Um polinômio p de grau, com coeficientes reais na variável é dado por:

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1 Cálculo Numérico IPRJ/UERJ Sílvia Mara da Costa Campos Victer ÍNDICE Aula 3- Aproximação polinomial de Funções - Polinômios de Taylor Interpolação - Polinômios de Lagrange Aula 3 - Aproximação polinomial de funções Muitas funções podem ser aproximadas por polinômios. Os polinômios, em vez da função original, podem ser usados para cálculos, quando a diferença entre o valor da função em um ponto e o da aproximação polinomial for suficientemente pequena. Existem vários métodos para aproximar uma função por polinômios. A fórmula de Taylor é um dos mais utilizados. Um polinômio p de grau, com coeficientes reais na variável é dado por: onde os coeficientes. No cálculo, as funções polinomiais são consideradas as mais simples. funções logaritmo, seno, cosseno, exponencial, etc., não tem tal simplicidade. Já as Dada uma função qualquer,, faremos uma aproximação desta função por polinômios, de modo que possamos usar valores dos polinômios ao invés dos valores de tais funções, cometendo com isto um erro tão pequeno quanto desejarmos. Polinômios de Taylor Dizemos que um polinômio está na forma ( ) ou que está centrado em se for da forma: Neste caso, temos que ; derivando sucessivamente temos que: 1

2 ... Definição: Escrevendo com a notação de somatório, temos que: 2

3 Em particular, se, o polinômio de Taylor de grau para, centrado em é: Exemplo 1: Dada a função, encontrar o Polinômio de Taylor de de grau ( ) centrado em. Como a função é infinitamente diferenciável, então Daqui em diante as derivadas se repetem em ciclo de 4. Logo, os números: são da forma: Logo: Então teremos: Exemplo 2: Dada a função, encontrar o Polinômio de Taylor de de grau centrado em. 3

4 Obs: numa pequena vizinhança centrada em, a medida que o grau do Polinômio de Taylor aumenta, o gráfico respectivo fica mais próximo do gráfico de. Exemplo 3: Determine o polinômio de grau da função. Polinômio de grau n=0: Polinômio de grau n=1: 4

5 Polinômio de grau n=2: Polinômio de grau n=3: Exercícios: Encontre o polinômio de Taylor de grau indicado ( =a): para a função dada em torno do valor Resposta dos exercícios ímpares: 5 5

6 Nos exercícios 1-6, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por em. Interpolação A interpolação polinomial é uma forma de se obter uma aproximação para uma função que descreve um conjunto de dados. A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura: Suponha que se queira calcular: i) o calor específico da água a C; ii) a temperatura para a qual o calor específico é Este tipo de problema pode ser resolvido com interpolação. O que significa interpolar uma função? - consiste em aproximar essa função por uma outra função, escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função é então usada em substituição à função. Quando efetuar essa substituição? 6

7 a) quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado (exemplo anterior). b) quanto a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas. O conceito de interpolação numérica: Consideremos pontos distintos:, chamados nós da interpolação, e os valores de nesses pontos:. A forma de interpolação de determinada função tal que: que estudaremos consiste em se obter uma Obs: Nos nós da interpolação as funções e assumem os mesmos valores!! Vamos assumir que pertence a classe das funções polinomiais embora existam outras formas de interpolação como utilizando funções trigonométricas, expansão por series, etc. Interpolação polinomial Dados os pontos,, portanto (n+1) pontos, queremos aproximar por um polinômio, de grau menor ou igual a, tal que: Perguntas: 7

8 1) Existe sempre um polinômio que satisfaça estas condições? 2) Caso exista, ele é único? Vamos representar por:. Logo, obter significa obter os coeficientes Da condição,, tem-se o seguinte sistema linear: Teorema: Existe um único polinômio de grau menor ou igual a n que passa por n+1 pontos distintos. Resolução do sistema linear: Exemplo 1: a) Determinar o polinômio que interpola a função f nos pontos: Temos que: 8

9 b) Estime o valor de f(1.5). Exemplo 2: Encontrar o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela: Polinômios de Lagrange Sejam pontos distintos e,. 9

10 De maneira compacta, podemos escrever a forma de Lagrange para o polinômio interpolador como: onde são os fatores de Lagrange dados por: Exercício 1: Calcule o valor dos somatórios e produtórios abaixo: Exemplo 1: Pela forma de Lagrange temos que: onde: 10

11 Assim, na forma de Lagrange: Exercício 2: Exercício 3: 11

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13 Referências: 1- Livro. Cálculo numérico. Márcia Ruggiero e Vera Lopes. 2- Livro Análise Numérica Richard L. Burden e J. Douglas Faires 3- Apostila. Cálculo Numérico. Faculdade de Engenharia, Arquitetura e urbanismo. Prof. Dr. Sérgio Pilling. 4- Apostila. Cálculo Numérico. Eliete Biasotto Hauser. 5- Apostila Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Wiliam Geraldo Moreira dos Santos 13