linear Polinomial Trigonométrica

14 Interpolação polinomial Conhecendo (n+1) pontos distintos de uma função f(x), temos os nós da interpolação. Os nós são base para a função interpoladora g(x), pois como condição da interpolação tem-se:

15 Interpolação polinomial Graficamente, os nós da interpolação serão pontos coincidentes nas função f e g. Os intervalos entre os nós não necessariamente coincidem, e o erro depende do método utilizado.

16 Formas de obter o polinômio interpolador Com (n+1) nós, é possível obter um polinômio de grau n que interpola todos os pontos. A fórmula do polinômio interpolador é: (n+1) incógnitas (n+1) equações suficiente

17 Formas de obter o polinômio interpolador Matriz dos coeficientes do sistema linear com variáveis : Matriz dos termos independentes:

18 Funções da base de Lagrange Polinômio da base de Lagrange para interpolar (n+1) pontos: Assim, quando

19 Funções da base de Lagrange O polinômio interpolador na forma de Lagrange têm a seguinte expressão: Com a base de Lagrange, sempre teremos:

20 Método de Newton O polinômio interpolador de grau n que interpola (n+1) pontos pelo método de Newton é o seguinte: Onde representa o operador diferenças divididas de ordem i entre os pontos, com k variando de 0 a i.

21 Método de Newton Cálculo do operador diferenças divididas: Ordem 0: Ordem 1: Ordem 2: Ordem n:

22 Complexidade dos métodos Método de Lagrange: Método de Newton:

23 Funções spline em interpolação Dificuldade de interpolar (n+1) pontos em um único polinômio de grau n. Na aproximação polinomial por partes, tem-se um polinômio interpolador para cada intervalo entre nós.

24 Spline linear Aproximação de uma função f por uma função linear por partes:

25 Funções spline em interpolação A spline cúbica, usa polinômios cúbicos para interpolar os nós dois a dois. Características positivas: Flexibilidade do polinômio cúbico. Sem picos ou trocas de curvatura abruptas nos nós.

26 Spline cúbica Grafíco de pontos interpolados pro spline cúbica:

27 Spline cúbica Supondo que f(x) esteja tabelada em (n+1) pontos, o polinômio interpolante é composto de n polinômios, um para cada intervalo entre dois nós

28 Spline cúbica As condições de existência dos polinômios são:

29 Spline cúbica Os polinômios, k de 1 a n, são trabalhados a partir da seguinte expressão, de forma a simplicar os cálculos: 4n coeficientes 4n equações

30 Spline cúbica Número de equações obtidas pelas condições de interpolação: (n+1) para (n-1) para interpolar f nos nós ser contínua nos nós (n-1) para as derivadas de nos nós (n-1) para as derivadas segundas de Total: 4n-2 equações insuficientes nos nós

31 Spline cúbica Duas condições em aberto. Nesta análise as duas equações faltosas foram: Essa escolha define uma spline natural. Fora do intervalo delimitado, a spline é linear ou bastante próxima de uma função linear.

32 Spline cúbica Relacionando todas as condições e fazendo as seguintes substituições: as seguintes fórmulas para os coeficientes são obtidas:

33 Spline cúbica Os valores de e de são constantes e nós conhecemos, mas ainda é necessário descobrir todos os. Pela continuidade das derivadas, monta-se o sistema linear AX = B tal que:

34 Spline cúbica Continuação do sistema linear:

35 Spline cúbica Resolvido o sistema, todos os dados necessários à determinação dos coeficientes foram encontrados. Os polinômios da função spline são determinados. Algoritmo:

36 Exemplo de spline cúbica Para os pontos (1,2), (3,4), (5,6), (10,20), (12,2), (15,24), (18,88), (20,38) e (30,1) interpolamos uma função cujo gráfico é o seguinte:

37 Integral de Riemann A integral de Riemann de uma função f no intervalo [a, b] é o limite seguinte, desde que ele exista: Onde satisfazem a = e onde, para cada i = 1, 2,..., n e é arbitrariamente escolhido no intervalo [ ].

38 Integral de Riemann Uma função f que é contínua em um intervalo [a, b] também é integrável, segundo Riemann, em [a, b]. Isso permite escolher, para conveniência de cálculo, que os pontos sejam igualmente espaçados em [a, b] e, para cada i = 1, 2,..., n, escolher. Nesse caso, onde.

39 Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais Suponha que f C[a, b], que a integral de Riemann de g exista em [a, b] e que g(x) não mude de sinal em [a, b]. Então existe um número c em (a, b) tal que: Quando g(x), o teorema acima torna-se o usual Teorema do Valor Médio para Integrais. Ele fornece o valor médio da função f no intervalo [a, b] como:

40 Métodos de Integração Freqüentemente é necessário o cálculo da integral definida de uma função que não tenha primitiva explícita ou cuja primitiva não seja fácil de obter. Para isso, utilizam-se métodos para calcular uma aproximação da integral. O método básico envolvido na aproximação é chamado quadratura numérica. Ele utiliza polinômios interpoladores de Lagrange.

41 Métodos de Integração Sendo o polinômio interpolador de Lagrange: P n (x) = e seu erro de truncamento: A fórmula de quadratura aproxima o valor da integral por: onde n é o grau do polinômio interpolador.

42 Regra do Trapézio Esta regra utiliza pontos igualmente espaçados juntamente com o polinômio linear de Lagrange: P 1 (x) = Para utilizar a Regra do Trapézio na aproximação de fazemos:

43 Regra do Trapézio Assim, a fórmula de quadratura fornece: Como não muda de sinal no intervalo [ ], podemos aplicar o Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais no termo de erro: E(f) = E(f) =

44 Regra do Trapézio Portanto, a Regra do Trapézio fica:

45 Regra do Trapézio Assim, é aproximada pela área de um trapézio: Como o termo de erro para a regra do trapézio envolve f (2), esta regra fornece o resultado exato quando aplicada a qualquer função cuja segunda derivada seja identicamente zero, ou seja, qualquer polinômio de grau menor ou igual a um.

46 Regra de Simpson Esta regra resulta da integração em [a, b] do segundo polinômio interpolador de Lagrange com pontos igualmente espaçados e com nós:

47 Regra de Simpson Da fórmula de quadratura, temos: Entretanto, ao deduzir a regra de Simpson dessa forma, obtemos apenas um termo de erro envolvendo f (3). Abordando o problema de outra forma, podemos deduzir um termo envolvendo f (4).

48 Regra de Simpson Suponha que f seja expandida no polinômio de Taylor de grau 3 sobre. Então, para cada x [ ], existe um número em com:

49 Regra de Simpson Como nunca é negativo em, o Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais implica que: para algum.

50 Regra de Simpson Mas, Substituindo as equações acima, temos:

51 Regra de Simpson Mas, Portanto, Pode-se mostrar por métodos alternativos que os valores nesta expressão podem ser substituídos por um valor comum em, resultando na Regra de Simpson:

52 Regra de Simpson Como o termo do erro envolve a quarta derivada de f, a Regra de Simpson fornece resultados exatos para polinômios de grau menor ou igual a 3. Assim, é aproximada pela área:

53 Regra do Trapézio x Regra de Simpson Cálculo da integral definida no intervalo [0,2] de uma função f(x): F(x) X 2 X 4 Sen(x) Valor Exato 2,667 6,400 1,099 2,958 1,416 6,389 Trapézio 4,000 16,000 1,333 3,326 0,909 8,389 Simpson 2,667 6,667 1,111 2,964 1,425 6,421

54 Algoritmo Cálculo do campo magnético para um fio nãoretilíneo finito desenhado por spline cúbica.

55 Validação do algoritmo Para fio retilíneo finito com corrente constante de 2 A: Pelo método de Simpson: Campo_Magnetico = e-008

56 Dificuldades Encontradas A modelagem matemática e o raciocínio lógico envolvido nas inúmeras tentativas de previsões de erros. O sinal envolvido nos cálculos das contribuições das parcelas dos campos magnéticos.

57 Conclusões A curva obtida pela spline cúbica simula adequadamente todos os tipos de curvas. Os valores obtidos pelo Método de Simpson se mostraram bastante próximos aos valores reais com erros percentuais mínimos. A partir dos pequenos erros obtidos para fios retilíneos finitos, pode-se validar o método para fios não-retilíneos.

58 Bibliografia RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico. São Paulo: MAKRON Books, 1988; BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise Numérica. São Paulo: CENGAGE Learning, HAYT Jr., William H.; BUCK, John A. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: LTC, SERWAY, Raymond A.; JEWETT Jr., John W. Princípios de Física: Eletromagnetismo Volume 3. São Paulo: CENGAGE Learning, 2004.

59 Agradecimentos A Deus; À família; Aos petianos; A todos os aqui presentes.

60 Obrigado pela atenção!