Resolução do exame de matemática computacional

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1 Resolução do exame de matemática computacional 0 de Janeiro de 00 GRUPO I f x_ : x^ x 1 g1 x_ : x^ 1 x^ g x_ : x 1 g x_ x^ x Plot f x, x,, Graphics 1 Método de Newton Quando se procura uma raiz da função f pelo método de Newton, a função iteradora tem a forma g x x f x f' x. Neste caso, temos : Simplify x f x f' x 1 x x Logo, a função iteradora que corresponde ao método de Newton é a g1. Condições de convergência : a f 1.5 f 0 f f b f' x 0 em 1.5,? f' x x f' é positiva para x, logo é positiva em 1.5,. c f'' x não muda de sinal em 1.5,? f'' x 6 x

2 resexame1.nb Logo, f'' x não muda de sinal em 1.5,. d f 1.5 f' , f f' 0.5 Abs f 1.5 f' Abs f f' 10 Convergência do método do ponto fixo com a função g Verifiquemos que os pontos fixos de g coincidem com as raizes de f g z z z 1 z z 1 z z^ z 1 0 g' x 1 x g' é positiva e decrescente em 1.5,. Logo, o máximo de g' x é atingido em x 1.5 g' Como max g' x em 1.5, é menor que 1, a função g é contractiva neste intervalo. Verifiquemos se g 1.5, 1.5, g g A função g é crescente em 1.5, já vimos que a derivada é positiva. Por outro lado, g , e g 1.5, ; logo, g 1.5, 1.5,. Número mínimo de iterações do método do ponto fixo com a função g Como vimos na alínea anterior, temos max xε 1.5, g' x L Estimativa do erro do método do ponto fixo apriori : x_n z L n x_n x_ 0 L n 1.5 L n 0.5 Para que o erro seja inferior a ε, deve verificar se L n 0.5 ε L n ε n Log ε Log L No caso de ε 0.001, temos Log 0.00 Log Logo, são necessárias, pelo menos, 5 iterações para garantir que erro seja inferior a Verificação: calcular as primeiras 5 iteradas do método do ponto fixo: isto não faz parte da correcção do exame, é apenas um complemento

3 resexame1.nb NestList g, 1.5, 5 1.5, , 1.610, , , Cálculo da raiz através do comando FindRoot FindRoot f x 0, x, 1.5 x função g g' x x g' A função g' x é crescente e positiva em 1.5,. Logo, g' x g , x 1.5,. Logo, o método do ponto fixo não converge para z, qualquer que seja a aproximação inicial. GRUPO II Sistema de equações : F1 x_, y_, z_ : x y 1 F x_, y_, z_ : 5 y x z 5 F x_, y_, z_ : Φ z z y 41 1 Primeira Iteração do método de Newton : Derivadas parciais de F1, F e F F1 x 1, F1 y 1, F1 z 0 F x 1, F y 5, F z F x 0, F y, F z 1 Φ' z Matriz Jacobiana MatrixForm 1, 1, 0, 1, 5,, 0,, 1 Φ' Φ Para que possa aplicar o método de Cholesky, a matriz do sistema deve ser simétrica e definida positiva.como a matriz J é evidentementesimétrica, falta mostrar que ela é definida positiva. Verifiquemos o sindal dos menores principais : H1 1 0 H H Det J 5. 1 Φ' Φ' 4 1 Φ' 4 4 Φ' Conclusão : para que a matriz seja definida positiva, basta que Φ' 0 Factorização de Cholesky LL 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

4 4 resexame1.nb LL 1, LL, LL, LL, 5 1 ^ LL, 0 1 LL, 1 Φ' 1 ^ Φ MatrixForm LL Φ Det J Det L Det L Det L ^ Φ' ^ 4 Φ' 4 Cálculo de x^ 1 pelo método de Newton Temos de resolver o sistema J x 0 onde x 0 1, y 0 0, z 0. F1 1, 0, F x 0, y 0, z 0, 0 F 1, 0, F 1, 0, 1 Logo, F x 0, y 0, z 0 0,, 1. Matriz do sistema : Φ z_ : 4 z^ Φ' 16 JJ 1, 1, 0, 1, 5,, 0,, 1 Φ' 1, 1, 0, 1, 5,, 0,, 17 Resolvendo o sistema pelo método de Cholesky Matriz L MatrixForm LL

5 resexame1.nb 5 Substituição descendente : 1 g1 0 g1 0 g1 g g 1 g 4 g 1 g 0 Substituição ascendente a matriz U é a transposta de L : 4 x 0 x 0 x x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 1 Conclusão : x 0 1, 1, 0. Para obter a primeira iterada do método de Newton basta agora somar : x 1 x 0 x 0 1, 0, 1, 1, 0, 1, GRUPO III 1 Polinómio interpolador da função f em 1, 1, : f 1, f 1, 51 7 f 1, 1, 4 6 Pela fórmula de Newton, P x f 1 f 1, 1 x 1 f 1, 1, x 1 x 1 Simplify 11 x 1 6 x 1 x 1 x 6 x Temos f 1, 1, 6 coeficiente x^ em P. Por outro lado, temos : f 1, 1, 4; logo, f 1, 1,, f 1, 1, f 1, 1, 6 4 Finalmente, P x P x f 1, 1,, x 1 x 1 x x 6 x^ x 1 x 1 x. a Calcular 1 f 1 P 1 11 f 1 P 1 7 f P 51 f x x pela regra de Simpson Logo, I f h f 1 4 f 1 f Verificação : Integrate P x, x, 1, 60 b Diz se que uma fórmula de integração numérica tem grau n se for exacta para todos os polinómios de grau n, mas não for exacta, pelo menos, para um polinómio de grau n 1.A regra de Simpson é uma fórmula de grau. Consideremos o seguinte problema de valores iniciais : y'' x x y x y' x y 1 1, y' 1 1 Reduza se o problema a um sistema de duas equações diferenciais

6 6 resexame1.nb y1' x y x y' x x y1 x y x Usando as notações habituais, temos f1 x, y1, y y; f x, y1, y x y1 y Logo x f 1, y1 f x y1 y, y f x y1 A fórmula de Taylor de segunda ordem, aplicada à segunda equação, dá nos y 1 h y 1 h f 1, 1, 1 h x f y1 f y1' y f y' onde f 1, 1, x f 1, y1 f 1 1 1, y1' f1 1, 1, 1 1; y f 1 1 1, y' f 1, 1, 1 1 Finalmente y 1 h y 1 h 1 h h h.