Equações Diferenciais Ordinárias

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1 Equações Diferenciais Ordinárias Profa. Simone Aparecida Miloca UNIOESTE 2017

2 Sumario EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS MÉTODO DE EULER MÉTODOS DE SÉRIES DE TAYLOR MÉTODOS DE RUNGE KUTTA

3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: São equações que envolvem derivada de funções EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS: São equações que envolvem uma ou mais funções e suas derivadas em relação a apenas uma variável. y 2y = 0 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS: São equações que envolvem mais que uma variável independente. 2 u x u y 2 = 0

4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Ordem da equação diferencial Equação diferencial de primeira ordem y 2y = 0 Equação diferencial de segunda ordem y + y = 0

5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS PVI - Problema de Valor Inicial Se a função e suas derivadas são especificadas em um mesmo ponto. PVC - Problema de Valor de Contorno Se a função e suas derivadas não são todas especificadas em um mesmo ponto.

6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS PVI Estudar técnicas numéricas para aproximar a solução do problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem: y = f (x, y) (1) y(x 0 ) = y 0 (2) A incógnita de um problema de valor inicial é uma função que satisfaz a equação diferencial (1) e a condição inicial (2).

7 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Exemplo 1 y = x y(0) = a Solução: y = x a pois satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Exemplo 2 y = y y(0) = a Solução: y = ae x pois satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Por que aproximações numéricas Em diversos casos, a teoria garante que a solução existe e é única, porém não conseguimos uma solução analítica. Métodos de Aproximação Métodos de Passo Simples (ou, Passo Um) Métodos de Passo Múltiplo

9 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS MÉTODOS DE PASSO SIMPLES

10 MÉTODO DE EULER MÉTODO DE EULER Geram-se aproximações para a função y em vários valores, chamados pontos de malha, no intervalo [a, b]. A solução aproximada em outros pontos pode ser encontrada por meio de interpolação.

11 MÉTODO DE EULER MÉTODO DE EULER Considere o PVI y = f (x, y) (3) y(x 0 ) = y 0 (4) São dados: x 0, y 0 e f (x, y), logo é conhecido f (x 0, y 0 ). A reta que passa por (x 0, y 0 ) com coeficiente angular y (x 0 ) é: r 0 (x) = y 0 + (x x 0 )y (x 0 )

12 MÉTODO DE EULER Tome h = x i+1 x i Então Ou seja, y(x 1 ) y 1 = r 0 (x 1 ) = y 0 + (x 1 x 0 )y (x 0 ) y 1 = y 0 + hf (x 0, y 0 ) Analogamente, Dados (x 1, y 1 ) y(x 2 ) y 2 = y 1 + hf (x 1, y 1 ) Dados (x 2, y 2 ) y(x 3 ) y 3 = y 2 + hf (x 2, y 2 ) E assim, sucessivamente tem-se:

13 MÉTODO DE EULER Método de Euler: y(x i+1 ) = y i+1 = y i + hf (x i, y i ), i = 0, 1, 2, ou ainda, y(x i+1 ) = y(x i ) + hy (x i ), i = 0, 1, 2,

14 MÉTODO DE EULER Exemplo 3 Aproximar y(0, 3) com passo h = 0, 1. y = cosy y(0) = 1 Tem-se: x 0 = 0, y 0 = 1, f (x 0, y 0 ) = cos1 x 1 = 0, 1, x 2 = 0, 2, x 3 = 0, 3. Então: y 1 = y 0 + hf (x 0, y 0 ) = 1 + 0, 1cos(1) = 1, 054 y 2 = y 1 + hf (x 1, y 1 ) = 1, , 1cos(1, 054) = 1, 103 y 3 = y 2 + hf (x 2, y 2 ) = 1, , 1cos(1, 103) = 1, 148

15 MÉTODO DE EULER Exemplo 4 Aproximar y(0, 3) com passo h = 0, 1. Obs. A solução exata é y = e x y = e x y(0) = 1 Exemplo 5 Construa uma tabela mostrando uma comparação entre os valores aproximados e exatos para o PVI: y = y x y(0) = 0, 5 Tome o intervalo I = [0, 2] com h=0,2. Obs. A solução exata é y = (x + 1) 2 0, 5e x

16 MÉTODOS DE SÉRIES DE TAYLOR MÉTODOS DE SÉRIES DE TAYLOR

17 MÉTODOS DE SÉRIES DE TAYLOR SÉRIES DE TAYLOR A melhor reta que aproxima o gráfico de uma função diferenciável f : R R com derivada contínua (C 1 ) em uma vizinhança de um ponto a é dada pela reta tangente: r(x) = f (a) + (x a)f (a) Esta é a única reta que satisfaz r(a) = f (a) e r (a) = f (a) ( r e r coincidem com f e f no ponto a, respectivamente). Polinômio de Taylor de Ordem 1 A equação da reta tangente define o Polinômio de Taylor de Ordem 1 de f no ponto a: p 1 (x) = f (a) + (x a)f (a)

18 MÉTODOS DE SÉRIES DE TAYLOR SÉRIES DE TAYLOR Polinômio de Taylor de Ordem 2 Seja uma função f : D R R duas vezes diferenciável com derivadas contínuas (C 2 ) e a um ponto do interior de D. Então existe um único polinômio de grau 2, p 2, que satisfaz as condições: p 2 (a) = f (a) p 2 (a) = f (a) p 2 (a) = f (a) p 2 (x) = f (a) + (x a)f (a) + f (a) (x a)2 2

19 MÉTODOS DE SÉRIES DE TAYLOR Polinômio de Taylor de Ordem 2 Denotando Tem-se Onde E 2 (x) = f (x) p 2 (x) f (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a)2 + E 2 (x) E 2 (x) = f (c) (x a)3 3!

20 MÉTODOS DE SÉRIES DE TAYLOR Polinômio de Taylor de Ordem k Generalizando f (x) = f (a)+f (a)(x a)+f (a) Onde (x a)2 + +f k (x a)k (a) +E k (x) 2 k! E k (x) = f k+1 (c) (x a)k+1 (k + 1)!

21 MÉTODOS DE SÉRIES DE TAYLOR Métodos de Séries de Taylor Seja o PVI y = f (x, y) y(x 0 ) = y 0 Suponha que sejam dados x 1, x 2,, x n e y 1, y 2,, y n, A série de Taylor de y(x) em torno de x = x n é dada por Onde y(x)=y(x n)+y (x n)(x x n)+y (x (x xn)2 n) + +y k (x (x xn)k n) +E k (x) 2! k! E k (x) = y k+1 (ξ(x)) (x x n) k+1, ξ(x) [x n, x] (k + 1)!

22 MÉTODOS DE SÉRIES DE TAYLOR Métodos de Séries de Taylor Assim, y(x n+1 )=y(x n)+y (x n)(x n+1 x n)+y (x (x n+1 x n) 2 n) + +y k (x (x n+1 x n) k n) +E k (x n+1 ) 2! k! Se h = x n+1 x n tem-se y(x n+1 ) = y n+1 = y(x n )+y (x n )h+y (x n ) h2 2! + +y k (x n ) hk k! +E k(x n+1 )

23 MÉTODOS DE SÉRIES DE TAYLOR Métodos de Séries de Taylor O erro de truncamento é dado por h k+1 E k (x n ) = y k+1 (ξ(x)) (k + 1)! Se y(x) possui derivada de ordem k + 1 em I, então tem-se um majorante para o erro de truncamento E k (x n ) max x I E(x) M k+1 h k+1 (k + 1)!, x I

24 MÉTODOS DE SÉRIES DE TAYLOR Exemplo 6 Aproximar y(2, 2) usando a série de Taylor de 2 a ordem, com passo h = 0, 1. Veja que x 0 = 2, y 0 = 2, f (x 0, y 0 ) = 0 y = x y x y(2) = 2 y = 1 y, y (2) = 0, y = y x x + y x 2, y (2) = 1 2 Então: y 1 = y 0 + y 0 h + y 0 h 2 12 = 2 + 0h + 0, 50, = 2, y 2 = y 1 +y 1 h 2 12 h+y 1 = 2, , 0464(0, 1)+0, 43190, = 2,

25 MÉTODOS DE SÉRIES DE TAYLOR Exemplo 7 Considere o PVI y = y x y(0) = 0, 5 Tome o intervalo I = [0, 2] com h=0,2. Obs. A solução exata é y = (x + 1) 2 0, 5e x Construa uma tabela para determinar uma aproximação para pontos igualmente espaçados, considerando h = 0, 2, utilizando Taylor de ordem 2.

26 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA MÉTODOS DE RUNGE KUTTA

27 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA MÉTODOS DE RUNGE KUTTA Aproveita métodos de série de Taylor. São de passo um. Não exigem cálculo de derivada de f (x, y), porém será preciso calcular f (x, y) em vários pontos.

28 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA MÉTODOS DE RUNGE KUTTA Pelo polinômio de Taylor temos f (x) = f (a)+f (a)(x a)+f (a) Onde E k (x) = f k+1 (c) (x a)2 + +f k (x a)k (a) +E k (x) 2 k! (x a)k+1, onde c I = [a, x] (k + 1)! Fazendo-se a = x n, x = x n+1 e h = x n+1 x n vem: y(x n+1 ) = y(x n ) + y (x n )h + y (x n ) h2 2! + + y k (x n ) hk k! + + f k+1 (x a)k+1 (c) (k + 1)! com c entre x n e x n+1.

29 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA de Primeira Ordem y(x n+1 ) = y(x n ) + y (x n )h + y (x n ) h2 2! + + y k (x n ) hk k! + + f k+1 (x a)k+1 (c) (k + 1)! Se k = 1 e o erro pequeno tem-se a fórmula de Euler: y n+1 = y n + hf (x n, y n )

30 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA MÉTODOS DE EULER APERFEIÇOADO (MÉTODO DE HEUN)

31 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA MÉTODOS DE EULER APERFEIÇOADO (MÉTODO DE HEUN) Dada a aproximação (x n, y n ), a reta com coeficiente angular y n = f (x n, y n ) é: r 1 (x) = y n + (x x n )y n = y n + hf (x n, y n ) Dado o passo h, considerando (x n + h) r 2 = (y n + hy n) + (x (x n + h))f (x n + h, y n + hy n) A reta pontilhada tem por inclinação a média das inclinações das retas r 1 e r 2 r m : y n+1 = y n + h 2 [ f (xn, y n ) + f (x n + h, y n + hy n) ], n = 0, 1, 2,

32 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA de Segunda Ordem Prova-se que o método de Euler Aperfeiçoado, ou método de Heun, é um método que coincide com o método de Runge-Kutta de 2 a ordem. Fórmula Geral Runge Kutta 2 a ordem y n1 = y(x n+1 ) = ha 1 f (x n, y n ) + ha 2 f (x n + b 1 h, y n + b 2 hy n) Para o método de Euler Aperfeiçoado, a 1 = 1 2 a 2 = 1 2 b 1 = 1 b 2 = 1

33 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA de Terceira Ordem Se k = 3 tem-se: y(x n+1 ) = y(x n ) k k k 3 onde k 1 = hf (x n, y n ) k 2 = hf (x n + h 2, y n + k 1 2 ) k 3 = hf (x n h, y n k 2)

34 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA de Quarta Ordem Se k = 4 tem-se: y(x n+1 ) = y(x n ) (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) onde k 1 = hf (x n, y n ) k 2 = hf (x n + h 2, y n + k 1 2 ) k 3 = hf (x n + h 2, y n + k 2 2 ) k 4 = hf (x n + h, y n + k 3 )

35 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA Observações Métodos de Runge-Kutta. Vantagem: São de passo um, não trabalham com derivadas; Desvantagem: Não há estimativas simples para o erro.

36 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA Exemplos Exemplo 8 Dado o PVI y = 0, 04y y(0) = 1000 A solução exata é y(x) = 1000e 0, Estimar y(1) pelo método de Euler, tomando h = 1; 0, 5; 0, 25; 0, Estimar y(1) pelo método de Euler Aperfeiçoado, tomando h = 1; 0, 5; 0, 25; 0, Estimar y(1) pelo método de Runge-Kutta de 3 a ordem, tomando h = 1.