Cálculo Numérico P2 EM33D

Transcrição

1 Cálculo Numérico P EM33D 8 de Abril de 03 Início: 07h30min (Permanência mínima: 08h40min) Término: 0h00min Nome: GABARITO LER ATENTAMENTE AS OBSERVAÇÕES, POIS SERÃO CONSIDERADAS NAS SUA AVALIAÇÃO ) detalhar a resolução de cada questão; ) organizar a resolução; 3) resoluções incompletas ou que não possam ser compreendidas serão desconsideradas; 4) não é permitido uso de material não autorizado previamente; 5) a interpretação da prova e sua resolução é de responsabilidade do aluno; 6) respeitar a notação matemática e o rigor científico; 7) as observações anteriores serão consideradas na avaliação; 8) não retirar o grampo da prova; 9) o formulário quando autorizado será anexado à prova e avaliado. Problema. Calcule integral pela regra dos trapézios (,0 pts) e pela regra de Simpson (,0 pts) usando quatro subdivisões 4 I = x dx. Trabalhe com 7 casas decimais. Discuta os resultados comparando com o valor exato da integral I (0, pts). O intervalo [,4] é dividido em quatro intervalos [x i,x i+ ] com x i =x 0 +hi, x 0 =, i=,,3,4 e h=(b a)/n =3/4=0, 75. Assim, temos a seguinte regra dos trapézios repetida: I TR = h {f(x 0)+[f(x )+f(x )+f(x 3 )]+f(x 4 )}. Substituindo os valores da tabela abaixo: encontramos i x i f(x i ) 0, 00, , 75, 38756, 50, , 5, , 00, I TR =4, Utilizando a expressão da regra de Simpson repetida para 4 subdivisões, I SR = h 3 {[f(x 0)+f(x 4 )]+4[f(x )+f(x 3 )]+[f(x )]}

2 encontramos I SR =4, O valor exato da integral é Encontramos 4 I= [ ] 4 [ x dx= 3 x3/ = 4 3 ]= 4 4, I I TR =0, 0574 e I I SR =0, O erro associado à regra de Simpson repetida é duas ordens de grandeza menor que o associado à regra dos trapézios repetida, o que é esperado pois I=I TR +O(h ) e I=I SR +O(h 4 ). Problema. Calcule a integral 0 I = e x dx 0 utilizando a fórmula da quadratura gaussiana com dois pontos (0,8 pts). Para utilizarmos a fórmula da quadratura gaussiana buscamos uma integração sobre o intervalo [, ]. Fazendo a seguinte mudança de variáveis, x= [a+b+t(b a)] x=5+5t t= x 5 dx=5dt x=0 t=, x=0 t= temos 0 I= e x dx= 5e 5+5t dt=5 e 5+5t dt 0 Pela fórmula da quadratura gaussiana, g(t)dt=a 0 g(t 0 )+A g(t ) com t 0 = 3 /3 0, , t = 3 /3=0, e A0 =A =. Assim, g(t 0 )=e 5+5t0 =0, e g(t )=0, 08445, e, portanto Logo, g(t)dt 0, 0. I=5 g(t)dt 0,

3 Problema 3. [,5 pts] Mostre que o método de Euler aperfeiçoado é um método de Runge-Kutta de segunda ordem. Um método para a resolução numérica de equações diferenciais ordinárias é dito do tipo Runge- Kutta de ordem n quando: (i) é de passo um; (ii) não utiliza o cálculo de derivadas da função que define a EDO; (iii) sua expressão coincide com o método de Taylor de ordem n. O método iterativo de Euler aperfeiçoado é dado por y n+ =y n + h [f(x n,y n )+f(x n +h,y n +hf(x n,y n ))], sendo y =f(x,y(x)). Portanto, evidentemente, (i) e (ii) são satisfeitos. Expandindo f(x, y(x)) em uma série de Taylor em torno de (x n,y n ), temos ( ) ( ) { f f f(x, y) = f(x n, y n ) + (x x n ) + (y y n ) + ( ) (x x n ) f x (x n,y n) y (x n,y n) x ( ) ( ) } (y y n ) f y +(x x n )(y y n ) f (α,β) x y (α,β) sendo algum α entre x ex n e algum β entre y e y n. Assim, substituindox=x n +h e y=y n +hf(x n, y n )e retendo os termos de primeira ordem apenas, temos f(x n +h,y n +hf(x n,y n )) f(x n,y n )+h ( ) ( ) f f +h f(x n,y n ). x (x n,y n ) y (x n,y n ) Substituindo na expressão do método de Euler Aperfeiçoado, encontramos [ ( f y n+ =y n +hf(x n,y n )+ h x ) + (x n,y n) ( ) ] f f(x n,y n ) y (x n,y n) que é a expressão para o método de Taylor de segunda ordem. Assim, a condição (iii) é também satisfeite e, portanto, o método de Euler aperfeiçoado é um método de Runge-Kutta de segunda ordem. (α,β) + Problema 4. [,5 pts] Calcule y(0, 60) para o problema de valor inicial y y(0) = 3 = y x+ +(x+)3, utilizando os métodos de Euler e Runge-Kutta de quarta ordem com h=0, 0. Compare os resultados com os valores exatos de y(x) nos pontos x i da malha, sabendo que y(x)= (x+)4 +5(x+). Os métodos de Euler e de Runge-Kutta de quarta ordem são dados, respectivamente, por y n+ =y n +hf(x n,y n ) 3

4 e y n+ =y n + 6 (k +k +k 3 +k 4 ) sendo k = hf(x ( n,y n ) k = hf x n + h,y n+ k ) ( k 3 = hf x n + h,y n+ k ) k 4 = hf(x n +h,y n +k 3 ). Em todos os casos, y n =y(x n ) e x n =x 0 +nh. Assim, utilizando os valores dados x 0 =0 e y 0 =3 e o passo h=0, 0, encontramos (com 4 casas decimais): n x n y n f(x n,y n ) y(x) y(x) y n 0 0, , , , , 000 4, , 063 4, , 368 0, , 3, 687 6, 808 0, , , , 6768, 408 para o método de Euler e (com 4 casas decimais): n x n y n f n k k k 3 k 4 y(x) y(x) y n 0 0, , , 0000, 4000, 67, 650, , , 000 4, , 4556, 89, 570, 979, 505 4, , , , 803, 487, 4978, 867, , 48 6, 808 0, , , , , 0009 Problema 5. [,0 pt] (a) Deduza o método implícito para resolver o problema de valor inicial y (x)=f(x,y(x)), y(x 0 )=y 0, do tipo y n+ =y n + xn+ f(x,y(x))dx xn utilizando a regra dos trapézios para calcular a integral indicada. (b) Encontre a expressão do erro cometido a cada iteração do método. (c) Compare com o método de Euler, em termos dos erros. (a) Um método implícito para a resolução do PVI acima é dado pela aproximação da integral indicada pela integral do polinômio interpolador da função integrando. Nesse caso, aproximaremos a integral pelo método dos trapézios, ou seja sendo c (a,b). a b f(x)dx= b a Assim, lembrando que x n+ =x n +h, temos (b a)3 (f(b) b(a)) f (c), x n+ h f(x,y(x))dx= [f(x n,y(x n ))+f(x n+,y(x n+ ))] h3 f (α,y(α)) x n 4

5 para algum α (x n,x n+ ). Assim, o método implícito obtido pela regra dos trapézios é y n+ =y n + h [f(x n,y n )+f(x n+,y n+ )], (b) sendo o erro a cada iterada dado pelo termo residual e n = h3 f (α n,y(α n )). Assumindo a segunda derivada de f contínua, existe um M n = max x (xn,x n+) f (x) e, portanto, e n h3 M n. (c) O método de Euler apresenta erros de ordem h então o método implícito aqui obtido é uma ordem de grandeza mais preciso que o método de Euler. Problema 6. [,0 pt] (a) Reduza y +g (x,y)y +g (x,y)y =g 3 (x,y) a um sistema de três equações de primeira ordem. (b) Como fica o método de Euler para esta equação? (a) A equação diferencial ordinária de ordem três dada pode ser reduzida a um sistema de três equações de primeira ordem pela definição das seguintes variáveis: y(x) w (x) y (x)=w (x) w (x) y (x)=w (x) w 3 (x) y (x)=w 3 (x). Evidenciando y na definição da EDO, encontramos Assim, fazendo as substituições, temos y =g 3 (x,y) g (x,y)y g (x,y)y. w = w w = w 3 w 3 = g 3 (x,w ) g (x,w )w g (x,w )w 3 com as seguintes condições iniciais: w (x 0 )=y(x 0 ), w (x 0 )=y (x 0 ) e w 3 (x 0 )=y (x 0 ). (b) O método de Euler para esse sistema é dado pela seguinte equação vetorial sendo w n+ =w n +hf(x n,w n ), w n = w (x n ) w (x n ),f(xn,w n )= w w 3 w 3 (x n ) g 3 (x n,w (x n )) g (x n,w (x n ))w (x n ) g (x n,w (x n ))w 3 (x n ) e, como no caso unidimensional, x n =x 0 +n.h, sendo h o tamanho do passo do método. 5

6 Problema 7. [,0 pt] Utilize o algoritmo do método previsor-corretor de Adams-Moulton de quarta ordem para determinar uma aproximação de y(, 40) para o problema de valor inicial { y = y y() =, utilizando h=0, 0 e o seguinte critério de parada: (k) y n+ (k ) y n+ (k) <ε= 0 4. y n+ Assuma a solução y(x)=x conhecida para determinar y i =y(x i ) para i=, e 3. O método de Adams-Moulton é dado pelo seguinte preditor: (0) y n+ =y n + h 4 (55f n 59f n + 37f n 9f n 3 ), e pelo seguinte corretor: (k) y n+ =y n + h ( ) 9f (k ) 4 n+ + 9f n 5f n +f n, sendo ( ) f n f(x n,y n ) e f (k) (k) n =f x n,y n. [Atenção: y n (k) não representa, aqui, ak-ésima derivada da função y(x) e sim ak-ésima aproximação para o valor de y(x n ) obtida pelo método iterativo!] Assim, para calcular y(, 40) com um passo de h = 0, 0, precisamos conhecer y(x i ) nos pontos x 0 =, 00, x =, 0, x =, 0 e x 3 =, 30 que, neste caso, podem ser determinados exatamente por y(x) = /x. Assim, para inicializarmos o método, utilizamos: n x n y n =/x n f n =f(x n,y n )= y n 0, 00, , , 0 0, , 86446, 0 0, , , 30 0, , 597 Como x 4 =, 40, queremos determinar y(, 40)=y 4. O preditor nos fornece, com n=3, y 4 (0) =y 3 + h 4 (55f 3 59f + 37f 9f 0 )=0, De posse dessa primeira aproximação, calculamos ( ) ( ) f (0) (0) (0) 4 =f x 4,y 4 = y 4 = e determinamos a primeira iterada do corretor (n=3 e k=): y 4 () =y 3 + h 4 (9f 4 (0) + 9f 3 5f +f ) =0,

7 Calculando o erro, y 4 () y 4 (0) y 4 () = 0, , , 7469 =0, 00033>ε=0, 000. Logo, necessitamos de, pelo menos, mais uma iterada do corretor. Calculando f 4 (), obtemos ( ) f () () 4 = y 4 = 0, 508, que, substituindo na expressão para o corretor (n=3, k=), nos fornece y 4 () =y 3 + h 4 Determinando o erro, encontramos y 4 () y 4 () y 4 () = (9f 4 () + 9f 3 5f +f ) =0, , , , 7478 =0, 0000<ε=0, 000. Assim, com o critério de parada ε=0 4 a solução aproximada de y(x) no ponto x=, 40 é y 4 =0, Problema 8. [,0 pts] Resolva pelo método de diferenças finitas o problema de valor de contorno com h=0, 5. y +y +y = x y(0) =, y() = 0 O método das diferenças finitas consiste em transformar o problema de valor de contorno de segunda ordem acima em um sistema de equações algébricas. Considerando as seguintes aproximações (ambas de ordem h ), y (x n ) y n+ y n +y n h e y (x n )= y n+ y n, h sendo y n =y(x n ), a EDO nos fornece Agrupando os termos, temos sujeito às condições y n+ y n +y n h + y n+ y n h +y n =x n. (+h)y n+ +(h )y n +( h)y n =h x n, x 0 =0, x n =x 0 +nh=0, 5n x 4 =, ( h) = 0, 75 y(x 0 )=y 0 =, y(x 4 )=y 4 =0, h=0, 5 (h ) =, (+h) =, 5 7

8 Substituindo esses valores a equação de diferenças finitas nos fornece, para n=, e 3, o seguinte sistema linear: (n=): 0, 75.(), 9375y +, 5y = h 3 =0, 0565 (n=): 0, 75y, 9375y +, 5y 3 = h 3 =0, 035 (n=3): 0, 75y, 9375y 3 = 3h 3, 5(0)=0, Explicitanto y na primeira equação, y 3 na segunda e substituindo na terceira, encontramos: y =y(0, 5), 07487, y =y(0,5) 0, 5906 e y 3 =y(0, 75) 0,