TÓPICOS DE ANÁLISE NUMÉRICA AULA 03 - INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

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1 TÓPICOS DE ANÁLISE NUMÉRICA AULA 03 - INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Vanessa Rolnik Artioli DCM/FFCLRP/USP

2 Introdução Dado um conjunto de n + 1 pontos (x i, f (x i )), i = 0, 1,..., n (nós interpoladores), queremos encontrar um polinômio de grau menor ou igual a n que passe exatamente por esses nós, ou seja, f (x) P n (x), tal que f (x i ) = P n (x i ), i = 0, 1,..., n. Uma das ideias mais antigas e ainda muito utilizada é encontrar um polinômio para a aproximação de uma função. A razão está no fato de que os polinômios são facilmente computáveis, suas derivadas e integrais são novamente polinômios, suas raízes podem ser encontradas com relativa facilidade, entre outras vantagens. Exemplo 1) Determine o polinômio de grau 2 cujos valores numéricos conhecidos são f ( 1) = 15, f (0) = 8 e f (3) = 1.

3 Teoremas que garantem existência e unicidade do polinômio interpolador Teorema da aproximação de Weierstrass: Suponha que f seja definida e contínua em [a, b]. Para cada ɛ > 0, existirá um polinômio P(x) com a propriedade que f (x) P(x) < ɛ para todo x em [a, b]. Teorema: Dados n + 1 pontos distintos (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )),..., (x n, f (x n )) existe um e só um polinômio P n (x), de grau menor ou igual n que satisfaz a condição f (x i ) = P n (x i ), i = 0, 1,..., n.

4 Exemplo - usando matlab para resolver o sistema linear 2) Dados 5 pontos (1,2), (4,6), (7,4), (10,8) e (13,10) a) obter o polinômio interpolador P 1 (x) sobre os pontos (1,2) e (13,10); traçar o gráfico dos pontos e do polinômio; b) obter o polinômio interpolador P 2 (x) sobre os pontos (1,2), (7,4) e (13,10); traçar o gráfico dos pontos e do polinômio; c) obter o polinômio interpolador P 3 (x) sobre os pontos (1,2), (4,6), (7,4) e (13,10); traçar o gráfico dos pontos e do polinômio; d) obter o polinômio interpolador P 4 (x) sobre os todos pontos; traçar o gráfico dos pontos e do polinômio; e) obter aproximações para f (5) em cada um dos itens acima.

5 Algumas funções do Matlab para tratar polinômios» P=[1 2 3] % declara o polinômio P(x) = x 2 + 2x + 3» polyval(p,2) % avalia P em x = 2» Q=[1 1] % declara Q(x) = x + 1» conv(p,q) % multiplica P por Q» SP=poly2sym(P) % converte P para um polinômio simbólico, na variável x» syms a; SPa=poly2sym(P,a) % converte P para um polinômio simbólico, na variável a» pretty(sp) % mostra uma expressão simbólica no formato matemático» ezplot(sp,[0.5 3]) % easy-to-use plot» poly[1 2] % constrói o polinômio a partir das raízes

6 Funções residentes do Matlab p=polyfit(x,y,m) usado para fazer interpolação quando m=n-1 yi=interp1(x,y,xi, método ) x e y: vetores dos nós de interpolação, x deve estar em ordem crescente xi: pode ser um escalar (interpolação em um ponto) ou um vetor (interpolação em vários pontos) yi: um escalar ou um vetor correspondendo aos valores interpolados nos pontos xi método (opcional): método de interpolação digitado como uma variável string nearst, spline, pchip ou linear se nenhum método for especificado, o padrão é linear (usa a interpolação por spline linear)

7 Funções residentes do Matlab» x = [ ];» y = [ ];» p=polyfit(x,y,4)» SP=poly2sym(p)» ezplot(sp,[0 14]); hold on; ezplot(x,y, o )» xint=5;» yint=interp1(x,y,xint, pchip )» plot(x,y, *,xint,yint)» ezplot(sp,[0 14]); hold on;plot(x,y, o,xint,yint, * ) Repetir para» xint2=linspace(1,13,26);

8 Forma interpoladora de Lagrange Vantagens: não resolve sistema linear realiza uma quantidade menor de contas f (x) P 1 (x) = a 0 (x x 1 ) + a 1 (x x 0 ), a 0 = f (x 0) x 0 x 1 a 1 = f (x 1) x 1 x 0 P 1 (x) = (x x 1) (x 0 x 1 ) f (x 0) + (x x 0) (x 1 x 0 ) f (x 1) f (x) P 2 (x) = a 0 (x x 1 )(x x 2 )+a 1 (x x 0 )(x x 2 )+a 2 (x x 0 )(x x 1 ) = (x x1)(x x2) (x x0)(x x2) (x x0)(x x1) f (x0) + f (x1) + (x 0 x 1)(x 0 x 2) (x 1 x 0)(x 1 x 2) (x 2 x 0)(x 2 x f (x2) 1)

9 Polinômios de Lagrange e Interpolação Polinômios de Lagrange: L i (x) = n k=0,k i x x k x i x k, i = 0..n verificam as condições L i (x i ) = 1 e L i (x j ) = 0 para i j e formam uma base ortogonal para P n (R) n f (x) P n (x) = f (x k )L k (x) k=0 Ex. 3) a) Determine os polinômios de Lagrange correspondentes à sequência de pontos ( 1, 0, 3). b) Interpolar a função dada por três pontos f ( 1) = 15, f (0) = 8 e f (3) = 1, utilizando os polinômios de Lagrange correspondentes à sequência de pontos ( 1, 0, 3), obtidos no item a)

10 Calcular e Programar no Matlab 4) Obter uma aproximação para f (5) utilizando todos os 5 pontos (1, 2), (4, 6), (7, 4), (10, 8) e (13, 10), sem calcular a expressão do pol. interpolador. 5) Escreva um programa em Matlab que, dados n nós interpoladores, (xi,yi) i=1..n e um ponto p em [x1,xn] para o qual queremos uma aproximação, realiza uma interpolação usando a forma de Lagrange sobre todos os pontos e retorna um valor aproximado para f(p). 6) Obter o polinômio interpolador que passa pelos pontos (1, 2), (4, 6), (7, 4), (10, 8) e (13, 10) usando a forma de Lagrange. 7) Esreva um programa em Matlab que, dados n nós interpoladores, (xi,yi) i=1..n, determina o polinômio interpolador.

11 Forma interpoladora de Newton f (x) P n (x) = a 1 + a 2 (x x 0 ) + a 3 (x x 0 )(x x 1 ) a n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) a 1 = f (x 0 ) a 2 = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 a 3 =... f (x 2) f (x 1) x 2 x 1 x 2 x 0 f (x1) f (x0) x 1 x 0

12 Forma interpoladora de Newton - diferenças divididas Diferença dividida de ordem zero: f [x i ] = f (x i ) de ordem um: f [x i, x i+1 ] = f [x i+1] f [x i ] x i+1 x i de ordem dois: f [x i, x i+1, x i+2 ] = f [x i+1, x i+2 ] f [x i, x i+1 ] x i+2 x i de ordem k: f [x i, x i+1,..., x i+k ] = f [x i+1,..., x i+k ] f [x i, x i+k 1 ] x i+k x i f (x) P n (x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) f [x 0, x 1,..., x n ](x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) Ex. 8) Interpolar a função dada por três pontos f ( 1) = 15, f (0) = 8 e f (3) = 1, utilizando a forma interpoladora de Newton.

13 Calcular e Programar no Matlab Ex. 9) Obter uma aproximação para f (5) utilizando todos os 5 pontos (1, 2), (4, 6), (7, 4), (10, 8) e (13, 10), sem calcular a expressão do pol. interpolador. Ex. 10) construa uma função no Matlab chamada fp=interpolnewton(x,y,p) para realizar a interpoalção de Newton tendo como entrada os nós de interpolação (x,y) e p a coordenada do ponto no qual queremos uam aproximação para f(p).

14 Erro na interpolação f (x) = P n (x) + R n (x) R n (x): erro de truncamento associado ao ponto x quando se substitui o valor da função pelo valor de seu polinômio de interpolação Teorema: Seja f (x) contínua em [a, b] e suponhamos que f (x+1) (x) exista em cada ponto (a, b). Se a x 0 < x 1 <... < x n b, então R n (x) = (x x 0)(x x 1 )...(x x n ) f (n+1) (ξ(x)), x 0 < ξ < x n. (n + 1)!

15 Limitante para o erro A importância do teorema do erro é mais teórica do que prática, visto que não conseguimos determinar o ponto ξ de tal modo que seja válida a igualdade. Na prática, se obtivermos M > 0 tal que max t [x 0,x n] f (n+1) (t) < M, encontramos um limitante para o erro: R n (x) x x 0 x x 1... x x n M. (n + 1)! ou ainda, verificando que f (n+1) (ξ(x)) = f [x 0, x 1,..., x n, x] e se tivermos (n + 1)! mais um ponto disponível (x n+1, f (x n+1 )), encontramos uma estimativa para o erro: R n (x) x x 0 x x 1... x x n f [x 0, x 1,..., x n, x n+1 ]. (n + 1)!

16 Exemplo sobre erro x f (x) a) determine o polinômio de interpolação de grau adequado; b) calcule uma aproximação para f (4.5); c) utilize as fórmulas do erro de truncamento para encontrar um limitante e uma uma estimativa.

17 Referências bilbiográficas [1] A. Gilat; V. Subramaniam, Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas: uma introdução com aplicações usando o MATLAB, Bookman, [2] R. L. Burden; J. D. Faires, Análise Numérica, Cengage Learning, [3] N. B. Franco, Cálculo Numérico, Prentice Hall, São Paulo, 2006.